7.7. Механика Ньютона как программа исследований

В конце "Общего поучения " Ньютон предлагает четкую "програм­му исследований", — с помощью силы тяготения она объяснит не только физические явления — такие, как падение тяжелых тел, орбиты небесных тел и приливы, — ученый считает, что благодаря ей можно реально понять электрические явления, оптические, и даже физиологические. К сожалению, добавляет Ньютон, "об этом невозможно сказать в нескольких словах, и мы не располагаем достаточным количеством экспериментов для точного определения и доказательства законов, по которым действует этот электрический упругий дух". Ньютон попытался сам реализовать программу в области оптики: "Когда Ньютон предположил, что свет состоит из инертных частиц, — пишет Эйнштейн, — он был первым, кто сфор­мулировал основу, из которой оказалось возможно дедуцировать большое число явлений посредством логико-математических рас­суждений. Он надеялся, что со временем фундаментальные основы механики дадут ключ к пониманию всех явлений, так думали и его ученики вплоть до конца XVIII в.". Механика Ньютона стала одной из наиболее мощных и плодотворных исследовательских программ в истории науки: после Ньютона для научного сообщества "все явления физического порядка должны были быть соотносимы с массами по законам движения Ньютона". Реализация программы Ньютона продолжалась довольно долго, пока не натолкнулась на проблемы, для разрешения которых потребовалась новая научная революция.

Физика Ньютона исследует не сущности, а функции; она не доискивается до сути тяготения, но довольствуется тем, что оно есть на самом деле и что им объясняются движения небесных тел и земных морей. И однако Ньютон замечает в работе "Оптика": "Первопричина, разумеется, не является механической". Ограни-

148

Научная революция

ченное и контролируемое опытом рассуждение и деизм — две ос­новные составляющие наследства, которое эпоха Просвещения по­лучит от Ньютона, в то время как материалисты XVIII в. изберут в качестве теоретической базы механицизм Декарта. Для последова­телей Декарта в мире нет пустоты, для Ньютона это не так: тела взаимодействуют "на расстоянии". Последователи же Декарта и Лейбниц увидят в этих таинственных силах, действующих на неог­раниченных расстояниях, возврат к старым "скрытым свойствам".

7.8. Открытие исчисления бесконечно малых величин и спор с Лейбницем

В первые годы учения в колледже св. Троицы в Кембридже Ньютон занимался преимущественно математикой: арифметикой, тригонометрией и особенно геометрией, изучая ее по "Началам" Евклида, которые прочел с легкостью, и по "Геометрии" Декарта, стоившей ему гораздо больших трудов, особенно вначале. Как уже говорилось, Барроу быстро заметил выдающиеся способности своего ученика, особенно он оценил его новые идеи в области математики. И когда в 1669 г. он получил от Ньютона сочинение "Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов", написанное в предыдущие три года, он отдал ему свою кафедру в Кембриджском университете. В действительности (и это важно в свете спора Нью­тона с Лейбницем) первые работы Ньютона по математике написаны еще раньше. Через четыре года после "Анализа " появляется трактат "Methodus fluxionum et seriarum infmitarum " ("Метод флюксий и беско­нечных рядов"), который суммирует первые исследования. Это ис­следование бесконечно малых величин, т. е. речь идет о малых вариациях определенных величин, их отношений, позже названных производными дериватами, и их сумм под названием интегралов. При работе важным инструментом стала аналитическая геометрия Декарта, а именно перевод кривых и поверхностей в алгебраические уравнения. Кроме того, он использовал исследования Франсуа Виета (1540—1603), особенно работу "Введение в аналитическое искусст­во", в которой разрабатывается приложение алгебры к геометрии посредством введения рудиментов буквенного счета с соответствую­щей символической записью. Для своих дальнейших математичес­ких исследований Ньютон использует работу "Ключ математики" Уильяма Отреда (1574—1660) и многие работы Джона Уоллиса (1616-1703).

Импульсом к исследованиям бесконечно малых величин послу­жили проблемы геометрии, а именно проблемы измерения твердых тел, т. е. стереометрия. Крупнейшим исследователем в этой области

Исаак Ньютон: математика

149

стал Бонавентура Кавальери (1598(?)—1647), описавший в своей работе "Geometria indivisibilibus continuoram nova quadam ratione promota" ("Геометрия, развитая новым способом при помощи неде­лимых непрерывного"), опубликованной в 1635 г., принцип, кото­рый сегодня носит его имя: если при пересечении двух тел плоскос­тями, параллельными некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объемы тел равны. Изучение бесконеч­но малых величин было подготовлено также работой Кеплера "Новая стереометрия винных бочек" (1615); активным распростра­нителем метода Кавальери был Эванджелиста Торричелли (1608— 1647). Пьер Ферма (1601—1665) дает методу более строгую матема­тическую формулировку. Опираясь на наследие предшественников, Ньютон с самого начала делает точные ссылки на акустику и оптику, т. е. те отрасли физики, которые он в то время изучал. И очень скоро в его математических трудах четко проявится физическая основа.

