- •Содержание
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- •Глава 5. Задачи 129
- •Предисловие
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- •1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- •1) Значение математического образования в жизни человека.
- •2) Цели обучения математике в школе.
- •3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- •4) Принципы обучения.
- •1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- •1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- •1) О структуре математического языка.
- •2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- •1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- •1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- •2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- •1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- •1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- •2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- •1.6. Планирование целей урока математики
- •1) Планирование целей урока математики.
- •2) Образовательные цели урока математики.
- •3) Развивающие цели урока математики.
- •4) Воспитательные цели урока математики.
- •1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- •1) Проект и конспект урока.
- •2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- •2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- •1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- •2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- •2.2. Типовой проект формирования математического действия
- •1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- •Типовой проект формирования нового действия
- •2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- •2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- •1) Упражнение. Система упражнений.
- •2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- •2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- •3.1. Сущность категории «понятие»
- •1) Роль и функции понятий в мышлении.
- •2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- •3) Процесс образования научных понятий.
- •3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- •1) О структуре математического понятия.
- •2) Логическая схема понятия.
- •3) Свойства и признаки понятия.
- •4) Необходимые и достаточные условия.
- •3.3. Основные этапы формирования понятия
- •Характеристика этапов
- •3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- •1) Конкретно-индуктивный подход.
- •2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- •3) Исследовательский подход.
- •4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- •5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- •3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- •1) О сущности определений.
- •2) Структура определений.
- •3) Определяющий признак, его структура.
- •4) Следствия из определения.
- •5) Отрицание определения.
- •6) Определения рабочие и нерабочие.
- •7) Эквивалентные определения.
- •3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- •1) Анализ определения.
- •Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- •3.7. Уровни усвоения математического понятия
- •1) Усвоение понятия: что это такое?
- •2) Уровни усвоения математического понятия.
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства
- •4.1. Теоретические основы изучения теорем
- •1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- •2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- •3) Теоремы общего вида.
- •4) Теоремы существования.
- •5) Теоремы единственности.
- •4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- •1) Рассуждения, структура рассуждений.
- •2) Дедуктивные рассуждения.
- •3) Недедуктивные рассуждения.
- •3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- •4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- •4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- •1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- •2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- •3) План анализа теоремы.
- •4) План анализа доказательства теоремы.
- •4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- •1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- •Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- •2) Подготовительный этап.
- •3) Работа над содержанием теоремы.
- •Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- •3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- •4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- •1) Поиск доказательства теоремы.
- •2) Доказательство теоремы.
- •3) Запись доказательства.
- •4) Применение теоремы.
- •5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- •4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- •1) Теорема о свойстве понятия.
- •2) Теорема о признаке понятия.
- •3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- •4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- •1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- •2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- •Глава 5. Задачи
- •5.1. Теоретические сведения о задачах
- •1) Понятие «задача». Структура задачи.
- •2) Классификации задач.
- •3) Процесс решения задачи.
- •4) Основные требования к решению задачи.
- •5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- •6) Роль и функции задач в обучении.
- •5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- •1) Типовой проект работы над задачей.
- •Типовой проект работы над задачей
- •3) Поиск решения задачи.
- •4) Запись решения задачи.
- •6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- •5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- •1) Что такое «сюжетная задача»?
- •2) Особенности решения сюжетных задач.
- •3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- •4) Задачи «на уравнивание».
- •5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- •1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- •2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- •3) Задачи «на движение».
- •4) Задачи «на работу».
- •Итоговый тест
- •Список литературы
- •Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- •656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,
5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
Этот этап не обязательно должен быть последним при изучении теоремы. Включение теоремы в систему уже имеющихся знаний – длительный этап. Начиная с вопроса о том, где можно применить изученный факт, который решается на первых этапах знакомства с теоремой, на протяжении всей дальнейшей работы над теоремой непроизвольно происходит обобщение и систематизация знаний учащихся, в результате которой данный факт занимает своё место в системе знаний. Но этот процесс проходит быстрее, если эту работу вести целенаправленно. Прежде всего, изученный факт должен занять своё место в структуре понятия, о котором идёт речь в теореме. Ученик должен представлять, какую роль данный факт играет в содержании понятия: является ли он свойством или признаком понятия. Это поможет ему в применении теоремы. Кроме того, для усвоения теоремы полезно рассмотреть, как влияют изменения в условии теоремы на истинность доказываемого утверждения, изучить предельные случаи и др.
4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
В учебниках математики немало теорем, которые так и называются «теоремы о свойствах» или «теоремы о признаках» математических понятий. Но ни в одном из учебников не разъясняется смысл этих терминов. Понятия «свойство» и «признак» встречаются не только в процессе изучения математики. Эти термины используются, например, в биологии, химии и других учебных предметах. Учащимся знаком и житейский смысл этих слов. Очевидно, нет необходимости вводить строгие определения этих понятий в школе. Тем не менее, нужно вести целенаправленную работу по уточнению смысла этих терминов в каждом случае, где это возможно. Некоторые направления работы над усвоением смысла терминов «свойство понятия», «признак понятия» описаны в пункте 3.2 данного пособия.
Как было отмечено ранее, в процессе изучения теории понятия учителю необходимо решать и другие задачи, а именно:
формировать умение изучать математический объект – высказывать гипотезы относительно его свойств и признаков и их проверять;
организовать включение нового факта в систему знаний о математическом объекте;
формировать умение применять свойства и признаки понятия в учебно-познавательной деятельности.
Естественным образом решение данных задач может быть осуществлено в процессе изучения теорем о свойствах и признаках понятия.
Остановимся на методике изучения теорем о свойствах и признаках понятий.
1) Теорема о свойстве понятия.
Пусть А – свойство понятия Р. Тогда теорема имеет вид: Р(х)А(х). Например, теорема о свойстве параллелограмма: «Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противоположные стороны равны». Равенство противоположных сторон – это и есть свойство понятия параллелограмм. По условию в теореме о свойстве известен, то есть дан некоторый математический объект х, который обозначен термином Р. Нужно доказать, что он обладает свойством А.
При изучении теоремы о свойстве А понятия Р полезно перед учащимися поставить следующие вопросы:
О каком объекте (понятии) идёт речь в теореме?
Какое суждение высказано в теореме о данном понятии?
Если условие А (х) не выполняется, можно ли х назвать термином Р?
Можно ли А назвать свойством понятия Р?
Какие свойства понятия Р вы ещё знаете?
Верно ли утверждение: «Если условие А (х) выполняется, то х есть Р»?
Если х есть Р, то что отсюда следует?
Пример 1. После изучения теоремы «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны» можно провести следующую беседу:
О какой фигуре идёт речь в теореме?
Что говорится в теореме о равнобедренном треугольнике?
Как вы считаете, будет ли треугольник равнобедренным, если у него не будет двух равных углов?
Если треугольник равнобедренный, что можно сказать о его углах?
Можно ли равенство двух углов назвать свойством равнобедренного треугольника? Как вы это понимаете?
Если треугольник равнобедренный, то: а) что отсюда следует? б) какими ещё свойствами он обладает?
Подобные вопросы направлены, главным образом, на уточнение смысла термина «свойство», а также способствуют применению свойств в учебно-познавательной деятельности.