- •Содержание
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- •Глава 5. Задачи 129
- •Предисловие
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- •1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- •1) Значение математического образования в жизни человека.
- •2) Цели обучения математике в школе.
- •3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- •4) Принципы обучения.
- •1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- •1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- •1) О структуре математического языка.
- •2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- •1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- •1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- •2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- •1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- •1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- •2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- •1.6. Планирование целей урока математики
- •1) Планирование целей урока математики.
- •2) Образовательные цели урока математики.
- •3) Развивающие цели урока математики.
- •4) Воспитательные цели урока математики.
- •1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- •1) Проект и конспект урока.
- •2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- •2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- •1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- •2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- •2.2. Типовой проект формирования математического действия
- •1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- •Типовой проект формирования нового действия
- •2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- •2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- •1) Упражнение. Система упражнений.
- •2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- •2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- •3.1. Сущность категории «понятие»
- •1) Роль и функции понятий в мышлении.
- •2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- •3) Процесс образования научных понятий.
- •3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- •1) О структуре математического понятия.
- •2) Логическая схема понятия.
- •3) Свойства и признаки понятия.
- •4) Необходимые и достаточные условия.
- •3.3. Основные этапы формирования понятия
- •Характеристика этапов
- •3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- •1) Конкретно-индуктивный подход.
- •2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- •3) Исследовательский подход.
- •4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- •5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- •3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- •1) О сущности определений.
- •2) Структура определений.
- •3) Определяющий признак, его структура.
- •4) Следствия из определения.
- •5) Отрицание определения.
- •6) Определения рабочие и нерабочие.
- •7) Эквивалентные определения.
- •3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- •1) Анализ определения.
- •Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- •3.7. Уровни усвоения математического понятия
- •1) Усвоение понятия: что это такое?
- •2) Уровни усвоения математического понятия.
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства
- •4.1. Теоретические основы изучения теорем
- •1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- •2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- •3) Теоремы общего вида.
- •4) Теоремы существования.
- •5) Теоремы единственности.
- •4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- •1) Рассуждения, структура рассуждений.
- •2) Дедуктивные рассуждения.
- •3) Недедуктивные рассуждения.
- •3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- •4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- •4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- •1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- •2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- •3) План анализа теоремы.
- •4) План анализа доказательства теоремы.
- •4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- •1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- •Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- •2) Подготовительный этап.
- •3) Работа над содержанием теоремы.
- •Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- •3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- •4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- •1) Поиск доказательства теоремы.
- •2) Доказательство теоремы.
- •3) Запись доказательства.
- •4) Применение теоремы.
- •5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- •4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- •1) Теорема о свойстве понятия.
- •2) Теорема о признаке понятия.
- •3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- •4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- •1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- •2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- •Глава 5. Задачи
- •5.1. Теоретические сведения о задачах
- •1) Понятие «задача». Структура задачи.
- •2) Классификации задач.
- •3) Процесс решения задачи.
- •4) Основные требования к решению задачи.
- •5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- •6) Роль и функции задач в обучении.
- •5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- •1) Типовой проект работы над задачей.
- •Типовой проект работы над задачей
- •3) Поиск решения задачи.
- •4) Запись решения задачи.
- •6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- •5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- •1) Что такое «сюжетная задача»?
- •2) Особенности решения сюжетных задач.
- •3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- •4) Задачи «на уравнивание».
- •5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- •1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- •2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- •3) Задачи «на движение».
- •4) Задачи «на работу».
- •Итоговый тест
- •Список литературы
- •Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- •656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,
2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
В пункте 1.5 был рассмотрен план анализа некоторой темы и системы упражнений по данной теме. Но есть пункты учебника, посвящённые изучению некоторого математического действия, например, действия умножения десятичных дробей, действия сравнения чисел с разными знаками. Естественно, анализ такого пункта следует проводить, опираясь не только на предложенную выше схему, но и на типовой проект изучения нового действия.
Прочитайте текст. Если цель изучения данного пункта учебника – формирование умения выполнять предметное действие, то проведите анализ содержания пункта по следующему плану.
План анализа
Проведите структурный анализ действия, то есть выясните, из каких операций оно состоит.
Установите, имеется ли в пункте материал для мотивации введения действия.
Установите, проведено ли в пункте теоретическое обоснование действия или доказательство того, что результат действия можно найти. Возможно, этот этап вовсе пропущен, подумайте, по каким причинам.
Определите, какого типа ООД приведена в учебнике. Чаще всего в учебнике представлен только образец выполнения действия, то есть предлагается ООД первого типа. В этом случае учителю необходимо продумать систему указаний, направленных на выполнение действия, и если это возможно, продумать форму представления ООД учащимся.
Проанализируйте, какие ситуации применения нового действия представлены в тексте. Есть ли другие ситуации?
Результатом проведённого анализа должна стать разработка частных задач изучения темы. Такую работу невозможно сделать качественно без анализа системы упражнений, прилагающейся к данному пункту. После того, как будут решены все упражнения к данному пункту, учитель должен дать ответы на следующие вопросы:
Имеются ли в системе упражнения подготовительного характера: мотивационные, на актуализацию необходимых знаний и умений и т.д.?
Какие методы решения заданий являются основными в данной теме?
Какие задания являются ключевыми для усвоения нового действия?
Какие особенности можно выделить у групп упражнений, собранных под одним номером в учебнике? Чем они отличаются от других упражнений?
Можно ли выделить некоторые виды упражнений, осуществить классификацию упражнений по какому-либо основанию?
Каким общим приёмам решения заданий, доказательства истинности или ложности математических предложений можно учить школьников в процессе работы над данной темой?
Какие общеучебные умения можно формировать в процессе решения упражнений к данной теме?
Какие предметные умения должны приобрести учащиеся в результате изучения данной темы?
