- •Содержание
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- •Глава 5. Задачи 129
- •Предисловие
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- •1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- •1) Значение математического образования в жизни человека.
- •2) Цели обучения математике в школе.
- •3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- •4) Принципы обучения.
- •1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- •1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- •1) О структуре математического языка.
- •2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- •1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- •1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- •2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- •1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- •1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- •2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- •1.6. Планирование целей урока математики
- •1) Планирование целей урока математики.
- •2) Образовательные цели урока математики.
- •3) Развивающие цели урока математики.
- •4) Воспитательные цели урока математики.
- •1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- •1) Проект и конспект урока.
- •2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- •2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- •1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- •2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- •2.2. Типовой проект формирования математического действия
- •1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- •Типовой проект формирования нового действия
- •2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- •2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- •1) Упражнение. Система упражнений.
- •2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- •2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- •3.1. Сущность категории «понятие»
- •1) Роль и функции понятий в мышлении.
- •2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- •3) Процесс образования научных понятий.
- •3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- •1) О структуре математического понятия.
- •2) Логическая схема понятия.
- •3) Свойства и признаки понятия.
- •4) Необходимые и достаточные условия.
- •3.3. Основные этапы формирования понятия
- •Характеристика этапов
- •3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- •1) Конкретно-индуктивный подход.
- •2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- •3) Исследовательский подход.
- •4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- •5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- •3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- •1) О сущности определений.
- •2) Структура определений.
- •3) Определяющий признак, его структура.
- •4) Следствия из определения.
- •5) Отрицание определения.
- •6) Определения рабочие и нерабочие.
- •7) Эквивалентные определения.
- •3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- •1) Анализ определения.
- •Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- •3.7. Уровни усвоения математического понятия
- •1) Усвоение понятия: что это такое?
- •2) Уровни усвоения математического понятия.
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства
- •4.1. Теоретические основы изучения теорем
- •1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- •2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- •3) Теоремы общего вида.
- •4) Теоремы существования.
- •5) Теоремы единственности.
- •4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- •1) Рассуждения, структура рассуждений.
- •2) Дедуктивные рассуждения.
- •3) Недедуктивные рассуждения.
- •3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- •4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- •4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- •1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- •2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- •3) План анализа теоремы.
- •4) План анализа доказательства теоремы.
- •4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- •1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- •Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- •2) Подготовительный этап.
- •3) Работа над содержанием теоремы.
- •Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- •3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- •4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- •1) Поиск доказательства теоремы.
- •2) Доказательство теоремы.
- •3) Запись доказательства.
- •4) Применение теоремы.
- •5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- •4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- •1) Теорема о свойстве понятия.
- •2) Теорема о признаке понятия.
- •3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- •4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- •1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- •2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- •Глава 5. Задачи
- •5.1. Теоретические сведения о задачах
- •1) Понятие «задача». Структура задачи.
- •2) Классификации задач.
- •3) Процесс решения задачи.
- •4) Основные требования к решению задачи.
- •5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- •6) Роль и функции задач в обучении.
- •5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- •1) Типовой проект работы над задачей.
- •Типовой проект работы над задачей
- •3) Поиск решения задачи.
- •4) Запись решения задачи.
- •6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- •5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- •1) Что такое «сюжетная задача»?
- •2) Особенности решения сюжетных задач.
- •3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- •4) Задачи «на уравнивание».
- •5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- •1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- •2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- •3) Задачи «на движение».
- •4) Задачи «на работу».
- •Итоговый тест
- •Список литературы
- •Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- •656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,
1) Усвоение понятия: что это такое?
Усвоение понятия представляет собою превращение той объективной информации, которая известна на данный момент времени о соответствующем математическом объекте, в субъективное знание. Сущность категории «знание» в современной теории познания выражается формулой «знание = информация + деятельность» [3]. Знание – личное достояние человека. Информация доступна всем, она объективна хотя бы с той точки зрения, что она может быть представлена, например, в учебнике. Но возможности превратить информацию в знание у каждого свои, они зависят от личного опыта человека, от его способностей и др. Информация усваивается в ходе деятельности по её применению. Применение способствует систематизации информации, её «свёртыванию», превращению её в знания, на основе которых и образуются научные понятия. Способы деятельности с изучаемым объектом не входят в содержание понятия, но именно освоение деятельности, связанной с применением понятия, является необходимым условием образования научного понятия. Под усвоением понятия будем понимать включение в ментальный опыт ребёнка существующей вне его, то есть объективно, научной информации об изучаемом математическом объекте и способов деятельности с ней.
