3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)

Теоретические сведения об определениях математических понятий ни в одном учебном курсе педвуза не рассматриваются. Тем не менее, учитель должен знать, как они «устроены», какую роль играют в математических теориях, как используются в рассуждениях.

В данном пункте будут рассмотрены следующие вопросы:

1. О сущности определений математических понятий.

2. Структура определений.

3. Определяющий признак и его структура.

4.Следствия из определения.

5. Отрицание определения.

6. Определения рабочие и нерабочие.

7. Эквивалентные определения.

Термины «определение понятия» и «определение объекта» мы различать не будем, так как с формулировки определения начинается формирование понятия.

1) О сущности определений.

В настоящее время в основу методики изучения определений положена следующая точка зрения, заимствованная в формальной логике: определение рассматривается как логическая операция, как некий процесс выделения существенных черт объектов, в результате которого и рождается определение. Основываясь на данном подходе, в обучении математике в школе нашла широкое распространение ложная тенденция – обучение «открытию» определений. Например, авторы одного известного пособия для учителей рекомендуют построить работу над определением угла, вписанного в окружность, таким образом: учащимся предлагается рассмотреть рисунок, на котором изображены окружность и 4 угла, среди них только один угол является вписанным. «Задаётся вопрос: Подумайте, какой из углов мы будем называть вписанным в окружность? После обсуждения различных ответов составляется определение».

Внешне деятельность учащихся по «открытию» определений выглядит вполне современно, побуждает детей к анализу ситуации. В действительности такая работа сводится к угадыванию нужного ответа, она утомляет детей, а главное, создаёт неверные представления обо всей математике в целом. По поводу «открытия» определений Г. Фройденталь, автор известного пособия для учителей, писал: «Как можно определить нечто, коль скоро не знают того, что определяют?» 52, с. 48.

Основная цель учителя – организовать деятельность учащихся таким образом, чтобы они открыли для себя новый объект, а не его определение.

На самом деле математические определения играют двоякую роль: во-первых, они закрепляют термин за изучаемым математическим объектом (или отношением между ними), во-вторых, служат начальным звеном в цепи дедуктивных рассуждений, в результате которых возникают научные теории, новые математические понятия.

Строгие определения понятий появляются лишь после того, как теория уже настолько развита, что возникает потребность в её логическом упорядочении.

2) Структура определений.

Под определением математического объекта (понятия) будем понимать математическое предложение, в котором вводится термин для обозначения данного математического объекта и только его.

Большинство определений школьного курса математики имеет следующую логическую структуру:

Разъяснительная часть: Ввод термина Определяющий признак

Формализованная запись определения:

Пусть х  М. Тогда (x) Р(x), (1)

где Т(х) означает «х называется термином Т»;

Р(х) – один из критериев понятия Т, который назовём определяющим признаком;

«пусть х  М» – разъяснительная часть, она читается: «х – произвольный элемент множества М», «х – произвольный математический объект».

Пример 1. Рассмотрим структуру определения параллелограмма. Определение: «Параллелограммом называется выпуклый четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны».

Разъяснительная часть данного определения: пусть Х – выпуклый четырёхугольник. Ввод термина: Х есть параллелограмм. Определяющий признак: противоположные стороны Х параллельны.

Пример 2. Рассмотрим структуру определения нулевой степени числа а. Определение: «Ненулевое число а в нулевой степени по определению равно единице».

Разъяснительная часть: пусть а – произвольное число, отличное от нуля; х – произвольное число. Ввод термина: х есть нулевая степень числа а. Определяющий признак: х = 1.

Введём обозначение х = а⁰. Можно сделать следующую символическую запись определения: «Пусть а, х – произвольные числа, причём а ≠ о. Тогда (х = а⁰ х = 1)».

Как следует из примеров 1 и 2, по структуре эти определения мало отличаются друг от друга, хотя в содержательном плане они имеют существенные различия. Определением параллелограмма выделяется класс объектов из некоторого известного множества по определённому признаку – в формальной логике такие определения называются определениями через род и видовые отличия. Определением нулевой степени вводится лишь символ для обозначения математического объекта: числа 1. Такие определения в логике называют номинальными. В дидактическом плане классификация определений, принятая в формальной логике, не имеет практической ценности, а потому мы её рассматривать не будем.