- •Содержание
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- •Глава 5. Задачи 129
- •Предисловие
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- •1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- •1) Значение математического образования в жизни человека.
- •2) Цели обучения математике в школе.
- •3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- •4) Принципы обучения.
- •1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- •1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- •1) О структуре математического языка.
- •2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- •1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- •1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- •2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- •1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- •1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- •2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- •1.6. Планирование целей урока математики
- •1) Планирование целей урока математики.
- •2) Образовательные цели урока математики.
- •3) Развивающие цели урока математики.
- •4) Воспитательные цели урока математики.
- •1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- •1) Проект и конспект урока.
- •2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- •2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- •1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- •2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- •2.2. Типовой проект формирования математического действия
- •1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- •Типовой проект формирования нового действия
- •2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- •2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- •1) Упражнение. Система упражнений.
- •2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- •2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- •3.1. Сущность категории «понятие»
- •1) Роль и функции понятий в мышлении.
- •2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- •3) Процесс образования научных понятий.
- •3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- •1) О структуре математического понятия.
- •2) Логическая схема понятия.
- •3) Свойства и признаки понятия.
- •4) Необходимые и достаточные условия.
- •3.3. Основные этапы формирования понятия
- •Характеристика этапов
- •3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- •1) Конкретно-индуктивный подход.
- •2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- •3) Исследовательский подход.
- •4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- •5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- •3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- •1) О сущности определений.
- •2) Структура определений.
- •3) Определяющий признак, его структура.
- •4) Следствия из определения.
- •5) Отрицание определения.
- •6) Определения рабочие и нерабочие.
- •7) Эквивалентные определения.
- •3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- •1) Анализ определения.
- •Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- •3.7. Уровни усвоения математического понятия
- •1) Усвоение понятия: что это такое?
- •2) Уровни усвоения математического понятия.
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства
- •4.1. Теоретические основы изучения теорем
- •1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- •2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- •3) Теоремы общего вида.
- •4) Теоремы существования.
- •5) Теоремы единственности.
- •4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- •1) Рассуждения, структура рассуждений.
- •2) Дедуктивные рассуждения.
- •3) Недедуктивные рассуждения.
- •3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- •4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- •4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- •1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- •2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- •3) План анализа теоремы.
- •4) План анализа доказательства теоремы.
- •4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- •1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- •Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- •2) Подготовительный этап.
- •3) Работа над содержанием теоремы.
- •Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- •3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- •4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- •1) Поиск доказательства теоремы.
- •2) Доказательство теоремы.
- •3) Запись доказательства.
- •4) Применение теоремы.
- •5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- •4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- •1) Теорема о свойстве понятия.
- •2) Теорема о признаке понятия.
- •3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- •4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- •1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- •2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- •Глава 5. Задачи
- •5.1. Теоретические сведения о задачах
- •1) Понятие «задача». Структура задачи.
- •2) Классификации задач.
- •3) Процесс решения задачи.
- •4) Основные требования к решению задачи.
- •5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- •6) Роль и функции задач в обучении.
- •5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- •1) Типовой проект работы над задачей.
- •Типовой проект работы над задачей
- •3) Поиск решения задачи.
- •4) Запись решения задачи.
- •6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- •5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- •1) Что такое «сюжетная задача»?
- •2) Особенности решения сюжетных задач.
- •3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- •4) Задачи «на уравнивание».
- •5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- •1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- •2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- •3) Задачи «на движение».
- •4) Задачи «на работу».
- •Итоговый тест
- •Список литературы
- •Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- •656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,
1.6. Планирование целей урока математики
1) Планирование целей урока математики.
Значительные затруднения при разработке проектов уроков вызывает целеполагание, то есть планирование и формулирование целей урока, а также формулирование соответствующих частных задач. Рассмотрим вопрос о планировании целей урока подробнее.
