Глава 5. Задачи

5.1. Теоретические сведения о задачах

1) Понятие «задача». Структура задачи.

Кто-то подсчитал, что за годы учёбы в школе ученик решает около 10000 задач. На их решение отводится более половины уроков математики. Что же такое задача? В научной литературе существуют различные подходы к определению задачи. Описание и анализ этих подходов можно найти в пособиях [32; 76]. Будем придерживаться следующей точки зрения: школьная математическая задача – это требование или вопрос, на который нужно найти ответ, опираясь на заданные условия. Например, в задаче «В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найдите катеты этого треугольника» первое предложение содержит условия задачи, а второе – требование. Таким образом, каждая задача состоит из условия и требования (вопроса) задачи. В свою очередь, условие и требование данной задачи можно разбить на элементарные условия (для этого нужно данное предложение разложить на простые предложения). Тогда получим условия: треугольник является прямоугольным; в треугольник вписана окружность; точка К – точка касания гипотенузы с окружностью; точка К делит окружность на отрезки 5 см и 12 см. Требование задачи можно разбить на два: найти один катет; найти второй катет треугольника.

2) Классификации задач.

Существуют различные классификации задач. Однако единого мнения ни по одной из этих классификаций нет. Тем не менее, знание отдельных типов и видов задач помогает в организации работы над задачей с учениками. Приведём некоторые классификации задач.

По характеру объектов предметной области задачи делятся на классы:

а) чисто математические задачи (например, «решить уравнение»);

б) прикладные или практические задачи (к ним относятся, например, сюжетные задачи).

По характеру требования задачи можно разбить на следующие классы:

а) вычислительные задачи;

б) задачи на построение некоторого объекта или его отыскание;

в) задачи на доказательство.

По наличию алгоритма решения:

а) стандартные задачи (если способ решения их известен);

б) нестандартные задачи.

Очевидно, ни одна из приведённых классификаций не является строгой. Например, нахождение промежутков монотонности функции, заданной формулой до изучения темы «Производная» является нестандартной задачей для учеников. После изучения соответствующего алгоритма она становится стандартной. Тем не менее, в разных обстоятельствах при решении дидактических задач с пользой применяются те или иные классификации предметных задач.

Нередко полной классификации задач не проводится, но выделяется один или несколько видов задач, исходя из потребностей обучения. Например, в методике обучения математике распространён термин «сюжетные задачи». Сюжетной называют задачу, в тексте которой описывается некоторая жизненная ситуация (сюжет из жизни). К таким задачам относятся задачи «на движение», «на работу» и др. так как работа над такими задачами традиционно вызывает затруднения у начинающих учителей, то в дальнейшем им будет уделено особое внимание.