Первый итог исчислений бесконечно малых величин Ньютон опубликует позже, в 1687 г., в начале своего главного сочинения "Математические начала натуральной философии ".

В 1711 г. выйдет сочинение, написанное в 1669 г., "Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов"; в 1704 г., в качестве приложения к трактату "Оптика ", увидит свет "Трактат о квадра­туре кривых" — труд 1676 г.; вышеупомянутый "Метод флюксий и бесконечных рядов", написанный в 1673 г. на латинском языке, выйдет в английском варианте только в 1736 г., т. е. уже после смерти автора.

Но обратимся к теории, названной самим Ньютоном теорией переменных. Если в первых трудах он развивает "алгебраическое" изучение проблемы, особенно на базе трудов Ферма и Уоллиса, то вскоре основанная на знании физики, а точнее, механики, интуиция укажет ему верное направление для разрешения проблемы. Благо­даря этой концептуальной основе Ньютону удалось выйти за рамки определения линий только как совокупности точек: теперь он рас­сматривает их как траектории движения точки; в результате плос­кости воспринимаются как движение линий, а объемные тела — как движение плоскостей, описанные через изменение ординаты, в то время как абсцисса растет с течением времени.

Для этого он вводит х, у, z, чтобы обозначить скорость точки в трех координатах-направлениях. Отсюда берут начало различные проблемы, и особенно две: как рассчитать отношения переменных при известных параметрах, и наоборот.

В частном случае механики: известно расстояние в функции времени, как вычислить скорость, и наоборот: при известных ско­рости и времени как вычислить пройденный путь? В современных терминах: вывести пространство из временных отношений и интег-

150

Научная революция

рировать в скорости. Не вдаваясь слишком в технические детали, необходимо, тем не менее, сказать, что Ньютону удалось доказать многие важные правила дифференциального и интегрального исчис­ления; кроме того, он ввел понятие второй производной (производ­ной производной; в случае механики: ускорение) и производной любого порядка; он строго теоретически обосновал связь между производной и интегралом и решил первые дифференциальные уравнения (с одной неизвестной функцией). Из вышеперечисленно­го явствует, что механика внесла ощутимый концептуальный вклад в выработку новой математической теории. Ньютон рассматривал математику с точки зрения инструментальной концепции: матема­тика для него служила языком описания природных явлений. В этом его позиция совпадала с позицией Гоббса.

Итак, теория Ньютона оказывается во власти своего особого происхождения. Ее формализованность (х, у, Z — для функций; х, у, Z— для производных; хо, уо, zo — для дифференциалов) имеет большую ценность для специалистов по механике, в которой дери­вация относится ко времени и производные имеют фиксированный смысл (первая производная — скорость, вторая — ускорение), но оказывается негибкой и неплодотворной в других секторах науки. Кроме того, в формализации Ньютона нет символа для интеграла. Именно такие критические замечания были высказаны другим ве­ликим основателем исчисления бесконечно малых величин — Готф-ридом Вильгельмом Лейбницем (1646—1716).

Лейбниц приходит к той же проблеме иным путем. Он основы­вается на блестящих работах по аналитической геометрии (в том числе и неизданных) Блеза Паскаля. На математической, а не физической основе Лейбниц выводит теоретическое определение производной в точке кривой как углового коэффициента прямой линии, касательной в данной точке (то, что мы называем сегодня тригонометрической касательной (тангенсом) угла, который она образует с осью абсцисс); эта касательная прямая понимается как идеальная секущая в этой точке и в другой, бесконечно близкой к данной. С вышеизложенными рассуждениями связано хорошо из­вестное, более распространенное и общеупотребительное в наши дни обозначение dx, dy — для дифференциалов переменных х и у, и

^ — для производной у к х. Кроме того, Лейбниц вводит заглавное

S для обозначения интеграла; это обозначение также стало обще­употребительным. Во всем остальном его теория не очень отличается от теории Ньютона; более или менее аналогичны и результаты последующей ее разработки. Однако Лейбницу также недостает фундаментальной математической точности, ибо еще не упрочилось и не получило теоретического обоснования понятие "предела".