Процесс определения целей обучения вообще и каждого урока называют целеполаганием. Общие цели обучения математике сформулированы в программе по математике. Там же указаны цели изучения отдельных тем. В соответствии с ними формулируются цели каждого урока или серии уроков, проводимых учителем. Многие учёные – методисты отмечают, что целеполагание вызывает серьёзные затруднения как у будущих, так и у практикующих учителей независимо от предмета, который они преподают. Анализ конспектов студентов-практикантов показал, что постановка образовательных целей урока страдает рядом недостатков. К ним относятся: а) неразличение темы и цели урока; б) несоответствие цели теме урока; в) несоответствие цели содержанию урока; г) «зауживание» цели урока; д) неразличение основной цели урока и частных задач. Главным же недостатком является формализм постановки целей, который выражается в том, что в конспекте урока, а затем и на уроке, процесс реализации поставленных целей никак не представлен.
При планировании целей необходимо помнить, что цель урока должна быть диагностируема.
Под диагностичностью цели (задачи) понимается:
возможность безошибочно отделить результаты её достижения от любых других;
возможность указать средства достижения цели (в частности, этапы урока, их содержание, формы организации деятельности учащихся, и пр., т.е. всё то, что способствовало достижению результата);
наличие средств контроля (оценки) качества достигнутого результата [63].
Начинающий учитель, продумывая содержание урока, должен соотносить содержание каждого этапа урока и организацию деятельности учащихся с поставленными частными задачами и целью урока. При этом необходимо ответить на вопросы: «В полной ли мере выбранное содержание, формы, средства и методы обучения на данном этапе урока соответствуют поставленным задачам?»; «Как можно проверить достижение поставленных целей?».
Цели конкретного урока, также как и общие цели обучения математике, носят триединый характер. На современном этапе принято планировать образовательные (познавательные), развивающие и воспитательные цели урока. Каждая из целей конкретизируется в частных задачах.
2) Образовательные цели урока математики.
Образовательные цели обучения зависят, прежде всего, от его предметного содержания, возрастных и других особенностей учащихся. Ведущими компонентами содержания учебного предмета являются предметные научные знания и способы деятельности. Основными структурными единицами научных математических знаний являются, построенные на дедуктивной основе, теории математических понятий. Математические предложения, методы рассуждений (способы доказательства), задачи, математический язык – всё это средства раскрытия содержания понятий и отношений между ними. Математические умения и навыки учащихся есть результат усвоения способов соответствующей деятельности.
В соответствии с этим образовательными целями урока математики (чаще – серии уроков) являются две основные цели: формирование понятия или формирование некоторого умения.
Конкретизация образовательных целей осуществляется посредством формулирования частных задач. Частные задачи отражают не только логику изложения и предметное содержание, подлежащее усвоению, но и особенности усвоения материала учащимися, а также методическую подготовленность самого учителя. Система частных задач должна быть составлена таким образом, чтобы в результате их решения цель урока была достигнута.
Например, если цель урока – формирование нового понятия, то могут быть поставлены следующие частные задачи:
ввести новый объект, используя один из подходов (см. п. 3.4);
учить распознавать новый объект среди других;
организовать деятельность учащихся по усвоению определения нового понятия (по известной схеме) (см. п. 3.6);
формировать ориентировочную основу деятельности (ООД) по применению определения в математической деятельности (подробнее об ООД см. п. 2.1);
формировать умение правильно употреблять новый термин в устной речи учащихся, новый символ в письменной речи;
другие задачи.
Если данный урок по формированию понятия не является первым, то возможны следующие частные задачи:
организовать поисковую деятельность учащихся по выявлению свойства (признака) понятия;
сформулировать гипотезу и доказать соответствующую теорему;
организовать деятельность учащихся по усвоению теоремы (см. п. 4.4), формировать ООД по применению полученного свойства (признака) понятия в деятельности (см. п. 4.6);
другие задачи.
При проведении уроков, главная цель которых – формирование умений, можно поставить следующие задачи:
организовать актуализацию знаний и умений учащихся, необходимых для овладения новым действием;
осуществить мотивацию овладения новым умением;
сформулировать ООД (например, алгоритм) выполнения нового действия;
совершенствовать новое умение путём применения его в стандартных и нестандартных ситуациях;
формировать умение учащихся решать опорные задачи данной темы;
другие задачи.
