4) Необходимые и достаточные условия.

Термины признак, свойство, критерий используются относительно понятия. Если же речь идёт об отношении логического следования между суждениями, то используются термины: необходимое условие, достаточное условие, необходимое и достаточное условие.

Определение 4. Пусть суждения А и В высказаны относительно объекта х.

Суждение А называется необходимым условием для суждения В, если истинно высказывание: В (х)  А (х).

Суждение А называется достаточным условием суждения В, если истинно высказывание: А (х)  В (х).

Суждение А называется необходимым и достаточным условием суждения В, если истинны два взаимообратных высказывания: А (х)  В (х) и В (х)  А (х).

Пример 3. «Если в треугольнике имеется два угла по 45⁰ каждый, то треугольник является прямоугольным». Это высказывание истинно, потому суждение «в треугольнике имеется два угла по 45⁰ каждый» является достаточным для суждения «треугольник является прямоугольным». Это суждение не будет необходимым условием прямоугольности треугольника, так как высказывание «Если треугольник является прямоугольным, то он имеет два угла по 45⁰ каждый» является ложным.

Пример 4. Рассмотрим два суждения: а) четырёхугольник является параллелограммом; б) противоположные углы четырёхугольника равны.

Нетрудно убедиться, что суждение б) является необходимым и одновременно достаточным условием для суждения а). А потому высказывание «Для того, чтобы четырёхугольник являлся параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные углы были равны» является истинным.

Чтобы определить будет ли суждение А(х) необходимым для суждения B(x), нужно: 1) составить импликацию, в которой А(х) поставить в заключение; 2) проверить истинность импликации.

Чтобы определить, будет ли А(х) достаточным условием для B(x), нужно: 1) составить импликацию, в которой А(х) следует поставить в условие; 2) проверить её истинность.

3.3. Основные этапы формирования понятия

Процесс формирования понятий – длительный процесс, он может продолжаться всю жизнь. Потому, вряд ли, можно говорить о формировании понятий как о скоротечном планируемом процессе. Задача учителя – построить процесс обучения таким образом, чтобы создать условия для формирования правильного понятия и его наглядного образа в процессе обучения математике. Рассмотрим основные этапы формирования математического понятия и дадим их краткую характеристику.

К основным этапам формирования математического понятия относятся следующие этапы:

1. Подготовительный этап.

2. Введение понятия (заканчивается его определением).

3. Работа по усвоению определения (см. 3.6).

4. Раскрытие структуры понятия (изложение теории понятия).

5. Применение понятия в учебно-познавательной деятельности.

6. Включение понятия в систему других понятий данной теории и учебного предмета.

Характеристика этапов

Подготовительный этап должен включать актуализацию знаний учащихся, необходимых для усвоения новых знаний; мотивацию изучения данного понятия; постановку цели изучения данного понятия.

Введение понятия. Под введением математического понятия понимается этап ознакомления учащихся с новым математическим объектом, который заканчивается его определением.

В процессе изучения нового объекта, который может продолжаться сколь угодно долго, происходит формирование нового понятия.

В методической литературе до недавнего времени рассматривалось два подхода к введению математических понятий: конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный. В работе [10] рассмотрен и получил своё название ещё один подход к введению понятий –исследовательский. Характеристика подходов к введению нового математического объекта приведена в следующем пункте.

Раскрытие структуры понятия. Этап выяснения структуры понятия занимает продолжительное время. Так при формировании понятия числа, этот этап длится в течение всех лет обучения математике в школе и вузе.

В процессе изучения теории понятия учителю необходимо решать следующие задачи:

• формировать понятия «свойство» и «признак» понятия;

• формировать умение изучать математический объект – высказывать гипотезы относительно его свойств и признаков и их проверять;

• формировать умение применять свойства и признаки понятия в учебно-познавательной деятельности.

Понятия свойство и признак встречаются не только в процессе изучения математики. Термины свойство и признак используются, например, в биологии, химии и других предметах. Кроме того, учащимся знаком и житейский смысл этих слов. Поэтому нет необходимости вводить строгие определения этих понятий в школе, нужно лишь вести целенаправленную работу по уточнению смысла этих терминов в каждом случае, где это возможно. О свойствах и признаках понятия речь идёт в теоремах. Подробнее об изучении таких теорем см. в п. 4.6.

При рассмотрении систем упражнений необходимо также вести соответствующую работу по формированию понятий.

• Найдите упражнения, в которых идёт речь о понятии Р.

• Что говорится о данном понятии в упражнении № ?

• Какие новые свойства понятия Р вы узнали, выполняя эти упражнения?

• Назовите упражнение, в котором рассматривается новый признак понятия Р.

• В каком случае на практике используется свойство понятия, а в каком – признак?

Пример 1. Рассмотрим систему упражнений к теме «Сумма углов треугольника» (учебник «Геометрия 7-9». Авторы А.А. Атанасян и др.) Во-первых, решая задачи, учащиеся знакомятся, с такими свойствами понятия «равнобедренный треугольник», как: углы при его основании острые; биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противоположной основанию, параллельна основанию. Причём первое свойство не является признаком, а второе свойство одновременно является и свойством и признаком понятия «равнобедренный треугольник». Во-вторых, в одном из упражнений доказывается свойство равностороннего треугольника: каждый угол треугольника равен 60⁰ . В-третьих, в одной из задач (№231) нужно доказать, что если медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС, то треугольник является прямоугольным. Очевидно, в этой задаче сформулирован признак прямоугольного треугольника. Можно бы пополнить систему упражнений ещё одной задачей: «Если в равнобедренном треугольнике есть угол 60⁰, то треугольник является равносторонним». Этот признак равностороннего треугольника часто применяется при решении задач.

Таким образом, система упражнений даёт широкий простор для продолжения формирования ранее изученных понятий, а также служит материалом, на котором может быть организовано формирование представлений о признаках и свойствах понятия вообще.

При изучении теорем, в которых учащимся трудно выявить понятие, о котором идёт речь в теореме, рассмотрение этого вопроса можно оставить до того момента, когда учащиеся приобретут некоторый опыт применения теоремы. Уместно это сделать на уроке систематизации и обобщения знаний по данной теме.

Пример 2. Так при изучении теоремы о трёх перпендикулярах учащимся трудно ответить на вопрос, о каком понятии идёт речь в теореме? Хотя теорема о трёх перпендикулярах изучается в теме «Перпендикулярность в пространстве», немногие учащиеся задумываются над тем, для чего нужна эта теорема, где она может быть использована. Поэтому учитель должен тщательно обсудить ответы на эти вопросы и подвести учащихся к следующему выводу: в данной теореме доказан ещё один признак перпендикулярности прямых, особым образом расположенных в пространстве.

Включение понятия в систему других понятий протекает в процессе изучения последующего материала. Специальное место этому этапу отводится на уроках обобщения и систематизации знаний по изученной теме. Связь данного понятия с другими устанавливается посредством структурирования материала, оформления его в виде схемы. Установлению связей данного понятия с другими понятиями способствует также рассмотрение определений, эквивалентных изученному (см. п. 3.5).

Подробная характеристика этапа работы над определением понятия дана в пункте 3.6.

Формирование умения применять новое понятие в деятельности осуществляется в процессе изучения определения, теорем о свойствах и признаках понятия по той же методике, что и формирование любого умения