- •Содержание
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- •Глава 5. Задачи 129
- •Предисловие
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- •1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- •1) Значение математического образования в жизни человека.
- •2) Цели обучения математике в школе.
- •3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- •4) Принципы обучения.
- •1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- •1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- •1) О структуре математического языка.
- •2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- •1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- •1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- •2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- •1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- •1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- •2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- •1.6. Планирование целей урока математики
- •1) Планирование целей урока математики.
- •2) Образовательные цели урока математики.
- •3) Развивающие цели урока математики.
- •4) Воспитательные цели урока математики.
- •1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- •1) Проект и конспект урока.
- •2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- •2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- •1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- •2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- •2.2. Типовой проект формирования математического действия
- •1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- •Типовой проект формирования нового действия
- •2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- •2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- •1) Упражнение. Система упражнений.
- •2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- •2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- •3.1. Сущность категории «понятие»
- •1) Роль и функции понятий в мышлении.
- •2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- •3) Процесс образования научных понятий.
- •3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- •1) О структуре математического понятия.
- •2) Логическая схема понятия.
- •3) Свойства и признаки понятия.
- •4) Необходимые и достаточные условия.
- •3.3. Основные этапы формирования понятия
- •Характеристика этапов
- •3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- •1) Конкретно-индуктивный подход.
- •2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- •3) Исследовательский подход.
- •4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- •5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- •3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- •1) О сущности определений.
- •2) Структура определений.
- •3) Определяющий признак, его структура.
- •4) Следствия из определения.
- •5) Отрицание определения.
- •6) Определения рабочие и нерабочие.
- •7) Эквивалентные определения.
- •3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- •1) Анализ определения.
- •Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- •3.7. Уровни усвоения математического понятия
- •1) Усвоение понятия: что это такое?
- •2) Уровни усвоения математического понятия.
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства
- •4.1. Теоретические основы изучения теорем
- •1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- •2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- •3) Теоремы общего вида.
- •4) Теоремы существования.
- •5) Теоремы единственности.
- •4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- •1) Рассуждения, структура рассуждений.
- •2) Дедуктивные рассуждения.
- •3) Недедуктивные рассуждения.
- •3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- •4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- •4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- •1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- •2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- •3) План анализа теоремы.
- •4) План анализа доказательства теоремы.
- •4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- •1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- •Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- •2) Подготовительный этап.
- •3) Работа над содержанием теоремы.
- •Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- •3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- •4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- •1) Поиск доказательства теоремы.
- •2) Доказательство теоремы.
- •3) Запись доказательства.
- •4) Применение теоремы.
- •5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- •4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- •1) Теорема о свойстве понятия.
- •2) Теорема о признаке понятия.
- •3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- •4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- •1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- •2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- •Глава 5. Задачи
- •5.1. Теоретические сведения о задачах
- •1) Понятие «задача». Структура задачи.
- •2) Классификации задач.
- •3) Процесс решения задачи.
- •4) Основные требования к решению задачи.
- •5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- •6) Роль и функции задач в обучении.
- •5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- •1) Типовой проект работы над задачей.
- •Типовой проект работы над задачей
- •3) Поиск решения задачи.
- •4) Запись решения задачи.
- •6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- •5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- •1) Что такое «сюжетная задача»?
- •2) Особенности решения сюжетных задач.
- •3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- •4) Задачи «на уравнивание».
- •5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- •1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- •2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- •3) Задачи «на движение».
- •4) Задачи «на работу».
- •Итоговый тест
- •Список литературы
- •Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- •656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,
5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
1) Что такое «сюжетная задача»?
Сюжетные задачи были известны с древности. Ещё до нашей эры в древнем Египте, Вавилоне, Индии, Китае знали многие методы решения сюжетных задач. Подробно история сюжетных задач изложена в книге [77]. Её автором является Л. М. Фридман – известный российский психолог, опубликовавший немало работ по теории обучения математике, среди которых, например, книга [76].
К сюжетным отнесём задачи, в содержании которых описан некоторый жизненный процесс, действие, событие. Так к сюжетным относятся задачи «на движение» «на работу» и пр. такие задачи ещё называют текстовыми, так как содержание задачи, её сюжет, отражены некоторым текстом. В пособии данный вид задач будет рассмотрен по следующим причинам:
решение сюжетных задач вызывает затруднения у школьников. Этот факт подтверждается результатами ЕГЭ. В 2010 г. только 35,6 % учащихся Алтайского края справились с сюжетной задачей (задача В12);
работа над сюжетной задачей традиционно вызывает затруднения у начинающих учителей (в отчётах по педагогической практике ежегодно отмечается как существенный недостаток тот факт, что студенты не умеют организовать поиск решения задачи);
необходимость формирования у школьников компетенций, которые позволяют применять математические знания в практической деятельности, обучение школьников математическому моделированию как одна из важнейших целей изучения математики в школе.
Некоторые умения по математическому моделированию учащиеся приобретают ещё в начальной школе: они переводят соотношения между величинами, выраженные языковыми средствами, на математический язык; умеют построить математическую модель по условию задачи (выражение, уравнение). Учащиеся решают сюжетные задачи арифметическим и алгебраическим способами, умеют выполнить краткую запись содержания задачи, знают различные способы записи решения задач.
