Глава 4. Теоремы и их доказательства

4.1. Теоретические основы изучения теорем

С понятием «теорема» учащиеся знакомятся в самом начале изучения курса геометрии. В учебниках геометрии даются лишь начальные сведения о структуре теоремы, способах доказательства. Для учителя математики этих сведений, конечно, недостаточно. В данном пункте рассматриваются не только теоретические вопросы, связанные с их видами и способами доказательства, но также даются рекомендации по выполнению краткой записи теорем в зависимости от их вида.

Теорема – это предложение, истинность которого устанавливается путём рассуждений. Такое разъяснение термину теорема обычно даётся в школе, и хотя не все учёные-методисты с ним согласны, оно вполне отражает сущность понятия теорема в школьной математике. Из данной трактовки следует, что теорема – это высказывание, которое является всегда истинным.

К основным видам теорем школьного курса математики можно отнести:

1. Импликативные теоремы.

2. Теоремы общего вида.

3. Теоремы существования и единственности.

1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.

Импликативной теоремой называют теорему вида: (х  ) (А(х)  В(х)).

На естественном языке она читается чаще всего следующим образом: «Для любого элемента х из множества : если А(х), то В(х)». Так как в русском языке квантор общности опускается, то разъяснительная часть в формулировке теоремы на естественном языке отсутствует. Импликативная теорема, например, формулируется следующим образом: «Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые их пересечения третьей плоскостью параллельны». Основной признак импликативных теорем – наличие союза «если ..., то...». Рассмотрим структуру импликативной теоремы

(х  ) (А(х)  В(х)).

(х) – разъяснительная часть теоремы. А(х) называется условием теоремы или посылкой. В(х) называется заключением или требованием теоремы.

Если импликативная теорема сформулирована на естественном языке, то предложение, которое записано между словами «если» и «то», есть условие теоремы, а предложение, которое в формулировке теоремы идёт после слова «то», является заключением теоремы. В теореме, рассмотренной выше, разъяснительная часть: «Для любых трёх плоскостей»; условие теоремы: «Две плоскости параллельны и каждая из них пересекается третьей плоскостью»; заключение теоремы: «Прямые пересечения плоскостей параллельны».

Для импликативной теоремы (х) (А(х)В(х)) можно сформулировать ещё три импликативных утверждения.

1. (х) (В(х)А(х)) – утверждение, обратное данной теореме.

2. (х) ( (х) (х)) – утверждение, противоположное данной теореме.

3. (х) ( (х) (х)) – утверждение, противоположное к обратному утверждению (другими словами – контрапозиционное утверждение к исходной теореме).

В математической логике доказано, что исходная теорема равносильна контрапозиционному утверждению, а обратное утверждение равносильно утверждению, противоположному данной теореме. Поэтому контрапозиционное утверждение к теореме всегда является истинным. Его можно назвать теоремой. Утверждение, обратное к теореме, не всегда является истинным.

Как известно, ложность утверждения с квантором общности можно доказать, отыскав контрпример, а истинность доказывается путём рассуждений, проведённых для произвольного элемента х из множества М.

Пример 1. Составим утверждения 1) - 3) для теоремы: «Если четырёхугольник – ромб, то его диагонали перпендикулярны».

Утверждение 1), обратное к данной теореме: «Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то четырёхугольник – ромб». Данное утверждение ложно. Легко привести контрпример.

Утверждение 2), противоположное данной теореме: «Если четырёхугольник не является ромбом, то его диагонали не перпендикулярны». Это также ложное утверждение.

Утверждение 3), контрапозиционное данной теореме: «Если диагонали четырёхугольника не перпендикулярны, то четырёхугольник не является ромбом». Это утверждение истинно. Его можно назвать теоремой.

Пример 2. Рассмотрим утверждения 1) - 3) для теоремы: «Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения этих плоскостей параллельны».

Утверждение 1), обратное к данной теореме: «Если плоскость пересекает две данные плоскости по параллельным прямым, то данные плоскости параллельны».

Утверждение 2), противоположное к данной теореме: «Если две плоскости пересекаются, то любая другая плоскость пересекает их по непараллельным прямым». Это утверждение ложное. Контрпримером могут служить плоскости боковых граней треугольной призмы.

Утверждение 3), контрапозиционное данной теореме: «Если прямые пересечения двух плоскостей некоторой третьей плоскостью не параллельны, то данные плоскости пересекаются».

Несмотря на содержательную ясность данной теоремы, её структура достаточно сложна. Предикаты в условии и заключении теоремы содержат 5 переменных. Заключение теоремы можно записать и в общеутвердительной форме: «любая плоскость γ, пересекающая две параллельные плоскости, пересекает их по параллельным прямым».

Утверждение 3) истинно, так как оно равносильно данной теореме. Утверждение 1) является ложным. Приведём контрпример. Плоскость диагонального сечения параллелепипеда пересекает плоскости боковых граней по параллельным прямым, содержащим рёбра параллелепипеда. Но сами боковые грани имеют общее ребро, то есть плоскости боковых граней пересекаются. Ложным будет и утверждение 2), так как оно равносильно утверждению 1).