3) Определяющий признак, его структура.

Нетрудно заметить, что определяющий признак – это предикат (высказывательная форма), причём с одной переменной, когда определяется объект, и с двумя и более переменными, если определяется отношение между объектами. Определяющий признак может иметь простую структуру, тогда он выражен простым предложением. Если определяющий признак представляет собою конъюнкцию, дизъюнкцию или импликацию простых предикатов, содержит кванторы, то говорят, что он имеет сложную структуру.

Пример 3. В определении параллельных прямых в пространстве: «Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются», – определяющий признак имеет конъюнктивную структуру. В определении неправильной дроби: «Обыкновенная дробь называется неправильной, если её числитель больше или равен знаменателю» – дизъюнктивную, в определении функции, возрастающей на промежутке, – импликативную и, кроме того, содержит кванторы.

4) Следствия из определения.

Определения не являются высказываниями. Поэтому при проведении рассуждений в математике используются следствия из определений. Следствие из определения – это теорема, истинность которой следует из определения. Например, предложение «Если в треугольнике две стороны равны, то он является равнобедренным» является истинным высказыванием по определению равнобедренного треугольника.

Различают тривиальные и нетривиальные следствия из определения.

Пусть определение имеет следующую логическую форму:

Пусть х – математический объект из множества М.

Тогда (x) (x), где Т(х) означает «х называется термином Т», а Р(х) – определяющий признак (1). Тогда тривиальными следствиями называют следующие истинные высказывания:

(x) ((x)  (x)), (x) (Р(x)  Т(x)), (x) ((x)  (x)).

К примеру, тривиальными следствиями из определения параллельных прямых в пространстве являются: а) если две прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они параллельны; б) если две прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются; в) две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Кроме тривиальных следствий можно получить и нетривиальные следствия из определения. К нетривиальным следствиям из определения параллельных прямых относятся, например, высказывания: а) если две прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости; б) если две прямые параллельны, то они не пересекаются.

5) Отрицание определения.

Отрицанием определения (1) называют высказывание: (х) .

Нетрудно заметить, что при построении отрицания определения разъяснительная часть остаётся неизменной. Отрицание является следствием из определения, а потому оно всегда истинно. При построении отрицаний полезно использовать следующие правила отрицания высказываний, известные из математической логики:

1. При построении отрицания простого предложения частица «не» ставится перед сказуемым.

2. При построении отрицания конъюнкции или дизъюнкции применяются законы де Моргана: а)

3. При построении отрицаний импликации надо пользоваться правилом:

4. При построении отрицаний высказываний с кванторами квантор всеобщности заменяется на квантор существования, а квантор существования – на квантор всеобщности, отрицание же переносится на предикат.

5. При построении отрицания определения разъяснительная его часть остаётся неизменной.

Пример 4. 1) Построим отрицание определения правильного многоугольника: выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Очевидно, определяющий признак содержит два квантора общности: все его стороны равны, все его углы равны. При построении отрицания их нужно заменить кванторами существования, а союз «и» заменить союзом «или». Тогда отрицанием определения правильного многоугольника будет следующее предложение: выпуклый многоугольник не является правильным, если у него найдётся хотя бы одна пара неравных сторон или пара неравных углов.

2) Построим отрицание определения функции, возрастающей на промежутке .

Для того чтобы не допустить ошибки, выполним формализованную запись определения: Определение: Пусть f – произвольная функция, I – промежуток из области определения функции f.

f – функция, возрастающая на промежутке I ( х₁, х₂  )(х₁  х₂  f (x₁)  f (x₂)).

Отрицанием данного определения будет высказывание: функция f не является возрастающей на промежутке I тогда и только тогда, когда

( х₁, х₂  ) (х₁  х₂  f (x₁)  f (x₂)).

3) Построим отрицание определения прямой, перпендикулярной к плоскости.

Определение: Пусть  – произвольная плоскость, а и b – произвольные прямые.

(а  ) (b) (b   a  b).

Формализованная запись отрицания будет иметь вид:

() (а) ( ( )  (b) (b  )).

На естественном языке это высказывание читается следующим образом: прямая а не является перпендикулярной к плоскости , если в плоскости  найдётся хотя бы одна такая прямая b, которая не перпендикулярна данной прямой a.

Отрицание определения помогает учителю построить всевозможные контрпримеры, необходимые как для усвоения определения, так и для исправления ошибок, которые допускают в определениях ученики.