3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
К эффективным средствам обучения учащихся самостоятельным аналитическим и синтетическим рассуждениям можно отнести диалог учителя и учащихся аналитического (побуждающего) и синтетического (подводящего) характера, результатом которого будет отыскание способа доказательства теоремы или решения задачи, а также обучение анализу готовых доказательств, которое рассмотрено в следующих параграфах.
Схема диалога аналитического характера по поиску доказательства теоремы.
Пусть требуется доказать утверждение: А В.
Дано: А. Доказать: В.
Вопросы учителя |
Предполагаемый ответ ученика |
Что нужно доказать? |
Нужно доказать В. |
Что для этого нужно знать? |
Нужно знать С. |
Знаем ли мы С? |
Нет, не знаем. |
Что нужно знать, чтобы доказать С? (По каким данным можно найти С?). |
Нужно знать Е и Д. |
Что уже известно? |
Известно Д. |
Что нужно знать, чтобы доказать Е? (По каким данным можно найти Е? Как доказать Е?) |
|
Процесс беседы продолжается до тех пор, пока не получится в ответе, что мы знаем всё, чтобы доказать, например, Е. После этого начинается беседа синтетического характера.
Схема диалога синтетического характера по поиску доказательства теоремы.
Вопросы учителя |
Предполагаемый ответ ученика |
Нам известно, что имеет место А. Какой вывод можно сделать на основании этих данных? |
Можно сделать вывод, что имеет место Д. |
А что нужно доказать? |
В. |
Нам известно Д. Какой вывод можно сделать на основании этих данных? |
Можно сделать вывод, что имеет место Е. |
Какой вывод следует из условий Д и Е? |
Можно сделать вывод, что имеет место F. |
Диалог заканчивается, когда получим вывод о том, что В истинно.
При проведении диалога по аналитической схеме основным будет вопрос: «Что для этого нужно знать?».
При проведении диалога по синтетической схеме основной вопрос: «Какой вывод можно сделать на основании известных условий?».
П
ример
7. Рассмотрим
беседу по поиску доказательства теоремы:
Если
боковые рёбра треугольной пирамиды
равны, то основание её высоты совпадает
с центром окружности, описанной около
основания.
Пусть дана пирамида SАВС, где S – вершина пирамиды, точка О – основание её высоты. Докажем, что точка О – центр окружности, описанной около треугольника ABC.
Вопросы учителя |
Предполагаемые ответы учеников |
1) Что нужно доказать? |
Точка О – центр описанной окружности около основания пирамиды. |
2) Что для этого нужно доказать? |
Точка О равноудалена от вершин А, В, С, то есть отрезки ОА, ОВ, ОС, равны. |
3) Как доказать равенство отрезков? |
Нужно найти равные треугольники, в которые входят эти отрезки. |
4) В какие треугольники входят рассматриваемые отрезки? |
Во-первых, они входят в треугольники, лежащие в основании. Во-вторых, эти отрезки входят в треугольники SОА, SОВ, SОС. |
5) Какие треугольники целесообразно рассмотреть? |
Нужно рассматривать треугольники SОА, SОВ, SОС, так как в них входят рёбра пирамиды. Про треугольники, лежащие в основании ничего не известно. |
6) Что нужно знать, чтобы доказать равенство треугольников? |
Нужно знать 3 пары попарно равных элементов, среди которых есть хотя бы одна пара сторон. |
7) Какие пары равных элементов можно указать в данных треугольниках? |
Эти треугольники – прямоугольные. SО – общий катет, а гипотенузы данных треугольников равны по условию. |
8) Какой вывод можно сделать по этим данным? |
Треугольники SОА, SОВ, SОС равны по признаку равенства прямоугольных треугольников. |
9) Какой вывод можно сделать об отрезках ОА, ОВ, ОС? |
Эти отрезки равны по определению равных треугольников, так как они лежат против равных углов. |
10) Какой вывод можно сделать из доказанного? |
Точка О равноудалена от вершин треугольника АВС. |
11) Как называется такая точка? |
Точка О называется центром окружности, описанной около основания. |
Диалог, приведённый в примере, до вопроса 8) носит аналитический характер, а начиная с этого вопроса – синтетический характер. В этом случае диалог называют аналитико-синтетическим.
Пример 8. Рассмотрим беседу по поиску доказательства той же самой теоремы, проведённую по синтетической схеме.
Вопросы учителя |
Предполагаемые ответы учеников |
1) Проведите отрезки ОА,ОВ,ОС. SО – высота пирамиды. Какой вывод можно сделать относительно треугольников SОА,SОВ, SОС? |
Они прямоугольные. Это следует из определения перпендикулярности прямой и плоскости. |
2) SА, SВ, SС – рёбра пирамиды. Что известно о них из условия теоремы? |
Они равны. |
3) SО – общий катет. SА, SВ, SС – равные гипотенузы. Какой вывод можно сделать по этим данным? |
Треугольники SОА, SОВ, SОС равны по признаку равенства прямоугольных треугольников. |
4) Какой вывод можно сделать об отрезках ОА, ОВ, ОС, исходя из этих данных? |
Эти отрезки равны по определению равенства треугольников. |
5) Какой вывод можно сделать, исходя из этих данных? |
Точка О равноудалена от всех вершин основания пирамиды. |
6) Как называется такая точка? |
Она называется центром описанной окружности. |
7) Назовите радиус искомой окружности. |
Например, отрезок ОА. |
Возвращаясь к примерам 7) и 8), можно заметить, что беседа синтетического характера короче, быстрее приводит к результату. Однако, если поиск доказательства теорем проводить только синтетическим способом, то для части учащихся останется неясным вопрос, почему именно эти фигуры нужно рассматривать, не ясны причинно следственные связи рассуждений. Синтетический способ рассуждений при поиске доказательства применяется тогда, когда в доказательстве используется незнакомый приём, когда ученики не смогут найти ответы на вопросы учителя аналитического характера. Диалог аналитического и аналитико-синтетического характера является частным случаем эвристической беседы.