4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы

1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.

Практически каждую теорему можно сформулировать, используя различные языковые и логические средства.

Пример 1. Рассмотрим теорему 7-го класса: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Это теорема общего вида. Она может быть сформулирована в импликативной форме: «если треугольник является равнобедренным, то углы при основании треугольника равны». Эту же теорему можно сформулировать, используя термины «необходимо» и «достаточно»: «Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы два угла его были равны»; «Для того, чтобы два угла треугольника были равны достаточно, чтобы он был равнобедренным». Последняя формулировка, несмотря на то, что она построена верно, не в полной мере соответствует смыслу теоремы. В исходной теореме речь идёт о равнобедренном треугольнике, о его свойстве. В формулировке с использованием слова «достаточно» главная мысль – об углах треугольника. Таким образом, смысл теоремы несколько искажён. Данную теорему целесообразно сформулировать, используя слово «свойство», так как это теорема о свойстве равнобедренного треугольника: «Равенство двух углов является свойством равнобедренного треугольника». В такой формулировке свойство равнобедренного треугольника явно выделено: «равенство двух углов». Это далеко не все возможные формулировки рассматриваемой теоремы.

Перекодировка информации по результатам исследований психологов есть одно из важнейших условий её усвоения. Переформулировку теоремы также можно считать перекодировкой информации, позволяющей целенаправленно организовать процесс усвоения содержания теоремы. Умение переформулировать теорему есть одно из важнейших профессиональных умений учителя математики, которое помогает решать разного рода задачи, начиная от развития речи учащихся до уточнения смысла рассматриваемой теоремы, направленного на её понимание и, в конечном счёте, усвоения понятия, о котором речь идёт в теореме. Кроме того, умение по-разному сформулировать теорему помогает учителю вовремя определить ошибочные её формулировки учащимися и своевременно корректировать ошибки.

2) Основные формулировки одной и той же теоремы.

Под переформулировкой теоремы будем понимать такую её языковую интерпретацию, которая не изменяет смысла теоремы.

Основными формулировками одной и той же теоремы будем считать: а) импликативную её форму; б) формулировку теоремы в общем виде; в) формулировку с использованием слов «необходимо» или «достаточно»; г) формулировку с использованием слов «свойство» или «признак» понятия.

В математической литературе используются также формулировки теорем, в которых используются слова «тогда и только тогда, когда»; «только тогда, когда». Мы их рассматривать не будем, так как это синонимы терминов «необходимо и достаточно» и «необходимо» или «достаточно».

Проанализируем переход от импликативной формулировки теоремы к другим её формулировкам.

Пусть дана теорема А (х)  В (х), в которой идёт речь о некотором объекте х. А (х) – условие теоремы, В (х) – заключение.

Основные её формулировки будут следующими:

а) для любого объекта х, для которого выполняется условие А, выполняется и условие В;

б) для того, чтобы А(х), необходимо В(х); для того, чтобы В(х), достаточно, чтобы А(х);

в) условие В является свойством объекта х, удовлетворяющего условию А; условие А является признаком объекта х, удовлетворяющего условию В.

В двух последних случаях, где указаны две формулировки, всё-таки по смыслу теоремы приоритет отдаётся только одной из них.

Очевидно, чтобы не ошибиться, переформулируя теорему, полезно сформулировать её в импликативной форме, а затем получать другие формулировки, как показано выше.

Пример 2. Рассмотрим основные формулировки теоремы «Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

а) «Четырёхугольник с равными противоположными сторонами является параллелограммом»;

б) «Для того, чтобы четырёхугольник был параллелограммом, достаточно, чтобы его противоположные стороны были равны». Именно такая формулировка теоремы (со словом «достаточно») соответствует её смыслу. Это теорема о признаке параллелограмма. Верной будет и формулировка «Для того, чтобы противоположные стороны четырёхугольника были равны, необходимо, чтобы он был параллелограммом». Но по нормам русского языка получается, что это теорема о противоположных сторонах четырёхугольника, а не о параллелограмме.

в) «Равенство противоположных сторон четырёхугольника является признаком параллелограмма». Формулировка со словом «свойство» не соответствует смыслу теоремы.

Пример 3. Пусть теорема дана в общем виде: «Диагонали ромба перпендикулярны». Основные её формулировки будут следующими:

а) импликативная форма: «Если четырёхугольник – ромб, то его диагонали перпендикулярны»;

б) «Для того, чтобы четырёхугольник был ромбом необходимо, чтобы его диагонали были перпендикулярны»; «Для того, чтобы диагонали четырёхугольника были перпендикулярны, достаточно, чтобы четырёхугольник был ромбом»;

в) «Перпендикулярность диагоналей есть свойство ромба».

Пример 4. Пусть теорема сформулирована с использованием слов «свойство»: «Равенство углов при одном из оснований трапеции является свойством равнобедренной трапеции».

а) «Если трапеция равнобедренная, то углы при одном из её оснований равны»;

б) «В равнобедренной трапеции углы при одном из её оснований равны»;

в) «Для того, чтобы трапеция была равнобедренной, необходимо, чтобы углы при одном из её оснований были равны»; «Для того, чтобы углы при одном из оснований трапеции были равны, достаточно, чтобы трапеция была равнобедренной».