- •Содержание
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- •Глава 5. Задачи 129
- •Предисловие
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- •1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- •1) Значение математического образования в жизни человека.
- •2) Цели обучения математике в школе.
- •3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- •4) Принципы обучения.
- •1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- •1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- •1) О структуре математического языка.
- •2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- •1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- •1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- •2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- •1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- •1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- •2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- •1.6. Планирование целей урока математики
- •1) Планирование целей урока математики.
- •2) Образовательные цели урока математики.
- •3) Развивающие цели урока математики.
- •4) Воспитательные цели урока математики.
- •1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- •1) Проект и конспект урока.
- •2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- •2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- •1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- •2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- •2.2. Типовой проект формирования математического действия
- •1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- •Типовой проект формирования нового действия
- •2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- •2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- •1) Упражнение. Система упражнений.
- •2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- •2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- •3.1. Сущность категории «понятие»
- •1) Роль и функции понятий в мышлении.
- •2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- •3) Процесс образования научных понятий.
- •3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- •1) О структуре математического понятия.
- •2) Логическая схема понятия.
- •3) Свойства и признаки понятия.
- •4) Необходимые и достаточные условия.
- •3.3. Основные этапы формирования понятия
- •Характеристика этапов
- •3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- •1) Конкретно-индуктивный подход.
- •2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- •3) Исследовательский подход.
- •4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- •5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- •3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- •1) О сущности определений.
- •2) Структура определений.
- •3) Определяющий признак, его структура.
- •4) Следствия из определения.
- •5) Отрицание определения.
- •6) Определения рабочие и нерабочие.
- •7) Эквивалентные определения.
- •3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- •1) Анализ определения.
- •Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- •3.7. Уровни усвоения математического понятия
- •1) Усвоение понятия: что это такое?
- •2) Уровни усвоения математического понятия.
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства
- •4.1. Теоретические основы изучения теорем
- •1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- •2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- •3) Теоремы общего вида.
- •4) Теоремы существования.
- •5) Теоремы единственности.
- •4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- •1) Рассуждения, структура рассуждений.
- •2) Дедуктивные рассуждения.
- •3) Недедуктивные рассуждения.
- •3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- •4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- •4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- •1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- •2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- •3) План анализа теоремы.
- •4) План анализа доказательства теоремы.
- •4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- •1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- •Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- •2) Подготовительный этап.
- •3) Работа над содержанием теоремы.
- •Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- •3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- •4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- •1) Поиск доказательства теоремы.
- •2) Доказательство теоремы.
- •3) Запись доказательства.
- •4) Применение теоремы.
- •5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- •4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- •1) Теорема о свойстве понятия.
- •2) Теорема о признаке понятия.
- •3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- •4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- •1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- •2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- •Глава 5. Задачи
- •5.1. Теоретические сведения о задачах
- •1) Понятие «задача». Структура задачи.
- •2) Классификации задач.
- •3) Процесс решения задачи.
- •4) Основные требования к решению задачи.
- •5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- •6) Роль и функции задач в обучении.
- •5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- •1) Типовой проект работы над задачей.
- •Типовой проект работы над задачей
- •3) Поиск решения задачи.
- •4) Запись решения задачи.
- •6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- •5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- •1) Что такое «сюжетная задача»?
- •2) Особенности решения сюжетных задач.
- •3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- •4) Задачи «на уравнивание».
- •5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- •1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- •2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- •3) Задачи «на движение».
- •4) Задачи «на работу».
- •Итоговый тест
- •Список литературы
- •Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- •656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,
4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
Рассмотрим применение каждого из подходов при введении такого математического объекта как параллелограмм.
Пример 4. Введение понятия параллелограмм.
Конкретно-индуктивный подход.
Учащимся предлагаются чертёжи четырёхугольников, которые являются параллелограммами. Учитель: «Как расположены противоположные стороны данных четырёхугольников?».
Учащиеся анализируют расположение противоположных сторон и при помощи учителя приходят к выводу: «У четырёхугольников обе пары противоположных сторон параллельны».
Учитель: «Такой четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны, называется параллелограммом».
Далее учитель ведёт работу над определением параллелограмма.
Абстрактно-дедуктивный подход.
Учитель: «Четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны, называется параллелограммом». Далее ведётся работа по усвоению определения.
Исследовательский подход.
Учитель |
Планируемый ответ ученика |
- Из каких элементов состоит четырёхугольник? - Какие отношения можно рассматривать для отрезков – сторон четырёхугольника? - Наша задача – изучить четырёхугольники с точки зрения наличия параллельных сторон. Существует ли четырёхугольник с одной парой параллельных сторон? - Как это доказать? - Кто построит такой четырёхугольник? - Существует ли четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон? - Кто построит такой четырёхугольник? - Можно ли построить четырёхугольник с тремя и более парами параллельных сторон? - Почему?
- Существует ли четырёхугольник, у которого нет параллельных сторон? |
Из сторон и углов.
Отношения равенства, параллельности, перпендикулярности.
Да.
Построением такого четырёхугольника. Ученик строит на доске. Остальные – в тетрадях.
- Да. Ребята строят на доске и в тетрадях.
Нет.
Так как смежные стороны пересекаются, то параллельными могут быть только противоположные стороны. А их две пары. Существует. (Ребята строят на доске и в тетрадях). |
После этого учитель сам вводит термины параллелограмм и трапеция, рассказывает о том, что эти четырёхугольники изучались с древности. Они имеют много интересных свойств. Поэтому нужно ввести строгие определения этих новых понятий. Учащиеся без труда отвечают на вопрос: «Какой четырёхугольник называется параллелограммом?». Здесь же даётся определение трапеции.
5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
Основное достоинство конкретно-индуктивного подхода заключается в том, что при введении нового понятия учитель опирается на жизненный опыт и знания учащихся, что само по себе предполагает активное участие учащихся в учебной работе. Однако без наводящих вопросов учителя ученики не могут выделить существенные свойства объектов, зачастую они обращают внимание и на их несущественные стороны, называют и несущественные их свойства. В этом случае время урока тратится впустую.
Абстрактно-дедуктивный подход самый экономичный по времени, но после введения нового определения требуется определённая работа по созданию правильного образа объекта и по усвоению определения.
Исследовательский подход способствует пониманию учащимися математического метода познания действительности, учит основам классификации объектов, предполагает активное участие ребят в познавательной деятельности, но он требует немалых затрат времени. Кроме того, если первые два подхода можно применить к введению любого понятия, то исследовательский подход даёт хороший результат лишь там, где возможна классификация объектов по определяющему признаку. Исследовательский подход, например, уместен, когда вводится отношение между объектами, например, угол, вписанный в окружность; смежные углы (объект выделяется среди пар углов с общей стороной); взаимное расположение прямой и плоскости и др.