3.5 Способ профессора н.Е.Жуковского

Этот способ позволяет определить уравновешивающую силу без предварительного определения реакций в кинематических парах, что бывает необходимо при выполнении проектного или проверочного расчета привода механизма, в том числе выбора двигателя для него.

Метод основан на принципе возможных перемещений, который гласит: если механическая система находится в равновесии и все связи ее – идеальные, то сумма элементарных работ всех внешних сил, действующих на нее на возможных перемещениях, равна нулю.

,

где - элементарная работа i-ой силы

,

где - i-я сила (напр., на рис. 3.11);

- возможное перемещение точки приложения i-ой силы (напр., точки В);

- угол между направлениями силы и перемещения (напр., )

,

где - скорость точки приложения i-ой силы (напр., )

,

где - длина вектора, изображающего на плане скоростей (напр., )

Рисунок 3.11 – К доказательству теоремы Н.Е.Жуковского

Произведем следущее построение (см. рис. 3.11): с плана механизма в изображения (напр., b) точек приложения сил (напр., В) перенесем все силы, поворачивая их при этом на в одном и том же направлении. Тогда (см. рис. 3.11):

,

т.е.

.

Но ,

т.е. момент относительно i-ой силы, перенесенной (см. выше) на план скоростей. Тогда

. (3.9)

Это уравнение выражает содержание теоремы Н.Е.Жуковского о жестком рычаге: если в соответствующие точки плана скоростей механизма перенести все внешние силы, действующие на звенья механизма, поворачивая при этом каждую из них на в одном и том же направлении, то сумма моментов этих сил относительно полюса планов скоростей будет равна нулю.

Т.е. картина напоминает состояние равновесия жесткого рычага в виде плана скоростей при его вращении вокруг оси, проходящей через (перпендикулярно плоскости плана скоростей) под действием активных сил, действующих на механизм.

Важно помнить, что метод Н.Е.Жуковского основан на принципе возможных перемещений, следовательно, исследуемый по этому методу механизм, должен отвечать требованиям:

1. находиться в равновесии,

2. иметь идеальные связи.

Первое из этих требований может быть удовлетворено во всяком случае за счет применения принципа Даламбера.

Второе требование в реальных механизмах не выполняется, следовательно, при решении реальных задач по методу Н.Е.Жуковского будет допущена неточность, связанная с отсутствием идеальности связей в механизме.

Очевидно, что для решения задачи по методу Н.Е.Жуковского можно использовать план скоростей, повернутый (в любом направлении) на , в соответствующие точки которого следует переносить все силы с плана механизма, сохраняя их направления. Ясно, что при этом относительный поворот сил относительно плана скоростей – такой же, как и в предыдущем варианте, но в практическом отношении при значительном количестве сил второй вариант удобнее.

При решении задач по методу Н.Е.Жуковского может быть рекомендована такая последовательность действий:

1. построить план механизма в исследуемом положении, показать активные нагрузки, под действием которых он может быть рассмотрен как находящийся в равновесии; все моменты сил представить в виде пар сил (см. п. 3.2);

2. построить план скоростей для подлежащего исследованию плана механизма, и в соответствующие точки перенести с плана механизма все активные силы, поворачивая их при этом на в одном и том же направлении;

3. составив уравнение (3.9), найти из него одну скалярную неизвестную величину.

Рассмотрим эту последовательность на следующем примере с кривошипо-ползунным механизмом.

Кинематические длины звеньев механизма – известны, положение механизма задано углом поворота кривошипа , угловая скорость кривошипа известна. На ползун 3 действует сила полезного сопротивления . Требуется определить приложенный к кривошипу уравновешивающий момент сил Му, необходимый для привода механизма. Другие нагрузки, в том числе силы тяжести и силы инерции звеньев – не учитывать.

Известным методом планов (см. раздел 2) строим планы механизма и скоростей (рис. 3.12 и 3.13). Изображаем известную силу и искомый уравновешивающий момент сил Му, направление которого назначаем произвольно. Очевидно, что в нашем примере это направление указано ошибочно, однако если учесть еще хотя бы одну силу тяжести шатуна, то станет невозможно без количественного анализа определить истинное направление Му, наобходимого для равномерного вращения кривошипа, следовательно, это направление придется указывать наугад.

Рисунок 3.12 – План механизма и схема его нагружения

Рисунок 3.13 – Планы реальных и возможных скоростей

В соответствии с п. 1 рекомендованной последовательности заменим Му парой сил и . Затем перенесем (с одновременным поворотом на ) все силы с плана механизма в соответствующие точки плана скоростей: силу - из точки С в ее изображение на плане скоростей с, - из В в b, - из А в а и составим уравнение (3.10):

(3.10)

решив которое получим:

(3.11)

Полученный в решении знак «минус» показывает, что истинное направление (а значит и М_у) противоположно предположенному, т.е. метод автоматически исправляет допущенную ошибку. Из этого следует вывод первый: не необходимо заранее определять истинное направление искомой нагрузки, предварительно его можно указывать произвольно.

На рис. 3.13 видно, что если бы в начале построения плана скоростей была бы изображена не отрезком , а отрезком другой длины ( ) или даже противоположного направления ( ), то ввиду очевидного подобия треугольников и т.д. имели бы место равенства:

,

И подстановка каждого из этих отношений в уравнение (3.11) приводила бы к получению одного и того же результата. Т.е. для решения задачи можно было использовать не реальную скорость точки В, а любую из возможных ее скоростей. Из этого следует вывод второй: для решения задачи по методу Н.Е.Жуковского не необходимо иметь план реальных скоростей механизма, достаточно плана возможных скоростей.

Ввиду общности приведенных рассуждений, очевидно, что оба эти вывода справедливы при рассмотрении и других примеров, т.е. свойственны методу Н.Е.Жуковского, что делает его широко применяемым при решении инженерных задач.