25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве

25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-

нием координат.

Пусть Е^п евклидово пространство с ортонормированным базисом и, F(x) – некоторая квадратичная форма с матрицей в базисе и и f(x,у) – соответствующая симметричная билинейная форма с матрицей = . Рассмотрим линейный оператор  с матрицей = . Так как матрица - симметричная, то  - самосопряженный линейный оператор, * =  . По теореме о структуре самосопряженного линейного оператора в Е^п существует ортонормированный базис и, в котором матрица оператора  диагональна:

= diag(₁,₂,…,_n). Пусть Т = . Тогда Т – ортогональная

матрица (так как по столбцам матрицы Т стоят координаты векторов из ортонормированного базиса и), и, значит,

Т ^-1=Т ^t . Но = Т ^t Т = Т ^-1 Т = = diag(₁,₂,…,_n). Следовательно, если в базисе и вектор v имеет координаты (y₁,y₂,…,y_n), то форма F имеет канонический вид,

F(v)=₁y₁²+₂y₂²+…+ _ny_n². Соответственно, если в этом базисе вектор w = (z₁,…,z_n ), то f(v,w)=₁y₁z₁+₂y₂z₂+…+_ny_nz_n . Таким образом, нами доказана

Теорема. Для любой квадратичной формы F(x) в евклидовом пространстве Е^п существует ортонормированный базис и, в котором форма F имеет канонический вид. Это означает, что существует ортогональная матрица Т перехода к новому базису u, в котором матрица формы F диагональна:

Т ^t Т = = diag(₁,₂,…,_n). Канонический вид формы F определен однозначно с точностью до перенумерации коэффициентов ₁,₂,…,_n .

Следствие 1. Квадратичная форма F ортогонально эквивалентна форме, имеющей канонический вид (см. п.24.5).

Следствие 2. Две квадратичные формы канонического вида ортогонально эквивалентны тогда и только тогда, когда их коэффициенты ₁,₂,…,_n отличаются, может быть, лишь порядком.

Следствие 3. Две квадратичные формы ортогонально эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы даже в различных ортонормированных базисах имеют одинаковые характеристические многочлены.

Так как коэффициенты ₁,…,_n формы F – это собственные значения линейного оператора  , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для матрицы = ,

то есть уравнение det( -E) = 0. Векторы базиса

и = {и₁,…, и_n} – это собственные векторы линейного оператора , и найти все и_i можно, решая однородные системы линейных уравнений ( -  _iE)[x]= [0]. Различным собственным значениям соответствуют ортогональные друг другу собственные векторы, и, если dim Ker( -  _iE) = 1, то найденный вектор необходимо лишь нормировать, то есть разделить на его длину. Если же имеются одинаковые собственные значения, то есть кратные корни _i характеристического уравнения, то dim Ker( -  _iE) 1, и найденную фундаментальную систему решений для СЛУ ( -  _iE)[x] = [0] необходимо ортонормировать, например, по Граму-Шмидту.

0. 25.2. Приведение пары форм.

Рассмотрим линейное пространство L^п над полем R с ба-

зисом е. Пусть F, G – квадратичные формы, причем G  0, а f, g – соответствующие симметричные билинейные формы. Так как g – симметричная билинейная положительно определенная функция, то можно считать, что g – скалярное произведение, g(x,y)= (x,y)_g , а L^п с этим скалярным произведением - евклидово пространство: L^п = Е^п. По доказанному в п.25.1, в евклидовом пространстве Е^п существует ортонормированный (в смысле скалярного произведения g) базис u, в котором форма F имеет канонический вид (а G имеет, естественно, нормальный вид). Если в этом базисе вектор

v =(y₁,y₂,…,y_n), то G(v)= y₁²+ y₂² +…+y_n² (так как базис ортонормированный в смысле g), и F(v) = ₁y₁² +₂y₂² +…+_ny_n². Соответственно, если в этом базисе вектор w = (z₁, z₂,…,z_n ), то g(v,w)=y₁z₁+ y₂z₂+…+y_nz_n , f(v,w)=₁y₁z₁+₂y₂z₂+…+_ny_nz_n.

Таким образом, нами доказана

Теорема. Для любой пары квадратичных форм F и G,

G  0, в линейном пространстве L^п над полем R существует базис и, в котором форма F имеет канонический вид, а G имеет нормальный вид, то есть – диагональная матрица, а = E. Это означает, что существует матрица Т= перехода к новому базису такая, что Т ^t Т = diag(₁,₂,…,_n), Т ^t Т =Е.

Так как коэффициенты ₁,…,_n формы F – это собственные значения линейного оператора  с матрицей = , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для (неизвестной) матрицы = , то есть уравнение

det( -E) = 0. Но = Т ^t Т, Е = Т ^t Т, и

det( -E) = det(Т ^t( -  )Т)= 0  det( - )= 0 – это уже уравнение для известных (заданных) матриц

и . Многочлен = det( - ) называется характеристическим многочленом пары форм F, G, G > 0, а уравнение =0 называется характеристическим уравнением пары форм. Таким образом, для нахождения коэффициентов ₁,…,_n формы F нужно решить характеристическое уравнение пары форм.

Векторы базиса и = {и₁,…, и_n} – это собственные векторы линейного оператора , и найти все и_i можно, решая однородные системы линейных уравнений ( - _iE) = [0] (с

неизвестной матрицей в неизвестном базисе и). Но

( - _iE) = Т ^t( - _i )Т = Т ^t( - _i ) = [0]  ( - _i ) = [0] – это уже СЛУ с известными матрицами , . Различным собственным значениям соответствуют g-ортогональные друг другу собственные векторы, и, если dim Ker( -  _iE) = dim Ker( -  _i ) = 1, то найденный вектор x необходимо лишь нормировать (по g), то есть разделить его на длину . Если же имеются одинаковые собственные значения, то есть кратные корни _i характеристического уравнения, то dim Ker( -  _iE) 1, и найденную фундаментальную систему решений для СЛУ

( - _i ) = [0] необходимо ортонормировать в смысле g, например, по Граму-Шмидту.

Лекция 37.