- •Содержание
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- •Глава 5. Задачи 129
- •Предисловие
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- •1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- •1) Значение математического образования в жизни человека.
- •2) Цели обучения математике в школе.
- •3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- •4) Принципы обучения.
- •1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- •1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- •1) О структуре математического языка.
- •2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- •1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- •1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- •2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- •1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- •1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- •2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- •1.6. Планирование целей урока математики
- •1) Планирование целей урока математики.
- •2) Образовательные цели урока математики.
- •3) Развивающие цели урока математики.
- •4) Воспитательные цели урока математики.
- •1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- •1) Проект и конспект урока.
- •2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- •2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- •1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- •2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- •2.2. Типовой проект формирования математического действия
- •1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- •Типовой проект формирования нового действия
- •2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- •2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- •1) Упражнение. Система упражнений.
- •2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- •2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- •3.1. Сущность категории «понятие»
- •1) Роль и функции понятий в мышлении.
- •2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- •3) Процесс образования научных понятий.
- •3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- •1) О структуре математического понятия.
- •2) Логическая схема понятия.
- •3) Свойства и признаки понятия.
- •4) Необходимые и достаточные условия.
- •3.3. Основные этапы формирования понятия
- •Характеристика этапов
- •3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- •1) Конкретно-индуктивный подход.
- •2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- •3) Исследовательский подход.
- •4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- •5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- •3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- •1) О сущности определений.
- •2) Структура определений.
- •3) Определяющий признак, его структура.
- •4) Следствия из определения.
- •5) Отрицание определения.
- •6) Определения рабочие и нерабочие.
- •7) Эквивалентные определения.
- •3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- •1) Анализ определения.
- •Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- •3.7. Уровни усвоения математического понятия
- •1) Усвоение понятия: что это такое?
- •2) Уровни усвоения математического понятия.
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства
- •4.1. Теоретические основы изучения теорем
- •1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- •2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- •3) Теоремы общего вида.
- •4) Теоремы существования.
- •5) Теоремы единственности.
- •4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- •1) Рассуждения, структура рассуждений.
- •2) Дедуктивные рассуждения.
- •3) Недедуктивные рассуждения.
- •3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- •4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- •4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- •1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- •2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- •3) План анализа теоремы.
- •4) План анализа доказательства теоремы.
- •4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- •1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- •Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- •2) Подготовительный этап.
- •3) Работа над содержанием теоремы.
- •Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- •3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- •4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- •1) Поиск доказательства теоремы.
- •2) Доказательство теоремы.
- •3) Запись доказательства.
- •4) Применение теоремы.
- •5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- •4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- •1) Теорема о свойстве понятия.
- •2) Теорема о признаке понятия.
- •3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- •4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- •1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- •2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- •Глава 5. Задачи
- •5.1. Теоретические сведения о задачах
- •1) Понятие «задача». Структура задачи.
- •2) Классификации задач.
- •3) Процесс решения задачи.
- •4) Основные требования к решению задачи.
- •5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- •6) Роль и функции задач в обучении.
- •5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- •1) Типовой проект работы над задачей.
- •Типовой проект работы над задачей
- •3) Поиск решения задачи.
- •4) Запись решения задачи.
- •6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- •5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- •1) Что такое «сюжетная задача»?
- •2) Особенности решения сюжетных задач.
- •3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- •4) Задачи «на уравнивание».
- •5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- •1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- •2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- •3) Задачи «на движение».
- •4) Задачи «на работу».
- •Итоговый тест
- •Список литературы
- •Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- •656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,
3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
Воспитанность, развитость и образованность – наиболее важные компоненты личности. Несмотря на то, что психологами обосновано, что не всякое обучение ведёт к развитию и воспитанию личности, образование является не только самостоятельной целью обучения, но и средством развития и воспитания. С другой стороны, продвижение учащегося в развитии и воспитании служит более успешному решению образовательных задач.
Потому в дидактике принято говорить о триединстве образовательных, воспитательных и развивающих целей. Причём ни одна из обозначенных целей не имеет приоритетного значения. Изучение одного и того же учебного материала может быть построено таким образом, что на первый план может быть выдвинута одна из групп целей. Приоритет развивающих целей обучения приводит к системам обучения, которые принято называть развивающими, приоритет воспитательных целей позволяет успешно решать задачи воспитания личности и ведёт, например, к системам личностно-ориентированного обучения. Приоритет образовательных целей приводит к системам обучения, в которых главное внимание уделяется формированию знаний, умений и навыков, которые должен приобрести каждый учащийся. Таким образом, комплекс целей обучения является важным системообразующим фактором процесса обучения в целом. Комплексное планирование целей обучения – одно из важнейших умений учителя, которое формируется длительное время, требует умения анализировать изучаемый материал, владения знаниями о структуре изучаемого материала, закономерностях его усвоения, знание психологии развития и воспитания личности.
4) Принципы обучения.
Для обеспечения единого подхода к организации обучения, к выбору средств и методов необходимо придерживаться некоторых общих положений, называемых принципами обучения.
Принципы обучения – это важнейшие, основополагающие требования к организации процесса обучения.
Они являются главным ориентиром в работе учителя. Система дидактических принципов представляет собою один из основных вопросов дидактики.
