3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения

1) Анализ определения.

Прежде чем проектировать работу по изучению нового объекта и его определения в классе, учителю полезно выполнить анализ определения по следующему плану. Сначала необходимо выяснить, что определяется: объект или отношение между объектами, то есть выделить разъяснительную часть определения. Например, в определениях: а) угла, вписанного в окружность; б) биссектрисы угла; в) прямой, перпендикулярной плоскости, - определяется отношение между фигурами и вводится соответствующий термин. В определениях параллелограмма, многоугольника, функции новый термин вводится для обозначения математического объекта.

Затем выясняются особенности структуры определения: наличие логических связок, кванторов. При этом полезно выполнить формализованную запись определения, привести все возможные примеры определяемого объекта.

На следующем этапе выводятся следствия из определения, строится его отрицание, и приводятся все контрпримеры. Выясняется, будет ли данное определение рабочим или нерабочим. Отыскиваются эквивалентные определения, если они имеются. Эквивалентные определения редко формулируются в тексте учебника. Чаще всего подобные определения можно отыскать в процессе решения задач по изучаемой теме. Специальную работу по рассмотрению эквивалентных определений, как правило, организуют в конце изучения темы – на уроках обобщения и систематизации. Предусматриваются возможные ошибки учащихся при воспроизведении определения, готовятся контрпримеры для каждого случая.

Пример 1. Приведём пример анализа определения биссектрисы угла: биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

1. Определяется отношение между углом и лучом.

2. Структура определения.

Разъяснительная часть: для любого угла, для любого луча.

Ввод термина: луч называется биссектрисой угла.

Определяющий признак: (луч выходит из вершины угла) и (луч делит угол пополам). Он имеет конъюнктивную структуру.

3. Следствия из определения.

Кроме тривиальных следствий можно отметить и другие, например: а) если луч является биссектрисой угла, то он делит угол пополам; б) если луч – биссектриса угла, то он выходит из вершины угла.

4. Отрицание определения.

Луч не является биссектрисой угла, если он не выходит из вершины угла или не делит угол пополам.

5. Определение является рабочим, так как используется при проведении рассуждений.

6. Эквивалентных определений в 7-м классе нет.

7. Возможные ошибки: учащиеся при формулировании определения могут пропустить слова: «выходящий из вершины угла». Примеры и контрпримеры смотри на рис.1. Контрпримеры на всех рисунках, кроме е).

Рис. 1.

Контрпримеры учителю необходимо приводить в том случае, когда ученик, формулируя определение, допускает ошибки. Например, если он в определении биссектрисы пропускает слова «выходит из вершины угла» следует привести контрпример б) или в), если пропускается слово «луч», то приводится контрпример д) и т.д. Умение правильно и вовремя привести контрпример – важное профессиональное качество учителя.

2) Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения.

Рассмотрим типовой проект и фрагмент урока, построенный на основе типового проекта. Основная цель изучения определения – формирование нового понятия, основные задачи – введение нового математического объекта и изучение его определения.