В зависимости от цели деятельности даже на одном и том же предметном содержании частные задачи могут существенно отличаться друг от друга.
Пример 1. Если при обучении учащихся решению сюжетных математических задач основная цель – формирование умения применять метод математического моделирования при решении задач «на работу», то частные задачи, которые должны привести к достижению поставленной цели, могут быть следующими:
формировать умение анализировать текст задачи, устанавливать зависимость между данными и искомыми величинами;
формировать умение составлять математическую модель задачи на основе её анализа;
формировать умение выбирать ответ на основе решения математической модели.
Если же основной целью будет формирование умения решать сюжетные задачи на «работу», то частные задачи будут представлены иначе:
выявить основные величины, которыми характеризуется процесс работы и их связь;
формировать умение находить одну из величин по двум другим величинам;
формировать умение оформлять решение задачи с помощью таблицы;
формировать умение составлять уравнение по данным таблицы и условию задачи.
Средством решения частных задач является система учебных заданий.
Учебные задания в школьной математике называют упражнениями.
Несмотря на то, что в настоящее время проблема целеполагания вызывает большой интерес у учёных-методистов, единой точки зрения на постановку даже образовательных целей не существует. Анализ научно-методической литературы показывает, что многие авторы, а также учителя не различают цель урока и частные задачи, направленные на её достижение. В итоге конечный результат деятельности учащихся на уроке становится неясным самому учителю. С другой стороны, неразличение цели и частных задач приводит к тому, что образовательная цель зависит от методической системы, в которой проектируется урок, то есть не является объективной. С содержательной точки зрения независимо от дидактической системы, в рамках которой планируется урок, образовательная цель обучения математике остаётся неизменной. Она определена программным материалом, подлежащим усвоению учащимися и общими целями обучения математике, при этом меняются лишь частные задачи, которые стоят перед учителем и учащимися. Так в рамках и проблемного, и традиционного обучения цель изучения темы «Теорема Пифагора» остаётся неизменной: формирование понятия «прямоугольный треугольник». Но одной из основных задач проблемного изложения данной темы может быть следующая: «создать условия для поисковой деятельности учащихся по установлению соотношения между сторонами прямоугольного треугольника», тогда как при традиционном подходе главным будет: «ввести свойство прямоугольного треугольника «квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов», доказав теорему Пифагора».
Может показаться, что вопрос постановки образовательных целей – это вопрос их формулирования, то есть он связан, прежде всего, с языком. Однако практика показывает, что неверно поставленные цели приводят к несовершенному проектированию урока. «Зауживание» цели (замена её одной из частных задач) приводит к тому, что время урока тратится нерационально, выполняются однообразные упражнения, процесс формирования сводится к «натаскиванию». Несоответствие цели и частных задач выбранному методу обучения может стать причиной того, что, например, урок обобщения и систематизации знаний строится как урок – игра, после которой в сознании учащихся остаётся не система знаний по данной теме, а соревновательное возбуждение, непроизвольный интерес, вызванный необычной формой проведения урока.
Постановке образовательных целей и задач урока в настоящее время в педагогике придаётся большое значение в связи с реализацией деятельностного подхода к обучению. Так в последние годы считается целесообразным привлечение учащихся к постановке цели и задач урока на начальном его этапе. Но существуют и другие мнения. Заслуживает внимания мнение психолога, директора одной из московских гимназий А.А. Ярулова, который в статье [89] пишет, что привлечение школьников к целеполаганию и определению задач урока на этапе психологического настроя на деятельность является малоэффективным приёмом: «Только учитель знает о целях, месте и задачах урока, ученики же в силу специфики учебной деятельности, прежде чем определять цели и конкретизировать задачи, должны усвоить содержание деятельности» (с. 77). В целом, проблема постановки целей урока учителем и принятия целей учащимися в методике обучения математике разработана недостаточно.