2) Логическая схема понятия.

Схему, в которой отражены логические связи между суждениями об одном и том же объекте, будем называть логической схемой понятия. Используя отношение логического следования, построим логическую схему понятия «равнобедренный треугольник» (см. схему 1 на с.58).

Математика – наука дедуктивная. Суждения об одном и том же объекте связаны отношением логического следования. На данной схеме отношение логического следования между суждениями обозначено стрелками. Все стрелки ведут к суждению «треугольник является равнобедренным», в конечном счете, к суждению «в треугольнике имеются две равные стороны». В этом и заключается главная роль определения: служить начальным звеном в теории понятия.

Дадим определение логического следования и равносильности.

Пусть х – математический объект, например,пусть х – треугольник, A(x) и B(x) – суждения, высказанные относительно объекта х.

Определение 1. Говорят, что суждение B(x) логически следует из суждения A(x), если истинно высказывание «из A(x) следует B(x)».

Обозначается: A(x)  B(x).

Определение 2. Говорят, что суждения A(x) и B(x) равносильны, если истинны каждое из высказываний: A(x)  B(x) и B(x)  A(x).

Обозначается: A(x)  B(x).

Терминами «логически следует» и «равносильны» фиксируются отношения между суждениями, в которых объектом выступает изучаемый математический объект. Но есть ещё и отношения между суждениями и понятием (или математическим объектом). Эти отношения фиксируются терминами «свойство понятия», «признак понятия», «критерий понятия».

Схема 1. Структура понятия «равнобедренный треугольник»

3) Свойства и признаки понятия.

Рассмотрим житейский смысл терминов «свойство понятия» и «признак понятия». В словаре русского языка С.И. Ожегова можно прочитать: свойство – это качество, составляющее отличительную особенность объекта. Признак – это примета, качество, по которому можно определить, узнать объект среди других объектов. Как следует из данных трактовок, о свойстве имеет смысл говорить, когда объект уже известен, он есть. А с помощью признака его можно только распознать. О признаках объектов (житейских) идёт речь в загадках. Например, «Сидит дед во сто шуб одет, кто его раздевает, тот слёзы проливает». По перечисленным признакам можно узнать, что речь идёт о луке. С термином «свойство» дети встречаются значительно чаще, чем с термином «признак». Этот термин употребляется в обыденной речи и в других учебных предметах, например, в естествознании.

Свойства являются необходимыми условиями существования объекта: если свойство не выполняется, то и объект не существует.

Признаки – это достаточные условия существования объекта: если объект обладает некоторым признаком, то его можно назвать другим термином. Например, параллелограмм, имеющий прямой угол, является прямоугольником. По наличию прямого угла прямоугольник можно распознать среди параллелограммов.

Дадим определения свойства и признака, используя логико-математическую терминологию.

Пусть х – некоторый математический объект из множества М. Р (х) означает «х есть Р», где Р – термин (название) данного понятия.

Определение 1. Суждение А, высказанное относительно объекта х, называется признаком понятия Р, если истинно высказывание:

А(х)  Рх).

Другими словами: суждение является признаком понятия в том случае, когда вследствие его выполнения для объекта х, данный объект можно назвать термином Р, то есть, из истинности А(х) следует, что Р(х) истинно.

Рассмотрим пример.

Пример 1. Пусть х – четырёхугольник. Суждение «диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам» является признаком параллелограмма, так как справедливо высказывание «Если диагонали четырёхугольника х точкой пересечения делятся пополам, то данный четырёхугольник х есть параллелограмм». Истинность этого высказывания доказывается путём доказательства соответствующей теоремы.

Здесь М – множество четырёхугольников,

А(х) – диагонали х точкой пересечения делятся пополам,

Р(х) – х есть параллелограмм.

Необходимо заметить, что в современной методической литературе термин «признак» зачастую используется не в том смысле, в котором он применяется в математике. Так к признакам биссектрисы относят: а) луч, б) выходит из вершины угла; в) делит угол пополам. Исходя из определения 1, каждый из них является свойством биссектрисы, так как удовлетворяет следующему далее определению 2. Некоторые методисты считают, что признак – это теорема. Это неверный подход к пониманию значения термина «признак», поскольку в теореме всегда связаны два суждения, одно из которых и будет признаком понятия. Например, имеет место теорема «Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом». Признаком ромба будет не теорема, а перпендикулярность диагоналей параллелограмма. По этому признаку можно «опознать» ромб среди параллелограммов. Правильнее будет назвать эту теорему теоремой о признаке ромба.

Определение 2. Суждение А, высказанное относительно объекта х, называется свойством понятия Р, если истинно высказывание: Р(х)  А(х).

Другими словами: суждение А называется свойством понятия Р тогда и только тогда, когда без А(х) нет и Р(х).

Пример 2. Высказывание «Если четырехугольник является параллелограммом, то его две противоположные стороны равны» является истинным. Тогда, по определению, суждение «две противоположные стороны четырёхугольника равны» есть свойство параллелограмма. В самом деле, если у четырёхугольника найдётся пара противоположных сторон, которые не равны, то он не является параллелограммом.

Определение 3. Если суждение одновременно является свойством понятия и его достаточным признаком, то оно называется критерием понятия.

Так деление диагоналей четырёхугольника точкой пересечения пополам является критерием параллелограмма.

В школьных учебниках математики термин критерий не используется. Это не означает, что критерии понятий в школьной математике не рассматриваются. Признаки параллелограмма, признак параллельности прямой и плоскости и другие признаки на самом деле являются и свойствами этих понятий, то есть их можно назвать критериями соответствующих понятий. Термин критерий встречается в курсе математики высшей школы, например, критерий Коши в курсе математического анализа, критерий простого числа в курсе теории чисел. В учебниках для углубленного изучения математики можно встретить термин достаточный признак. По своему значению он совпадает с термином признак, определение которого дано выше.