Развитие анатомических исследований

151

Концептуальные его основы уже были в "Арифметике бесконечно­го" Джона Валлиса, если пойти далее, эта идея присутствовала и в методе Евдокса (408—355 до н. э.) и с успехом применялась Евкли­дом и Архимедом для решения различных геометрических проблем. Однако строгое применение понятия на основе анализа бесконечно малых величин мы обнаружим лишь в XIX в. у Бернарда Больцано (1781-1848) и у Опостена Луи Коши (1789—1857).

Работа Лейбница написана примерно в 1672—1673 гг., следова­тельно, позже или по крайней мере одновременно с трудом Ньютона. Однако публикация его основного труда "Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных" относится к 1684 г., т. е. на три года раньше публикации "Математических начал натуральной фи­лософии " Ньютона. Между Ньютоном и Лейбницем вспыхнул ожес­точенный спор о приоритете открытия, но не станем на нем оста­навливаться.

8. НАУКИ О ЖИЗНИ

8.1. Развитие анатомических исследований

В XVI в. наблюдается бурный расцвет анатомических исследова­ний. Наиболее известные ученые в этой области знаний: Андреас Везалий (1514—1564), Мигель Сервет (1509—1553), Габриэль Фал-лопий (1523—1562), Реальдо Коломбо (ок. 1516—1559), Андреа Че-зальпино (1529—1603) и Фабриций ди Аквапенденте (1533—1619). В том же году, когда Николай Коперник опубликовал работу "Об об­ращениях", Везалий, фламандец по происхождению, профессор из Падуи, отдал в печать работу "О строении человеческого тела". Эта книга, основанная на личных наблюдениях автора, "была первым скрупулезным описанием человеческой анатомии из когда-либо известных человечеству" (А. Азимов). Она разошлась по всей Европе в тысячах экземпляров. Книга была прекрасно иллюстрирована; некоторые рисунки выполнены Яном Стевензооном ван Калькаром, учеником Тициана. Гален утверждал, что кровь перетекает из пра­вого желудочка сердца в левый через разделительную перегородку, называемую мембраной. Везалий возразил Галену, что сердечная мембрана плотная и имеет мускулистую природу. Во втором издании своего труда (1555) он уже открыто заявляет, что кровь не может проникнуть через мембрану: "До недавних пор я бы не осмелился даже на волосок отступить от мнения Галена. Но мембрана так же плотна, как и остальная часть сердца. Поэтому я не могу понять, как

752

Научная революция

Уильям Гарвей: открытие кровообращения

153

даже самая маленькая частичка может проникнуть из правого желу­дочка сердца в левый". Везалию не удалось объяснить движение крови в теле человека.

Мигель Сервет, религиозный реформатор (в 1553 г. был отправ­лен на костер Кальвином), познакомившийся с Везалием в Париже, предположил, что кровь попадает из правого резервуара в левый через легкие. После Сервета Реальдо Коломбо (также профессор анатомии в Падуе) выдвинул идею, что дыхание, скорее — процесс очищения крови, а не процесс охлаждения. В работе "Восстановле­ние христианства" (ее сожгли вместе с автором, Серветом; сохрани­лось только три экземпляра: в Париже, Вене и Эдинбурге) мы читаем: "Кровь направляется от легочных артерий к легочным венам по длинному пути через легкие; по мере прохождения этого пути она становится кармазинного (ярко-красного) цвета", "очищаясь от прокопченных паров при выдыхании".

Реальдо Коломбо в книге "Об анатомии" пишет: "Кровь попадает в легкие через артериальную вену; смешавшись с воздухом, она проходит через венозную артерию к левому сердцу". Анатом, бота­ник и минералог Андреа Чезалышно, профессор анатомии в Пизе и Падуе, утверждал, вопреки доктрине Галена, что кровеносные сосу­ды берут свое начало от сердца, а не от печени, что кровь проникает во все части тела. В Падуе работал также Фабриций ди Аквапенденте, анатом и эмбриолог, занимавшийся изучением венозных клапанов, но к кровообращению он так и не пришел. Фаллопий, продолжая традицию Везалия, описал каналы, ведущие от яичников к матке, и по сей день они именуются фаллопиевыми трубами. А Бартоломео Евстахий (ок. 1500—1574), противник Везалия и последователь Га­лена, изучал, среди прочего, проток, ведущий от уха к горлу, который называется евстахиева труба.