- •Содержание
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- •Глава 5. Задачи 129
- •Предисловие
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- •1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- •1) Значение математического образования в жизни человека.
- •2) Цели обучения математике в школе.
- •3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- •4) Принципы обучения.
- •1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- •1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- •1) О структуре математического языка.
- •2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- •1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- •1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- •2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- •1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- •1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- •2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- •1.6. Планирование целей урока математики
- •1) Планирование целей урока математики.
- •2) Образовательные цели урока математики.
- •3) Развивающие цели урока математики.
- •4) Воспитательные цели урока математики.
- •1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- •1) Проект и конспект урока.
- •2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- •2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- •1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- •2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- •2.2. Типовой проект формирования математического действия
- •1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- •Типовой проект формирования нового действия
- •2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- •2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- •1) Упражнение. Система упражнений.
- •2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- •2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- •3.1. Сущность категории «понятие»
- •1) Роль и функции понятий в мышлении.
- •2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- •3) Процесс образования научных понятий.
- •3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- •1) О структуре математического понятия.
- •2) Логическая схема понятия.
- •3) Свойства и признаки понятия.
- •4) Необходимые и достаточные условия.
- •3.3. Основные этапы формирования понятия
- •Характеристика этапов
- •3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- •1) Конкретно-индуктивный подход.
- •2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- •3) Исследовательский подход.
- •4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- •5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- •3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- •1) О сущности определений.
- •2) Структура определений.
- •3) Определяющий признак, его структура.
- •4) Следствия из определения.
- •5) Отрицание определения.
- •6) Определения рабочие и нерабочие.
- •7) Эквивалентные определения.
- •3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- •1) Анализ определения.
- •Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- •3.7. Уровни усвоения математического понятия
- •1) Усвоение понятия: что это такое?
- •2) Уровни усвоения математического понятия.
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства
- •4.1. Теоретические основы изучения теорем
- •1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- •2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- •3) Теоремы общего вида.
- •4) Теоремы существования.
- •5) Теоремы единственности.
- •4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- •1) Рассуждения, структура рассуждений.
- •2) Дедуктивные рассуждения.
- •3) Недедуктивные рассуждения.
- •3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- •4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- •4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- •1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- •2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- •3) План анализа теоремы.
- •4) План анализа доказательства теоремы.
- •4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- •1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- •Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- •2) Подготовительный этап.
- •3) Работа над содержанием теоремы.
- •Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- •3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- •4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- •1) Поиск доказательства теоремы.
- •2) Доказательство теоремы.
- •3) Запись доказательства.
- •4) Применение теоремы.
- •5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- •4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- •1) Теорема о свойстве понятия.
- •2) Теорема о признаке понятия.
- •3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- •4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- •1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- •2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- •Глава 5. Задачи
- •5.1. Теоретические сведения о задачах
- •1) Понятие «задача». Структура задачи.
- •2) Классификации задач.
- •3) Процесс решения задачи.
- •4) Основные требования к решению задачи.
- •5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- •6) Роль и функции задач в обучении.
- •5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- •1) Типовой проект работы над задачей.
- •Типовой проект работы над задачей
- •3) Поиск решения задачи.
- •4) Запись решения задачи.
- •6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- •5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- •1) Что такое «сюжетная задача»?
- •2) Особенности решения сюжетных задач.
- •3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- •4) Задачи «на уравнивание».
- •5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- •1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- •2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- •3) Задачи «на движение».
- •4) Задачи «на работу».
- •Итоговый тест
- •Список литературы
- •Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- •656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,
4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
Под обучением доказательству теорем понимается:
1. Обучение учащихся анализу и воспроизведению готовых доказательств (7-8 класс).
2. Обучение самостоятельному формулированию гипотез, поиску и конструированию доказательств (8-11 класс).
3. Обучение опровержению гипотез, ложных выводов (9-11 класс) [60].
Таким образом, цели обучения доказательству могут быть разными в зависимости от возраста детей и степени важности проблем, которые решаются посредством введения теоремы в рассматриваемую теорию.
Начинающий учитель должен уметь, прежде всего, грамотно организовать работу по анализу и усвоению учащимися готовых доказательств. В этом ему может помочь типовой проект.
Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
Цель: формирование понятия, усвоение его новых свойств и признаков.
1. Подготовительный этап.
а) актуализация знаний и умений, необходимых для усвоения теоремы и её доказательства;
б) мотивация изучения теоремы;
в) постановка цели или проблемы.
2. Раскрытие содержания теоремы, её формулировка.