Общепризнанной является следующая система дидактических принципов.
Принцип воспитания и развития личности учащихся.
Принцип научности.
Принцип сознательности, активности и самостоятельности.
Принцип систематичности.
Принцип доступности.
Принцип наглядности.
Принцип дифференцированного подхода к обучению.
Принцип прочности знаний.
Охарактеризуем лишь некоторые из них.
Принцип научности. Реализация принципа научности в процессе обучения математике предполагает выполнение следующих условий:
1. Соответствие содержания и методов обучения уровню и потребностям современной математики.
2. Соответствие содержания, методов и форм обучения закономерностям процесса обучения, выявленным в психологии и педагогике.
3. Создание у школьников верных представлений об общих методах познания действительности математическими средствами.
Следуя этому принципу, учитель обязан не допускать фактических ошибок; следить за правильностью формулировок определений и теорем; приучать учащихся к логически грамотным рассуждениям и обоснованиям; критически относиться, в частности, к утверждениям, которые не обоснованы, не доказаны, грамотно проектировать и проводить урок с учётом требований к нему в методике обучения математике, с учётом психофизиологических особенностей своих учащихся.
Принцип сознательности, активности, самостоятельности. О соблюдении этого принципа говорят, если выполняются следующие условия:
Познавательная деятельность учащихся соответствует закономерностям процесса учения.
Учащиеся активно участвуют в процессе познания.
Ученики владеют методами умственного труда, позволяющими им самостоятельно овладевать новыми знаниями.
Учебное познание – это усвоение учащимися новых знаний и способов деятельности. Процесс усвоения осуществляется по следующим этапам: восприятие – осмысление (понимание) – запоминание – применение. Если в процессе обучения математике учащиеся будут совершать умственные действия в соответствии с названными этапами, можно говорить о соответствии познавательной деятельности школьников закономерностям процесса учения. Сознательность в обучении понимается как глубокое осмысление основ наук, умение использовать знания в новых условиях, превращение знаний в убеждения, в руководство к действию.
Активность характеризуется стремлением учащихся к учению, проявлением волевых усилий, направленных на овладение знаниями и способами действий. Активность учащихся на уроках математики достигается посредством создания следующих условий:
формирование мотива предстоящей деятельности;
использование жизненного опыта, интуиции учащихся, организация наблюдений, проведение лабораторных и практических работ, использование технических средств обучения как источников новых знаний;
обучение учащихся умениям перерабатывать учебную информацию, в частности, при работе с учебной литературой, с цифровыми образовательными ресурсами;
выбор методов и средств, стимулирующих и укрепляющих интерес учащихся к изучаемой теме, дающих возможность ученикам самостоятельно делать «открытия» там, где это целесообразно с точки зрения содержания математического материала;
организация самостоятельной работы учащихся таким образом, чтобы у них воспитывался творческий подход к изучению математики.
Познавательная самостоятельность – это высшая форма сознательности и активности обучения. Она характеризуется способностью ученика ориентироваться в новых ситуациях, независимостью собственных суждений, критическим подходом к суждениям других, а также желанием не только освоить новые знания, но и способ их добывания.
Принцип дифференцированного подхода к обучению (кратко – принцип дифференциации). Принцип дифференциации рассматривается в методике обучения математике как один из важнейших с давних пор. Однако в разные времена ему придавался различный смысл.
Современная трактовка данного принципа впервые была дана в 1990-м году в статье Г.В. Дорофеева и др. «Дифференциация в обучении математике» [25]. Основные положения о дифференциации обучения на современном этапе изложены в Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года [34].
В настоящее время под дифференциацией понимают систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям. Различают два вида дифференциации: уровневую и профильную.
Уровневая дифференциация. Это ведущее направление дифференциации в основной школе. Она основывается на планировании результатов обучения, явном выделении уровня обязательной подготовки и формировании на этой основе повышенных уровней овладения материалом. Этот вид дифференциации характеризуется тем, что учащиеся, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, могут усваивать учебный материал на различных уровнях. Определяющим при этом является уровень обязательной подготовки. Необходимыми условиями для реализации уровневой дифференциации в обучении являются следующие:
выделенные уровни усвоения материала и, в первую очередь, обязательные результаты обучения должны быть открытыми для учащихся;
каждый ученик должен пройти через полноценный учебный процесс, уровень обучения должен быть выше уровня требований;
должна быть обеспечена последовательность в продвижении ученика по уровням. Если для одних учащихся надо продлить этап отработки основных, опорных знаний, то других на этом этапе не следует задерживать;
добровольность в выборе уровня усвоения и отчётности.
Профильная дифференциация. Так называют дифференциацию обучения по содержанию. Данный вид дифференциации предполагает обучение разных групп школьников по программам, отличающимся глубиной изложения материала, объёмом сведений и разным спектром рассматриваемых вопросов. Разновидностью профильной дифференциации является углубленное изучение математики. Профильная дифференциация осуществляется, в основном, в старшей школе. Для её реализации существуют специальные учебные планы и программы. В рамках профильной дифференциации можно осуществлять и уровневую дифференциацию.
Характеристику остальных принципов обучения можно найти в учебных пособиях 47, 48.