- •Содержание
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- •Глава 5. Задачи 129
- •Предисловие
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- •1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- •1) Значение математического образования в жизни человека.
- •2) Цели обучения математике в школе.
- •3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- •4) Принципы обучения.
- •1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- •1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- •1) О структуре математического языка.
- •2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- •1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- •1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- •2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- •1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- •1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- •2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- •1.6. Планирование целей урока математики
- •1) Планирование целей урока математики.
- •2) Образовательные цели урока математики.
- •3) Развивающие цели урока математики.
- •4) Воспитательные цели урока математики.
- •1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- •1) Проект и конспект урока.
- •2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- •2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- •1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- •2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- •2.2. Типовой проект формирования математического действия
- •1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- •Типовой проект формирования нового действия
- •2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- •2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- •1) Упражнение. Система упражнений.
- •2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- •2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- •3.1. Сущность категории «понятие»
- •1) Роль и функции понятий в мышлении.
- •2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- •3) Процесс образования научных понятий.
- •3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- •1) О структуре математического понятия.
- •2) Логическая схема понятия.
- •3) Свойства и признаки понятия.
- •4) Необходимые и достаточные условия.
- •3.3. Основные этапы формирования понятия
- •Характеристика этапов
- •3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- •1) Конкретно-индуктивный подход.
- •2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- •3) Исследовательский подход.
- •4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- •5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- •3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- •1) О сущности определений.
- •2) Структура определений.
- •3) Определяющий признак, его структура.
- •4) Следствия из определения.
- •5) Отрицание определения.
- •6) Определения рабочие и нерабочие.
- •7) Эквивалентные определения.
- •3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- •1) Анализ определения.
- •Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- •3.7. Уровни усвоения математического понятия
- •1) Усвоение понятия: что это такое?
- •2) Уровни усвоения математического понятия.
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства
- •4.1. Теоретические основы изучения теорем
- •1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- •2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- •3) Теоремы общего вида.
- •4) Теоремы существования.
- •5) Теоремы единственности.
- •4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- •1) Рассуждения, структура рассуждений.
- •2) Дедуктивные рассуждения.
- •3) Недедуктивные рассуждения.
- •3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- •4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- •4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- •1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- •2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- •3) План анализа теоремы.
- •4) План анализа доказательства теоремы.
- •4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- •1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- •Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- •2) Подготовительный этап.
- •3) Работа над содержанием теоремы.
- •Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- •3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- •4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- •1) Поиск доказательства теоремы.
- •2) Доказательство теоремы.
- •3) Запись доказательства.
- •4) Применение теоремы.
- •5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- •4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- •1) Теорема о свойстве понятия.
- •2) Теорема о признаке понятия.
- •3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- •4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- •1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- •2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- •Глава 5. Задачи
- •5.1. Теоретические сведения о задачах
- •1) Понятие «задача». Структура задачи.
- •2) Классификации задач.
- •3) Процесс решения задачи.
- •4) Основные требования к решению задачи.
- •5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- •6) Роль и функции задач в обучении.
- •5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- •1) Типовой проект работы над задачей.
- •Типовой проект работы над задачей
- •3) Поиск решения задачи.
- •4) Запись решения задачи.
- •6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- •5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- •1) Что такое «сюжетная задача»?
- •2) Особенности решения сюжетных задач.
- •3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- •4) Задачи «на уравнивание».
- •5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- •1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- •2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- •3) Задачи «на движение».
- •4) Задачи «на работу».
- •Итоговый тест
- •Список литературы
- •Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- •656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Алтайская государственная педагогическая академия»
С.А. Владимирцева
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ИЗУЧЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ШКОЛЬНОГО
КУРСА МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие для студентов
математических специальностей
педагогических вузов и университетов
Рекомендовано УМО
по специальностям педагогического образования
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по специальности 032100 - математика
Б
УДК 373.1.02:372.8(075)
ББК 74.262.21я73
В 573
Владимирцева С.А. Теоретические основы изучения содержания школьного курса математики. – Барнаул: Изд-во «Концепт», 2012. – 161 с.: ил.
Рецензенты:
доктор педагогических наук, профессор,
профессор АлтГПА Э.К. Брейтигам;
доктор физико-математических наук, профессор,
профессор АлтГПА Ю.Н. Мальцев
Под редакцией кандидата педагогических наук, доцента,
доцента АлтГПА М.А. Гончаровой
В учебном пособии рассматриваются общие вопросы изучения основных единиц содержания школьной математики: математических действий, понятий и их определений, теорем, математических задач. Методика изучения содержания школьной математики строится на основе знаний о структуре изучаемого материала. Проблема формирования конструктивно-проектировочной деятельности будущего учителя решается в процессе обучения студентов типовому проектированию содержания обучения и учебного занятия.