3. Работа над структурой теоремы, краткая запись теоремы.
4. Поиск доказательства теоремы.
5. Доказательство теоремы.
6. Запись доказательства.
7. Формирование умения применять теорему.
8. Возможные обобщения теоремы, включение нового факта в содержание изучаемого понятия.
Основная цель изучения большинства теорем школьного курса – формирование понятия, поскольку результатом работы над теоремой является усвоение свойства или признака понятия (или отношения между понятиями) или же усвоение нового факта о связи изучаемого понятия с другими понятиями. Лишь немногие теоремы служат теоретическим обоснованием некоторых алгоритмов. Так можно считать, что теорема Фалеса обосновывает метод деления отрезка на равные части.
Частные задачи усвоения учащимися конкретной теоремы могут быть следующими: сообщение нового знания о математическом объекте; решение некоторой проблемы; формирование умения анализировать структуру теоремы и выбирать способ доказательства на её основе; приобщение учащихся к исследовательской работе (самостоятельное отыскание свойств и признаков изучаемого объекта); формирование потребности обоснования конкретных фактов путём дедуктивных рассуждений; введение нового способа рассуждений (например, при рассмотрении первых теорем, которые доказываются методом от противного); формирование логического мышления; развитие речи учащихся; обучение правильному использованию математической символики.
Одной из основных задач при изучении учащимися готовых доказательств остаётся обучение школьников приёмам поиска и проведения доказательств, которые они могут использовать в самостоятельной познавательной деятельности. В методической литературе результат решения этой задачи принято называть умением доказывать математические утверждения.
2) Подготовительный этап.
Перед изучением новой теоремы необходимо убедиться, что учащиеся владеют знаниями и умениями, которые нужны для успешного изучения данной теоремы. Для этого предварительно можно задать на дом повторить нужный материал, а в классе организовать проверку, причём таким образом, чтобы в итоге можно было осуществить переход к новой теореме. Полезно подготовить вспомогательные упражнения, решение которых снимет трудности в понимании смысла теоремы или отдельных моментов доказательства.
Мотивация изучения теоремы проводится различными средствами. Перечислим некоторые из них, на наш взгляд, наиболее эффективные.
Обращение к жизненному опыту учащихся.
Использование элементов историзма: рассказ о математике, который имел отношение к доказательству теоремы; история открытия данного факта; история развития данной теории в математике.
Постановка проблемы, которая затем будет решена в процессе рассмотрения новой теоремы.
Решение проблемной задачи.
Использование наглядных пособий (моделей многогранников, таблиц, электронных презентаций).
Выполнение лабораторных и практических работ.
Рассмотрим примеры организации подготовительного этапа работы над теоремой.
Пример 1. Рассмотрим начало работы над теоремой, которая называется признаком перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая, не лежащая в плоскости, перпендикулярна каждой их двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Перед изучением теоремы полезно повторить определение, выяснить, какими фактами можно воспользоваться для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости. При этом ответ должен быть следующим: чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости, нужно выбрать на плоскости произвольную прямую и доказать, что она перпендикулярна данной прямой. Очевидно, использовать определение на практике неудобно. Как же поступали в этих случаях при изучении других определений? После определения в таких случаях рассматривали новый, отличный от определяющего, признак нового понятия.
Подобные рассуждения заканчиваются постановкой проблемы – отыскать признак перпендикулярности прямой и плоскости. Решению проблемы поможет пример с новогодней ёлкой: за счёт чего ёлка держится вертикально относительно плоскости пола? Учащиеся, как правило, отвечают: за счёт подставки. В конечном счете, они приходят к выводу, что достаточно крестовины, чтобы ёлка стояла вертикально. Делая соответствующие обобщения, переходя на язык математики, ученики самостоятельно формулируют признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Эти нехитрые рассуждения не только оживляют начало работы над теоремой, но и в некоторой степени служат примером использования метода научного познания. Тем самым они способствуют формированию научного мировоззрения учащихся. После подобного примера эффективно проходит работа над структурой теоремы, в частности несложно доказать ученикам, что прямые в плоскости должны быть пересекающимися, а слова «прямая, не лежащая в плоскости» можно и опустить, так как не существует в плоскости прямой, которая была бы перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в той же плоскости.
Пример 2. Перед доказательством теоремы Пифагора принято рассказывать учащимся о Пифагоре и его заслугах, сообщать о том, что существует около сотни доказательств этой теоремы. Всё это, несомненно, вызывает непроизвольный интерес учащихся. Однако более ценным для их развития будет обсуждение проблемы, которая приведёт к доказательству теоремы Пифагора.
