4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
1) Рассуждения, структура рассуждений.
Понятие «рассуждение» в данном учебном пособии является основным, неопределяемым. В словаре С.И. Ожегова читаем: рассуждать: 1. Мыслить, строить умозаключения. 2. Последовательно излагать свои суждения о чём-нибудь, вести беседу. В математике термин «рассуждение» используется и в первом смысле, и во втором. Главная цель рассуждений – получение нового знания на основе уже имеющихся знаний. Рассуждения составляют основу любого доказательства.
Пример 1. Ученик рассуждает: «Данный треугольник АВС – равнобедренный. А в любом равнобедренном треугольнике найдутся два равных угла. Следовательно, в рассматриваемом треугольнике имеются два равных угла». Рассуждая, ученик получил новое знание о треугольнике АВС, он установил, что данный треугольник имеет два равных угла.
Высказывание «треугольник АВС – равнобедренный» в этом рассуждении называется частной посылкой, теорема «в любом равнобедренном треугольнике имеются два равных угла» – общая посылка, суждение «в треугольнике АВС два угла равны» называется заключением.
Как видно из примера, частные посылки – это высказывания, содержащие исходные знания о конкретном объекте; общие посылки – это уже доказанные или принятые без доказательства факты; заключение – это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного. Очевидно, данное рассуждение проведено правильно. Из истинных посылок получен верный вывод. Однако, нередко учитель или ученики замечают, что ученик, отвечающий у доски, рассуждает неправильно.
Пример 2. Рассмотрим рассуждение: «Если число n кратно четырём, то оно чётное. Число 14 не делится на 4, следовательно, оно нечётное». В данном рассуждении частная посылка - «14 не делится на 4» и общая посылка - «число n кратно четырём» истинны, но вывод о том, что число 14 – нечётное, является ложным. Такое рассуждение нельзя считать верным.
2) Дедуктивные рассуждения.
Как же отличить верные рассуждения от неправильных? Неверным будет рассуждение, которое приводит к ложному выводу, либо ведётся по неправильной схеме. К числу верных относятся, например, дедуктивные рассуждения.
Дедуктивным рассуждением назовём рассуждение, которое проводится по особым логическим схемам, называемым правилами вывода, в результате которого из истинных посылок всегда получится верный вывод.
Правила вывода известны с древности. Перечислим некоторые из них.
Правило силлогизма
.Правило заключения
Правило отрицания
.
В математической логике рассматривается довольно большой перечень правил вывода. Методистами доказано, что уже на ранних стадиях обучения учащиеся используют в своих рассуждениях практически все из них. Но наиболее часто рассуждения проводятся по приведенным выше трём схемам. Так в рассуждении о равнобедренном треугольнике (пример 1) ученик использовал правило заключения. Рассуждение в примере 2 проведено по неверной схеме, это и привело к неправильному выводу.
В частности, к дедуктивным относятся рассуждения, проводимые методом математической индукции.