6) Определения рабочие и нерабочие.

Можно выделить две основные функции определения при построении математической теории. С одной стороны, они закрепляют термин за некоторым классом объектов, с другой стороны, определения служат начальным звеном в цепи дедуктивных рассуждений. Определения, наравне с аксиомами, неопределяемыми понятиями, служат фундаментом, на котором строится здание математической теории. По их роли в строении теории определения школьного курса математики можно условно разбить на 2 класса: рабочие и нерабочие. В науке математики такого деления естественно нет. Но исходя из потребностей процесса обучения понятия «рабочие» и «нерабочие» определения весьма полезны.

К рабочим определениям отнесём все те, которые постоянно используются в рассуждениях, например, при решении задач, доказательстве теорем. Как правило, такие определения учащиеся помнят наизусть. К таким определениям можно отнести, например, определения параллелограмма, равнобедренного треугольника, прямой, перпендикулярной плоскости, определение арифметического корня n-ой степени и др.

К нерабочим можно отнести определения смежных и вертикальных углов, треугольника, четырёхугольника, призмы, цилиндра, многочлена, алгебраической дроби и др. Основная роль подобных определений заключается в формировании общего представления о математическом объекте, которое базируется на «наглядном» образе объекта. В процессе формирования понятий в явном виде они практически не используются, соответствующее понятие формируется на основе «наглядного» образа и выведенных свойств данного объекта. Нерабочие определения немногие из учащихся помнят наизусть, что не мешает им успешно изучать математику. В книге М.Б. Воловича «Наука обучать» 12 описывается следующий эксперимент. Учащихся попросили ответить на вопрос: «Какие углы называются смежными?». Только единицы сумели это сделать. Остальные начертили эти углы и написали, что их сумма равна 180⁰. Автор оценивает такой результат как недостаток в изучении данного определения, а также делает вывод о погрешностях в методике обучения определениям вообще. По нашему мнению, итог опроса закономерен. Он подтверждает тот факт, что определение смежных углов нерабочее. В школьном учебнике нет ни одной задачи, где бы пришлось по определению доказывать, что углы являются смежными. А всё, что не работает, не используется в деятельности, быстро забывается. Но это не означает, что нужно добиваться запоминания определения смежных углов любыми средствами. При изучении понятий, определения которых не являются рабочими, большее внимание нужно уделять созданию правильного образа изучаемого объекта, так как именно он используется учениками в практической деятельности. Добиться этого можно только путём обучения построению примеров и контрпримеров изучаемого объекта. Вместо заучивания нерабочего определения необходимо также учить учащихся выводить следствия из определения и обучать их применению при рассмотрении новых свойств объекта.

7) Эквивалентные определения.

Термин «эквивалентные определения» мы используем в случае, когда в каждом из них вводится одно и то же понятие (математический объект).

Определение. Пусть определение (1) имеет вид:

«Пусть х. (Т(х) Р(х))».

Определение (2) «Пусть х₁. (Т(х) Q(x))» называется эквивалентным определению (1), если выполняются следующие условия:

1) В каждом из них вводится один и тот же термин Т.

Множества  и ₁, из которых выбираются определяемые объекты, должны быть связаны отношением включения, то есть М₁ или ₁.

Определяющие признаки Р(х) и Q(x) должны быть равносильны, то есть Р(х)  Q(x) на множестве М М₁.

Пример 5. Так эквивалентными будут определения: 1) Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. 2) Треугольник называется равнобедренным, если его два угла равны. 3) Треугольник называется равнобедренным, если одна из его биссектрис является медианой и высотой. Разъяснительные части этих определений одинаковы, вводится один и тот же термин, определяющие признаки равносильны.

Пример 6. Покажем, что следующие определения ромба эквивалентны.

Определение 1: Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, называется ромбом.

Определение 2: Выпуклый четырёхугольник, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Для доказательства эквивалентности данных определений нужно рассмотреть две взаимообратные теоремы.

Теорема 1. Дано: АВСD – параллелограмм, AB = AD.

Доказать: все стороны АВСD равны между собой.

Теорема 2. Дано: в четырёхугольнике АВСD все стороны равны.

Доказать: АВСD – параллелограмм, AB = AD.

Доказательство их тривиально.

Из этих теорем следует, что определения 1 и 2 эквивалентны.