- •Комбинаторика. Бином ньютона
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •Комплексные числа
- •Соответствия. Функции. Отношения. Отношение эквивалентности
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •Системы линейных уравнений
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •Определители
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •Группы, кольца, поля
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •Алгебра многочленов
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •Линейные отображения
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •Матрица билинейной формы.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
- •1. Комбинаторика. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
9. Матрицы
9.1. Операции над матрицами, их свойства.
Рассмотрим Мт,п(Р) - множество (т,п)-матриц с элементами из поля Р. Определим на Мт,п(Р) структуру линейного пространства.
I. Для А, В Мт,п(Р), А= (аi,j)i=1,…,m; j=1,…,n, В= (аi,j)i=1,…,m; j=1,…,n , пусть А + В = С Мт,п(Р), С = (сi,j)i=1,…,m; j=1,…,n, где
сi,j= аi,j+ bi,j. Так определяется операция сложения матриц. Теперь определим операцию умножения матрицы на элемент поля. Для А Мт,п(Р), А= (аi,j)i=1,…,m; j=1,…,n, Р пусть
А = (аi,j)i=1,…,m; j=1,…,n .
II. Упражнение. Проверить, что для определенных нами операций выполняются 8 свойств линейного пространства.
Замечание. Выполнение восьми свойств линейного пространства можно не проверять, если записывать элементы матрицы в одну строчку длины тп (как в ЭВМ). Можно себе представить, что такие длинные строчки на листе бумаги не помещаются и их приходится разбивать на куски длины п и записывать в таблицу (матрицу). Но операции для матриц (длинных строчек) определены нами так же, как и ранее для строк из Рп в 7.1. Отсюда и следует выполнение восьми свойств для этих операций. Следовательно, можно считать доказанным, что множество (т,п)-матриц является линейным пространством размерности тп, и это пространство изоморфно Р тп. Как и в 7.2 (см. Теорему 5) естественным базисом в Р тп будет семейство матриц Ei,j , i=1,…,m; j=1,…,n, где Ei,j - матрица, у которой (i,j)-й элемент равен 1, а все остальные элементы равны 0.
Теперь рассмотрим Мп(Р) – множество квадратных (п,п)-матриц. Как мы только что видели, Мп(Р) – линейное пространство размерности п2. Покажем, что Мп(Р) является также АУ-кольцом.
I. Операции сложения и умножения матриц у нас уже определены.
II. Первые 4 свойства из определения кольца (для операции сложения) такие же, как и для линейного пространства, и выполняются в общем случае для прямоугольных (а не только квадратных) матриц. Свойства 5, 6, 9 из определения кольца также выполняются (см. упражнение 1 из 8.4).
Упражнение. Доказать, что А, В Мп(Р), Р выполняется свойство (А)В = А(В) = (АВ).
Определение. Множество А называется алгеброй над полем Р, если А является кольцом и линейным пространством над Р, и, кроме того, выполняется свойство (а)b = a(b) = = (ab) a, b A, Р .
Подводя итог в 9.1, можно сказать, что нами доказана
Теорема. Множество квадратных матриц Мп(Р) является алгеброй над полем Р.
9.2. Элементарные матрицы.
В соответствии с определением элементарных преобразований I-го, II-го и III-го типа над строками или столбцами матрицы определим элементарные матрицы I-го, II-го и III-го типа.
Определение. Элементарной матрицей I-го типа называется (п,п)-матрица Рi,j(с) = Е + сEi,j , i j.
Элементарной матрицей II-го типа называется (п,п)-матрица Рi,j= E1,1+E2,2+…+ Ei-1,i-1+ Ei,j+ Ei+1,i+1+…+Ej-1,j-1+Ej,i+Ej+1,j+1+
+…+ En,n = E - Ei,i - Ej,j + Ei,j + Ej,i , при i j.
Элементарной матрицей III-го типа называется диагональная (п,п)-матрица Рi (c) = diag(1,1,…,c,…,1) =
= E1,1 + E2,2 + … + cEi,i + … + En,n = Е + (с – 1)Ei,i , где с 0.
Упражнения.
1. Проверить, что при умножении произвольной (п,т)- матрицы А слева на элементарную (п,п)-матрицу Рi,j(с) у матрицы А к i-й строке прибавляется j-я строка с коэффициентом с, при умножении А слева на Рi,j у матрицы А меняются местами i-я и j-я строки, при умножении А слева на Рi (с) у матрицы А i-я строка умножается на с 0. Таким образом, при умножении матрицы А слева на элементарную матрицу s-го типа (s = I, II, III) над строками матрицы А происходит элементарное преобразование того же s-го типа.
2. Проверить, что при умножении произвольной (т,п)- матрицы А справа на элементарную (п,п)-матрицу Рi,j(с) у матрицы А к j-му столбцу прибавляется i-й столбец с коэффициентом с, при умножении А справа на Рi,j у матрицы А меняются местами i-й и j-й столбцы, при умножении А справа на Рi (с) у матрицы А i-й столбец умножается на с . Таким образом, при умножении матрицы А справа на элементарную матрицу s-го типа над столбцами матрицы А происходит элементарное преобразование того же s-го типа.