4) План анализа доказательства теоремы.
Цель анализа доказательства – разработка проекта фрагмента урока, обеспечивающего не только успешное усвоение доказательства, но и обучение самостоятельному поиску доказательств математических утверждений.
Изучается доказательство, выясняется его идея.
Выясняется структура доказательства (доказательство разбивается на дедуктивные рассуждения, из которых оно состоит; устанавливаются частные и общие посылки).
Продумываются различные варианты записи доказательства, выбираются наиболее рациональные.
Выявляются новые приёмы (методы), которые использованы в процессе доказательства, с которыми необходимо познакомить учащихся.
Рассматриваются другие варианты доказательства данной теоремы, их рациональность и дидактическая ценность.
Анализируется краткая запись теоремы с целью максимальной эффективности её использования в поиске доказательства теоремы, возможной трансформации её для осуществления контроля усвоения теоремы.
Продумываются обобщения, которые можно сделать после доказательства теоремы.
Пример 2. Выполним анализ теоремы о трёх перпендикулярах.
Формулировка теоремы: «Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной».
1) Вид теоремы. Данная теорема импликативного вида. Разъяснительная часть: Для любых прямых а и b; для любой плоскости α. Условие: а является наклонной; прямая b проведена на плоскости α; прямая b проведена через основание наклонной a; прямая а перпендикулярна прямой b; прямая с – проекция наклонной а.
Заключение теоремы: прямая с перпендикулярна прямой b.
Переформулировка теоремы: «Если на плоскости расположен прямоугольный треугольник таким образом, что один из катетов лежит в плоскости, другой катет перпендикулярен плоскости и через конец гипотенузы, лежащий в плоскости, проведена прямая, перпендикулярная гипотенузе, то эта прямая перпендикулярна и катету». Эта формулировка соответствует чертежу, кроме того, она хорошо иллюстрируется с помощью «подсобных средств»: чертёжного треугольника, плоскости стола и указки. С неё можно начать изучение теоремы, а затем перейти к стандартной формулировке.
2) Краткая запись теоремы (выполняется в соответствии с чертежом на рис.):
Дано:
– плоскость, а
,
А
α,
АС
,
АВ – наклонная, ВС её проекция, а
АВ.
Доказать: а ВС.
Способ доказательства обычный для импликативных теорем. Он приведён в учебнике.
Другие способы рассматривать нецелесообразно.
4) Обратное утверждение приведено в учебнике. Так как условие теоремы представляет собою конъюнкцию простых условий, то обратных теорем к данной теореме будет несколько. В классе с углубленным изучением математики можно рассмотреть каждую из них. В общеобразовательных классах достаточно рассмотреть только приведённую в учебнике. Обратное утверждение для данной теоремы справедливо, значит, другие утверждения к данной теореме также истинны. Например, является истинным противоположное утверждение: «Если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, не перпендикулярна проекции, то она не перпендикулярна и самой наклонной».
5) Данная теорема даёт ещё один способ доказательства перпендикулярности двух прямых. В некоторой степени её можно считать признаком перпендикулярности прямых, которые расположены особым образом.
6) Теорема о трёх перпендикулярах находит широкое применение при решении задач. Поэтому необходимо продумать запись рассуждения, основанного на этой теореме. Запись может быть следующей.
(по теореме о трёх
перпендикулярах).
Следует заметить, что здесь приведены не все частные посылки.
7
)
В формулировке теоремы ученики, как
правило, опускают слова: а) прямая,
проведённая в плоскости; б) через
основание наклонной. При пропуске
словосочетания а) смысл утверждения
меняется. Оно становится ложным. Примером,
доказывающим ложность утверждения:
«Если прямая,
проведённая через основание наклонной,
перпендикулярна её проекции, то она
перпендикулярна наклонной»,
служит рис. 5, на котором прямая а
расположена в плоскости (АВС), пересекает
плоскость α и перпендикулярна проекции
ВС. Однако очевидно, что она не
перпендикулярна наклонной АВ.
При пропуске словосочетания б) получится утверждение: «Если прямая, проведённая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и наклонной». Нетрудно доказать, что данное утверждение истинно. Более того, оно служит обобщением теоремы о трёх перпендикулярах. Эту новую для учащихся теорему можно использовать на обобщающем уроке по теме «Перпендикулярность в пространстве».
Пример 3. Выполним анализ доказательства теоремы о трёх перпендикулярах.
1) Идея доказательства следующая: вместо доказательства перпендикулярности двух прямых доказывается перпендикулярность прямой, о которой идёт речь в теореме, и плоскости, в которой распложены наклонная и её проекция. Этот приём довольно часто использовался при решении задач в предыдущей теме, потому доказательство не должно вызвать затруднений, если начать поиск доказательства с обсуждения его идеи.
2) Рассмотрим структуру доказательства и краткую запись.
Краткая запись доказательства теоремы.
1)
(по следствию из определения прямой и
плоскости);
2)
(по признаку перпендикулярности прямой
и плоскости);
3)
(по следствию из определения прямой и
плоскости).
Теорема доказана.
Таким образом, доказательство состоит из трёх дедуктивных рассуждений. Общими посылками являются определение и признак перпендикулярности прямой и плоскости. Краткая запись отражает структуру доказательства, хотя она не является полной, так как пропущено одно из рассуждений: а ВС по условию. Для учащихся 10-го класса такая запись вполне доступна.
3) Новых приёмов в данном доказательстве нет. Другие доказательства рассматривать на уроке не целесообразно. Поскольку обратная теорема доказывается аналогично данной, то нужно рассматривать её доказательство на том же уроке, что и доказательство данной теоремы.
4) В качестве обобщения теоремы можно ещё раз поговорить об идее доказательства. В частности, подчеркнуть мысль о том, что доказательство не приходится заучивать, если ясна его идея.
5) Краткая запись доказательства теоремы выполняется по основному чертежу (см. рис. 6). При опросе теоремы можно поменять обозначения точек и прямой на чертеже или по-другому расположить плоскость (см. рис. 7; 8)