Книга предназначена студентам математических специальностей, а также преподавателям методики обучения математике и учителям.
©Издательство АлтГПА, 2012
© Владимирцева С.А., 2012
Содержание
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения 7
1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике 13
1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся 16
1.4. Развитие познавательного интереса к математике 20
1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему 25
1.6. Планирование целей урока математики 29
1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики 37
Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура 40
2.2. Типовой проект формирования математического действия 43
2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений 48
2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему 51
Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
3.1. Сущность категории «понятие» 56
3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия 59
3.3. Основные этапы формирования понятия 65
3.4. Некоторые подходы к введению нового 67
математического объекта 67
3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия) 71
3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения 78
3.7. Уровни усвоения математического понятия 81
Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
4.1. Теоретические основы изучения теорем 85
4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений 92
4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства 101
4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств 107
4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы 114
4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков 120
4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы 126
Глава 5. Задачи 129
5.1. Теоретические сведения о задачах 129
5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей 132
5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения 139
5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач 147
Итоговый тест 153
Список литературы 162
Предисловие
Данное учебное пособие соответствует программе дисциплины «Теоретические основы обучения математике в школе». В пособии нашли отражение вопросы общей методики обучения математике, касающиеся изучения её содержания. Традиционные вопросы, связанные с проектированием современного урока в пособии специально не рассматриваются так же, как и вопросы о формах и методах обучения, способах организации деятельности учащихся на уроках математики.
Основная цель данного пособия – формирование правильных представлений о логической структуре основных единиц содержания школьной математики (математических действий, понятий, определений, теорем и их доказательств, задач и упражнений), закономерностях их изучения в школе и обучение основам проектирования реального учебного процесса с учётом этих закономерностей.
Изложение содержания пособия строится на основе системно-деятельностного подхода к обучению, в основе которого заложены теория деятельности А.Н. Леонтьева, учение об ООД П.Я. Гальперина и др. В современной теории познания категория «знание» трактуется как некий «сплав» информации и деятельности по её усвоению и применению. Чтобы информация о закономерностях обучения стала личным достоянием студента – его знанием, необходимо создать условия для применения информации в практической деятельности. Таким представлениям о категории «знание» в полной мере соответствует изложение материала в данном пособии. Содержание каждой главы пособия представлено как система теоретических знаний о структуре и сущности основных единиц содержания школьной математики и совокупности тех познавательных и методических действий, которые необходимы учителю на уровне методической грамотности.
За основу обучения студентов конструктивно-проектировочной деятельности принята система типового проектирования. Обучение типовому проектированию представляет собою длительный процесс, основными компонентами которого являются:
усвоение студентами теоретических основ изучаемого содержания, а именно, основных его единиц;
формирование умения анализировать материал школьного учебника;
формирование умения проектировать деятельность учителя и учащихся на основе типовых проектов, как на уроке в целом, так и на отдельных его этапах.
Студенту предлагается ориентировочная основа деятельности в форме типового проекта для организации изучения каждой из основных единиц содержания школьной математики, в котором учтены теоретические знания об её структуре и закономерностях усвоения.
Несмотря на то, что типовое проектирование соответствует уровню методической грамотности начинающего учителя, оно позволяет формировать на уровне универсализации необходимые познавательные и методические действия студентов.
Хотя в пособии рассматриваются традиционные вопросы методики обучения математике, ряд из них решается иначе, чем это обычно принято. К таким вопросам можно отнести изложение проблемы целеполагания, методологии и методики формирования математических понятий и др. При рассмотрении вопросов, которые не нашли однозначного решения в методике обучения математике, как науке, в пособии предлагается, как правило, только одна точка зрения, которая по мнению автора созвучна требованиям современной науки.
Пособие разбито на 5 глав, в первой из них рассмотрены некоторые общие вопросы обучения математике, остальные главы посвящены рассмотрению отдельных единиц содержания. В конце книги приводится список литературы, использованной в процессе работы над пособием. Кроме того, в конце приведён итоговый тест по материалу пособия, который можно использовать как на занятиях по методике обучения математике, так и студентами для самоконтроля.
Автор выражает благодарность редактору пособия М.А. Гончаровой и рецензентам Э.К. Брейтигам и Ю.Н. Мальцеву. Их ценные советы и замечания были учтены при написании книги.