7.2. Теоремы о базисах.
Теорема 1. Пусть е1,…,еп – базис линейного пространства L. Тогда любой вектор а L однозначно выражается через базис в виде а = 1е1+…+пеп для некоторых 1,…,п Р.
Доказательство. Пусть а L. Так как dim L = п, то п+1 векторов а,е1,…,еп линейно зависимы, то есть ,1,…,пР, не все равные нулю, такие, что а +1е1+…+пеп=0L , причем 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы. Тогда а= -11е1+…+ -1пеп=1е1+…+пеп, где 1= -11,…, п = -1п .
Докажем однозначность. Пусть а = 1е1+…+пеп =
=1е1+…+пеп (1 -1 )е1+…+(п -п)еп= 0L 1 - 1 =0,…, п -п= 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы
1 = 1 ,…, п = п – это и означает однозначность.
Теорема 2 (обратная). Пусть е1,…,еп – такая система векторов в L, что любой вектор а L однозначно выражается через е1,…,еп в виде а = 1е1+…+пеп для некоторых
1,…,п Р. Тогда е1,…,еп – базис линейного пространства L.
Доказательство. 1. е1,…,еп – линейно независимая система векторов в L, так как если 1е1 +…+пеп = 0L =
= 0е1 +…+ 0еп , то из однозначности 1= 0,…,п = 0. Следовательно, в L существуют п линейно независимых векторов.
2. Покажем, что в L любые п+1 векторов линейно зависимы.
Пусть а1,…,ап+1 L. Тогда а1 = 11е1+…+1пеп ,…,
ап+1 =п+1,1е1+…+п+1,пеп . Покажем, что существуют
х1,…,хп+1 Р, не все равные нулю, такие, что
х1а1+…+хп+1а п+1 = 0. Но х1а1+…+хп+1а п+1 =
= (11 х1+…+п+1,1хп+1)е1+…+(1п х1+…+п+1,пхп+1)еп , и однородная система п уравнений с п+1 неизвестным
имеет ненулевое
решение (см.4.3).
Таким образом, dim L = n, и е1,…,еп – базис в L.
Теорема 3. Если е1,…,еп – базис линейного пространства L, то е1,…,еп – максимальная линейно независимая система векторов в L, то есть при добавлении к этой системе любого вектора получится линейно зависимая система векторов.
Доказательство. Так как е1,…,еп – базис, то dim L = n, и из определения размерности следует, что любые п+1 векторов линейно зависимы.
Теорема 4 (обратная). Если е1,…,еп – максимальная линейно независимая система векторов в L, то е1,…,еп – базис линейного пространства L.
Доказательство. Пусть а L. Так как п +1 векторов
а, е1,…,еп линейно зависимы, то, как и в Теореме 1, вектор а линейно выражается через е1,…,еп . Из линейной независимости векторов е1,…,еп , как и в Теореме 1, следует, что выражение а через е1,…,еп однозначно. Теперь по Теореме 2 мы получаем, что е1,…,еп – базис линейного пространства L.
Теорема 5. dim P n = n.
Доказательство. Пусть е1 =(1,0,0,…,0), е2 =(0,1,0,…,0),…,
еn =(0,0,0,…,1). Тогда (1,2,…,n) Р n
(1,2,…,n)= (1,0,…,0)+ (0,2,…,0)+ …+(0,0,…,n)=
=1(1,0,…,0)+ 2(0,1,…,0)+ …+n(0,0,…,1)= 1е1 +…+пеп и это представление однозначно. Значит, по Теореме 2 е1,…,еп – базис в P n, и dim P n = n.
Лекция 14.
Теорема 6. Любую линейно независимую систему векторов в пространстве L можно дополнить до базиса L.
Доказательство. Пусть а1,…,аk – линейно независимая система векторов в L. Если это максимальная линейно независимая система векторов, то а1,…,аk – базис линейного пространства L по Теореме 4. Если это не максимальная линейно независимая система векторов, то существует некоторый вектор аk+1 такой, что а1,…,аk ,аk+1 - линейно независимая система векторов в L. Опять, если это максимальная линейно независимая система векторов, то а1,…,аk+1 – базис линейного пространства L, а если не максимальная, то добавляем вектор аk+2 и т.д. пока не получим максимальную линейно независимую систему векторов, то есть базис.
Пусть е1,…,еп – базис линейного пространства L и хL. Тогда х = х1е1 +…+хпеп , и набор (х1,…,хп) называется координатами вектора х в базисе е1,…,еп .
Упражнение. Доказать, что если (х1,…,хп) координаты вектора х, а (у1,…,уп) координаты вектора у в базисе е1,…,еп , то координатами вектора х+у будет набор (х1+у1,…,хп+уп), а координатами вектора х, Р, будет набор ( х1,…, хп).