Пример 3. Выполним анализ пункта «Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений» и системы упражнений к нему (учебник «Алгебра 7» под редакцией С.А. Теляковского, авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова).
Данный пункт посвящён изучению действия «преобразование квадрата двучлена в многочлен». Ориентировочной основой выполнения данного действия служат формулы: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, применение которых можно преобразовать в систему указаний: чтобы найти квадрат суммы (разности) двух выражений a и b, нужно: 1) записать квадрат а; 2) поставить знак + (-), если в левой части равенства стоит знак +(-); записать произведение 2ab; 3) поставить знак + ; 4) записать b2; 5) выполнить действия возведения в квадрат и умножения; 6) записать многочлен в стандартном виде.
Для того чтобы выполнить новое действие, необходимо уметь: а) возводить числа и одночлены в квадрат, б) умножать одночлены. Потому на подготовительном этапе следует повторить эти действия.
К мотивации изучения нового действия в тексте можно отнести слова «…В некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращённого умножения». Очевидно, что для урока необходимо подобрать упражнения, с помощью которых можно заинтересовать учащихся.
Теоретическое обоснование действия проведено путём вывода соответствующих формул. Вводятся термины: «формула квадрата суммы» и «формула квадрата разности».
ООД в тексте представлена в форме перевода соответствующих формул на русский язык. Система указаний, как план выполнения действия, не сформулирована.
В пункте приведены образцы выполнения действия в стандартных ситуациях (примеры 1-3). Причём рассмотренные примеры соответствуют принципу «от простого к сложному». Так в примере 1 двучлен (8х + 3) содержит только одно выражение с переменной. В примере 2 в двучлене (10х – 7y) оба выражения содержат переменные. В примере 3 квадрат двучлена -5а – 4 заменяется квадратом противоположного выражения. В примере 4 новое действие применяется вместе с другими действиями над одночленами и многочленами.
В тексте рассмотрены все ситуации применения нового действия, причём упражнения рассматриваются по нарастанию сложности.
Выполним анализ системы упражнений к данному пункту.
Изучение данной темы рассчитано на несколько уроков, потому система упражнений по теме содержит 38 заданий, в каждом от 2-х до 4-х упражнений. Выделены задания обязательного уровня и задания для домашней работы.
В качестве мотивационных упражнений можно использовать, например, №869 в), г): вычислить 612, 1992.
Упражнения расположены по нарастанию сложности. Специальных методов решения заданий здесь нет, но упражнения составлены таким образом, что применение формул сокращённого умножения осуществляется в различных ситуациях. Особое внимание следует обратить на упражнения № 864, где двучлены представлены в нестандартной ситуации, например, на первом месте стоит член с отрицательным коэффициентом: (– х + 5)2. Здесь же рассматриваются упражнения, в которых двучлен следует заменить противоположным ему двучленом.
Среди упражнений есть такие, которые направлены на применение формул в вычислениях, например, №№ 869-870. Здесь требуется вычислить, например, 7022, 1,0052.
Задания к упражнениям, решение которых одинаково, сформулированы по-разному: представьте в виде многочлена; преобразуйте в многочлен; выполните возведение в квадрат; упростите выражение. Разнообразная формулировка заданий способствует развитию речи учащихся.
Упражнения можно разделить на следующие группы по уровню сложности:
Первая группа. Упражнения на усвоение ООД, на применение формул в стандартных ситуациях: №№ 859-868.
Вторая группа. Упражнения на применение нового действия в практике вычислений: №№ 869-870.
Третья группа. Упражнения, требующие от учащихся умения выполнять действия над дробными числами и над одночленами, например: преобразовать в многочлен выражение (0,2xy+0,5x2y2)2. К этой группе можно отнести №№ 871-873.
Четвёртая группа. Упражнения на применение нового действия в совокупности с другими действиями над многочленами: №№ 875-877, №№ 881-883.
Пятая группа. Упражнения на применение нового действия при решении уравнений и в других нестандартных ситуациях: №№ 879-880, № 887.
Шестая группа упражнений. Это особая группа. Сюда включены задания познавательного характера, а именно такие, выполняя которые учащиеся приобретают новые знания и обучаются новым действиям. К ним относится упражнение № 861, в котором выясняется геометрический смысл формул сокращённого умножения, правда, только для положительных значений членов двучлена a + b и a – b. В упражнении № 866 доказываются свойства квадратов: (a – b)2 = (b – a)2 и (-a – b)2 = = (a + b)2, которые в дальнейшем изучении математики часто используются. В упражнениях № 884 и № 885 выводятся формулы куба суммы и куба разности двух выражений. В тексте пункта эти формулы не рассматриваются.
Седьмая группа. Сюда можно отнести только задание № 874, так как оно включает упражнения на выполнение обратных операций к тем, которые входят в состав изучаемого действия. Например, нужно заменить одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством: ( + 2b)2 = a2 + 4ab + b2 . Такие упражнения выступают в качестве подготовительных для изучения обратного действия: преобразование многочлена в квадрат двучлена.
Система упражнений позволяет учить учащихся правильным рассуждениям, обоснованиям фактов. В процессе выполнения упражнений доказывается ряд свойств квадратов, выводятся новые формулы. В результате изучения темы учащиеся должны научиться заменять квадрат двучлена многочленом стандартного вида в стандартных и нестандартных ситуациях. В качестве учебных действий, которые можно формировать у школьников, можно отметить обучение планированию деятельности, составлению системы ориентиров, наглядное представление ООД в виде схемы (см. пункт 2.2 данного пособия).
В итоге можно сделать вывод, что система упражнений составлена с учётом всех требований. Она направлена на формирование всех действий, необходимых для работы с многочленами. Особенностью данной системы упражнений является значительное число упражнений познавательного характера.