К действиям, которые характеризуют усвоение понятия, психологи относят: построение образа данного объекта; свободный переход от одной формы представления информации к другой; грамотное использование различных знаковых систем; правильное использование имеющейся информации в познавательной деятельности; рефлексию приобретённого опыта работы с информацией, сравнение с имеющимся опытом.
В методической науке и практике используется термин «формирование понятия». Формирование понятия будем трактовать как совместную деятельность учителя и учащихся, направленную на изучение информации о некотором математическом объекте и деятельности с ней.
2) Уровни усвоения математического понятия.
Усвоение информации, способов деятельности с нею, которое лежит в основе образования научного понятия, также как и образование понятия, проходит определённую последовательность этапов. В психологии и педагогике преодоление некоторого этапа фиксируется термином «уровень усвоения». В связи с технологизацией процесса обучения вопрос об уровнях усвоения учебной информации стал особенно актуальным. Знания об уровнях усвоения необходимы школьному учителю для того, чтобы правильно оценить качество обучения.
Уровень усвоения математического понятия будем понимать как определённый результат изучения математического объекта в рамках некоторой темы, учебного предмета.
При определении содержания уровня усвоения учитывались следующие требования:
уровень усвоения должен характеризоваться такими интеллектуальными действиями, которые поддаются объективному наблюдению и измерению;
в связи с тем, что понятие образуется вследствие усвоения информации о соответствующем математическом объекте, целесообразно связать уровни его усвоения с объёмом и качеством усваиваемой учеником информации и теми действиями, которые необходимы для её усвоения.
Таблица 2.
Уровни усвоения математического понятия
№ п/п |
Уровни усвоения понятия |
Деятельность ученика |
1 |
Уровень конкретного примера |
Умеет привести пример изучаемого объекта, узнаёт новый объект среди других объектов. |
2 |
Уровень определения |
Формулирует определение, понимает смысл всех его слов; умеет привести пример и контрпример, обосновывает свой выбор; умеет переформулировать определение, т.е. перекодировать информацию, сохранив её смысл; использует в рассуждениях тривиальные следствия из определения. |
3 |
Уровень фактов |
Владеет необходимой информацией, например, знает определения, формулировки теорем, правила и т.д., но применяет информацию исключительно по образцу. Это тот случай, когда ученик говорит: «Всё выучил, а задачи решать всё равно не умею». |
4 |
Уровень систематизации информации |
Умеет установить отношение логического следования между суждениями, а также между понятием и суждением; понимает смысл терминов «свойство» и «признак» понятия; правильно использует их в учебно-познавательной деятельности. Умеет применить усвоенную информацию в стандартных ситуациях. |
5 |
Творческий уровень |
Умеет применять усвоенную информацию для получения новых знаний; умеет исследовать изучаемые объекты, а именно, выявлять их свойства, высказывать гипотезы относительно признаков, проверять гипотезы путём доказательства; учитывает роль определения в структуре математической теории; самостоятельно проводит систематизацию информации об изучаемом математическом объекте и систематизацию понятий данной темы; умеет применять усвоенную информацию в нестандартных ситуациях. |
В результате выделены следующие уровни усвоения математического понятия.
1. Уровень конкретного примера.
2. Уровень определения.
3. Уровень фактов.
4. Уровень систематизации информации.
5. Творческий уровень.
Содержание уровней отражено в таблице 2.
Наблюдения и проведённые экспериментальные исследования показывают, что примерно 40% учащихся средней школы усваивают геометрические понятия на уровне фактов, 2-3% достигают 4-го и 5-го уровня, остальные усваивают геометрические понятия на уровне конкретного примера или уровне определения.