2) Особенности решения сюжетных задач.
Сюжетная задача отличается от других тем, что её содержание излагается связным текстом довольно обширным по объёму. Потому при решении сюжетных задач большое значение имеет семантический анализ текста задачи, то есть выявление смысла каждого слова в тексте задачи. Семантика – раздел языкознания, изучающий смысл, значение слов, выражений естественного языка. В результате анализа выясняется, какими языковыми средствами выражены её структурные элементы (условие и требование), устанавливаются основные величины, о которых идёт речь в задаче, и их соотношения.
Результатом семантического анализа должны стать ответы на вопросы:
Какой жизненный процесс описан в задаче?
Какими основными величинами он характеризуется?
Каким соотношением связаны эти величины?
Какие ситуации описаны в задаче?
Что известно о выявленных величинах в каждой ситуации?
Какими соотношениями можно выразить эти связи?
По итогам анализа содержания выполняется краткая запись. Она может быть выполнена в виде рисунка, схемы, таблицы.
Решение сюжетных задач выполняется преимущественно тремя способами: арифметическим, алгебраическим и комбинированным. Арифметический способ состоит в том, что последовательно устанавливая соотношения между величинами и находя по двум из них третью, ученик получает ответ на вопрос задачи. При решении задач данным способом используются только числовые выражения, без переменных. Алгебраический способ – это способ решения задачи, при котором одна из неизвестных величин обозначается буквой, другие величины выражаются через неизвестную, затем составляется математическая модель по тексту задачи (уравнение, или система уравнений, или неравенство), в результате решения которой находится неизвестная величина. Комбинированным называют способ решения задачи, при котором выполняются арифметические действия, а также составляется уравнение.
Запись решения может быть осуществлена следующими способами:
составление выражения по условию задачи;
«вопрос – действие»;
«действие с пояснением»;
запись пункта плана с последующим выполнением действия;
связный рассказ. Такой способ записи применяется при решении задачи алгебраическим способом;
таблица.
Ещё раз повторим, что никаких требований и правил по оформлению записи решения задачи нет. Тем не менее, следует помнить, что решение задачи состоит из цепочки рассуждений, правила записи которых обсуждались в соответствующем пункте.
Пример 1. Рассмотрим решение следующей задачи из учебника 5-го класса разными способами: «Серёжа стал на велосипеде догонять Наташу, когда между ними было 600 м, и догнал её через 4 мин. Найдите скорость, с которой шла Наташа, если её скорость в 4 раза меньше скорости Серёжи».
Это задача на сближение двух тел, движущихся в одном направлении. Встреча детей состоялась за счёт разности скоростей Серёжи и Наташи. Каждую минуту дистанция в 6оо м сокращалась на величину, равную разности скоростей. На этом основаны все способы решения, кроме алгебраического.
Способ 1 – арифметический. Задача решается, как задача «на части». Решение. Так как скорость Серёжи в 4 раза больше скорости Наташи, то, приняв скорость Наташи за 1 часть, получим, что скорость Сережи составляет 4 части. Тогда разность скоростей составит 4 – 1 = 3 (части). Расстояние в 600 м было преодолено за 4 мин. Отсюда 600:4=150 (м/мин) – разность скоростей Серёжи и Наташи. Получили, что 3 части составляют 150 м, тогда 150 : 3 = 50 (м/мин) составляет одна часть. Следовательно, скорость Наташи 50 м/мин.
Запись решения. Пусть 1 часть – скорость Наташи, тогда 4 части – скорость Серёжи.
1) 4 – 1 = 3 (части) составляет разность скоростей С. и Н.
2) 600 : 4 = 150 м / мин составляет разность скоростей С. и Н.
3) 150 : 3 = 50 м / мин составляет 1 часть.
Скорость Наташи 50 м / мин.
Ответ. 50 м / мин.
Способ 2 – комбинированный.
Запись решения.
1) Найдём разность скоростей Серёжи и Наташи.
600 : 4 = 150 м/ мин.
2) Пусть х м / мин – скорость Наташи, тогда скорость Сережи составит 4х м / мин.
Так как разность скоростей 150 м / мин или 4х – х м / мин, то составим уравнение: 4х – х = 150. 3х = 150. х = 50.
Скорость Наташи 50 м / мин.
Ответ. 50 м / мин.
Способ 3 – алгебраический. Задача решается как задача «на движение».
Запись решения. Составим таблицу по условию задачи.
-
S
v
t
Наташа
4х м
х м/мин
4 мин
Серёжа
16х м
4х м/мин
4 мин
Так как Сережа проехал на 600м больше, чем прошла Наташа, то составим уравнение: 16 х – 4 х = 600.
После решения уравнения ученики получат ответ.
Ответ. 50 м / мин.
В первом случае запись решения выполнена в виде «действие с пояснением». Во втором случае – пункт плана и его выполнение. А составление уравнения оформлено в виде рассказа. В третьем случае запись решения оформлена в виде таблицы.
Проверка решения сюжетной задачи осуществляется, прежде всего, соотнесением полученного результата с условием задачи. Если скорость пешехода получилась близкой к космической или получилось 3,5 землекопа, то задача решена не верно. Нередко при проверке используется решение задачи другим способом или составление обратной задачи.