Изучение любого многоугольника, в частности треугольника, сводится, прежде всего, к выявлению соотношений между его элементами. При рассмотрении прямоугольного треугольника также математиков интересует, как связаны между собою его углы и стороны. После подобного вступления повторяются уже известные к этому времени соотношения. Выясняется, какие соотношения ещё не выявлены. Таким образом, учащиеся сами могут сформулировать проблему, которая должна быть решена: отыскание связи между сторонами прямоугольного треугольника. После этого можно привести исторические сведения о Пифагоре и теореме. Гипотеза по поводу решения проблемы может быть осуществлена после небольшого исследования. Учащиеся строят прямоугольный треугольник и, измерив стороны, сравнивают квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон.
Постановка проблемы даже тогда даёт положительный мотивационный эффект, когда её формулирует сам учитель. Постановка проблемы позволяет расширить представления учащихся о том, как устроена математика.
Пример 3. В методической литературе часто о проблемной задаче пишут как о задаче, при решении которой учащиеся встретились с затруднением. И это затруднение связано с недостатком имеющихся знаний. Наблюдения за работой учащихся на уроках показывают, что сами они, как правило, причину затруднения определить не могут. Потому к отбору проблемных задач нужно подходить с позиции разрешаемой в данной теореме проблемы. Например, в качестве проблемной задачи при изучении теоремы, обратной к теореме Пифагора, можно рассмотреть исторический факт из истории вавилонян: как использовали вавилоняне верёвку с узлами для построения прямого угла (рассказ об этом есть на страницах учебника геометрии). Очевидно, решить эту задачу вслед за вавилонянами учащиеся могут, если учитель приготовит соответствующее наглядное «пособие» – верёвку с узлами. После «эксперимента» ученики, как правило, находят правильное решение. Непроизвольный интерес на этом уроке обеспечен. Но учитель должен позаботиться о том, чтобы после экспериментирования была правильно сформулирована проблема, которую решили учащиеся. Решению задачи помогло отыскание правильного соотношения между сторонами и углами в построенном прямоугольном треугольнике. Учитель может подсказать, какое это соотношение: 32 + 42 = 52. Такой подход к мотивации теоремы даёт ещё и возможность рассказать о неполной индукции и дедуктивных методах рассуждений. Для учащихся 8-9-го класса, где изучается теорема Пифагора и теорема, обратная к ней, обсуждение подобных вопросов вполне доступно.
Пример 4. Наглядный образ математического объекта помогает установить его свойства, сформулировать нужные теоремы. Например, изучая модель куба, можно вместе с учениками сформулировать свойства параллельных плоскостей: прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью являются параллельными; отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.
Рассматривая графики функций можно сформулировать теоремы о связи производной со свойствами функции.
Самостоятельное открытие новых фактов учащимися создаёт ситуацию успеха, а, следовательно, оказывает положительное воздействие на мотивацию деятельности учащихся, направленной на изучение теоремы и её доказательства.
Пример 5. Изучение теоремы о сумме углов треугольника многие учителя начинают с небольшой лабораторной работы: каждому учащемуся предлагается построить треугольник, измерить транспортиром его углы и сложить их величины. Либо у бумажной модели треугольника оторвать уголки и сложить из них развёрнутый угол. Затем на основе результатов «эксперимента» выдвигается гипотеза сумме углов произвольного треугольника.
Пример 6. При изучении темы «Призма» (11-й класс) учащимся может быть дано следующее задание: изучить свойства боковых граней призмы (1-й ряд); изучить свойства боковых рёбер (2-й ряд); изучить свойства двугранных углов призмы (3-й ряд). После непродолжительной работы с моделями призмы формулируются свойства. Ребята с первого ряда отметили следующие свойства: боковые грани призмы являются параллелограммами; если боковые грани проходят через параллельные стороны основания, то они параллельны. Ребята со второго ряда заметили, что боковые рёбра призмы параллельны и равны. Третий ряд предположил, что двугранные углы при параллельных гранях пирамиды в сумме составляют 1800; двугранные углы при параллельных рёбрах верхнего и нижнего основания либо равны, (когда рёбра принадлежат одной грани), либо в сумме составляют 1800, (когда рёбра принадлежат разным граням). После этого каждый ряд должен «защитить» свои гипотезы, то есть доказать предложенные утверждения.