2) Теорема о признаке понятия.

Пусть В – признак понятия Р. Тогда теорема о признаке имеет вид: В (х)Р (х). Так признаком параллелограмма является равенство противоположных углов. Соответствующая теорема о признаке формулируется следующим образом: «Если в четырёхугольнике противоположные углы равны, то такой четырёхугольник является параллелограммом».

При изучении теоремы о признаке В понятия Р можно поставить следующие вопросы:

• Какие два суждения связаны в данной теореме?

• Среди каких объектов нужно искать Р?

• По каким признакам можно распознать Р среди объектов х?

• Какое суждение высказано об объекте х в данной теореме?

• Известно, что В(х). Верно ли, что х есть Р?

• На каком основании?

• Можно ли суждение В назвать признаком понятия Р? Почему?

• Какие признаки данного понятия вы ещё знаете?

• Будет ли В свойством понятия Р?

• Как ответ обосновать?

• Какие свойства понятия вы ещё знаете?

• Где используются свойства понятия Р?

• Когда используются признаки понятия Р?

Пример 2. После доказательства теоремы: «Если противоположные стороны четырёхугольника равны, то четырёхугольник является параллелограммом» можно провести следующую беседу:

• О какой фигуре идёт речь в теореме?

• Среди каких фигур нужно искать параллелограмм?

• По какому признаку ранее мы распознавали параллелограмм среди других четырёхугольников?

• Что было известно о четырёхугольнике в доказанной теореме?

• Какой вывод можно сделать о таком четырёхугольнике?

• Если известно, что у четырёхугольника противоположные стороны равны, можно ли его назвать параллелограммом? На каком основании?

• Можно ли равенство сторон назвать признаком параллелограмма? Почему?

• Какие признаки параллелограмма ещё вы знаете?

• Можно ли равенство противоположных сторон назвать свойством параллелограмма?

• Как обосновать ответ?

• Какие свойства параллелограмма вы уже знаете?

• Когда при решении задач используются свойства понятия, а когда – признаки?

На последний вопрос учащиеся должны дать следующий ответ: если при решении задачи или доказательстве теоремы получится параллелограмм, то мы имеем право использовать его свойства. Если же дан четырёхугольник, обладающий одним из признаков, то можно сделать вывод, что данный четырёхугольник – параллелограмм.

При рассмотрении систем упражнений необходимо также вести соответствующую работу по формированию понятий.

• Найдите упражнения, в которых идёт речь о понятии Р.

• Что говорится о данном понятии в упражнении № ?

• Какие новые свойства понятия Р вы узнали, выполняя эти упражнения?

• Назовите упражнение, в котором рассматривается новый признак понятия Р.

• В каком случае на практике используется свойство понятия, а в каком – признак?

3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.

Формирование умения изучать математический объект, открывать его свойства и признаки можно осуществить с использованием исследовательского подхода. При этом можно спроектировать познавательную деятельность учащихся таким образом, чтобы воспроизвести (с некоторой долей достоверности!) деятельность учёного-математика, направленную на изучение нового объекта и построение теории понятия.

При исследовательском подходе совместная деятельность учителя и учащихся проходит по следующим этапам:

• определение цели деятельности;

• эмпирическое изучение нового математического объекта;

• формулирование гипотез относительно его свойств как результат предыдущего этапа (получение совокупности суждений, в которых отражены свойства нового объекта);

• начало построения теории понятия: введение термина, выбор определяющего признака, формулировка определения нового объекта;

• начало систематизации суждений: формулирование утверждений о свойствах объекта и проверка их истинности путём дедуктивных доказательств;

• поиск признаков исследуемого объекта (доказательство обратных утверждений);

• систематизация суждений о новом объекте: уточнение логических связей между суждениями; логическое упорядочение содержания нового понятия;

• обучение применению нового понятия в деятельности: решение опорных задач; выделение общих приёмов деятельности, способствующих применению понятия (например, отыскание эвристик);

• применение понятия в нестандартных ситуациях.

Пример 3. Рассмотрим данный подход на примере изучения понятия «параллелограмм».

У чащимся предлагается изучить соотношения между сторонами и углами представленного на рис.15 четырёхугольника c попарно параллельными сторонами. При этом термин «параллелограмм» пока не вводится. В результате наблюдений ученики могут высказать следующие суждения.

В четырёхугольнике ABCD:

1) AB||CD и BC||AD.

2) AB||CD и AB =CD.

3) BC||AD и BC = AD.

4) Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

5) ∆ ABD = ∆ BDC и AB || CD.

6) Противоположные углы четырёхугольника равны.

7) Треугольники, которые образуются при пересечении диагоналей, попарно равны.

Возможно, учащиеся выскажут и некоторые другие суждения.

Учитель проводит следующую беседу: «В математике ничего не принимается «на веру». Наши наблюдения, даже если они справедливы, должны быть обоснованы. Поскольку мы изучали определённый математический объект – четырёхугольник определённой формы, то желательно его как-то назвать. В математике такой четырёхугольник называется параллелограммом. Для того, чтобы проверить справедливость высказанных суждений, необходимо одно из них принять за основу построения новой теории. Такой основой служит определение нового объекта. Определение выбирает тот учёный, который первым выстраивает теорию. В качестве определяющего выбирается такой признак объекта, по которому нетрудно его распознать среди других четырёхугольников. Судя по названию, параллелограммом следует назвать четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Выполним краткую запись определения:

Четырёхугольник – параллелограмм противоположные стороны четырёхугольника параллельны.

После этого формулируются утверждения о свойствах параллелограмма – соответствующие теоремы. Предпринимаются попытки их доказать».

Учащиеся с помощью учителя формулируют теоремы:

• Если четырёхугольник – параллелограмм, то его противоположные стороны равны.

• Если четырёхугольник – параллелограмм, то диагонали точкой пересечения делятся пополам. И т.д.

Доказательство этих теорем можно организовать в форме групповой самостоятельной работы или обычным способом. Если учитель на предыдущих уроках провёл необходимую подготовительную работу к доказательству свойств параллелограмма, то ребята самостоятельно справляются с ними. Итогом данной работы должно стать составление логической схемы для содержания понятия «параллелограмм». С помощью схемы выясняются связи между отдельными суждениями, например. Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то диагонали его точкой пересечения делятся пополам. При этом не следует жалеть времени на выяснение роли свойств в учебно-познавательной деятельности: в процессе решения задач, при доказательстве теорем. После изучения свойств учитель обучает учащихся их применению. После доказательства свойств (на следующем уроке) учитель сообщает учащимся, что дальше математики, как правило, формулируют обратные утверждения к доказанным теоремам и пытаются их доказать. Здесь важно донести до учащихся содержательный смысл обратных утверждений, а именно, что на самом деле мы проверяем, можно ли использовать выделенные ранее суждения о параллелограмме 1-7 в качестве его признаков, то есть проверяется возможность их использования для распознавания параллелограмма среди других четырёхугольников. После доказательства каждой теоремы вносятся соответствующие изменения в логическую схему понятия «параллелограмм». Понятие «параллелограмм» изучается в 8-м классе. Но подобную работу в курсе геометрии можно начать уже с семиклассниками при изучении равнобедренного треугольника. Вообще исследовательский подход к изучению понятий эффективен тогда, когда математический объект имеет наглядный образ, понятие «богато» свойствами и признаками. К таким понятиям можно отнести геометрические понятия: равнобедренный треугольник, ромб, квадрат, равнобедренная трапеция и др.