2.1. Двумерная кристаллическая решетка
Наличие на поверхности |
Поверхность может быть получена |
кристаллической структуры |
путем периодического повторения |
означает |
одинаковых структурных единиц. |
Кристаллическая решетка - набор узлов, расположенных таким образом, что каждый узел имеет одинаковое и однообразным способом ориентированное окружение
Узлы кристаллической решетки не обязательно совмещать с каким-либо атомом, но обычно это делают из соображений удобства
Группу атомов, относящуюся к данному узлу, называют базисом
Простые решетки 
Базис состоит из одного атома
Сложные |
К каждому узлу относятся два или более атомов |
Основное свойство |
трансляционная симметрия |
|
кристаллической решетки |
||
|
Решетка совмещается сама с собой при перемещении на вектор трансляции решетки
tx и ty − основные вектора трансляции
Обычно основные вектора выбирают наименьшими по длине
Элементарная ячейка - элемент решетки, трансляцией которого может быть получена вся решетка целиком
Примитивная - ячейка имеющая минимальную из всех возможных площадь
При любом выборе с ней связан только один узел кристаллической решетки.
Соответствующий базис - примитивный базис.
thk = htx + kty
h и k - любые целые числа
Возможные варианты выбора основных векторов трансляции и
элементарной ячейки
Зачастую примитивную ячейку выбирают так, чтобы ее сторонами являлись основные вектора.
При этом в вершинах оказываются узлы.
Другой полезный способ |
|
|
Ячейка Вигнера-Зейтца |
область, все точки которой расположены ближе к |
|
фиксированному узлу |
||
|
Кроме трансляционной симметрии двухмерные решетки могут обладать некоторым числом операций точечной и осевой симметрии:
оси вращения II, III, IV и VI порядков, зеркальное отражение в плоскости, перпендикулярной поверхности, отражение с последующей трансляцией на половину трансляционного периода в этом направлении.
|
По симметрии все кристаллические решетки - решетки Браве – |
||
I тип |
можно разделить на 5 типов. |
Косоугольная |
|
Произвольное соотношение между длинами |
|||
|
|||
основных векторов трансляций и произвольный угол между ними Инвариантна. только относительно поворота на угол, кратный π.
Остальные 4 - частный случай косоугольных. Получаются из нее при наложении ограничений на длины векторов и углы между ними.
II тип |
Прямоугольная решетка |
||
Инвариантность решетки относительно |
|
|
|
|
плоскости зеркального отражения |
||
III тип |
Прямоугольная центрированная, |
имеющая базис из двух или более атомов |
Еще два - при наличии инвариантности относительно поворота вокруг оси, проходящей через узел решетки и перпендикулярной плоскости поверхности
IV тип |
ось четвертого порядка |
|
Квадратная решетка |
||||
|
|
|
|
||||
V тип |
инвариантность к повороту на угол 2π/6 |
Гексагональная решетка |
|||||
|
|
|
|
Угол между |
Точечная |
|
|
|
|
Решетка |
Элементарная |
основными |
группа |
|
|
|
|
векторами и |
|
||||
|
|
|
решетка |
симметрии |
|
||
|
|
|
соотношение |
|
|||
|
|
|
|
между ними |
|
|
|
|
Косоугольная |
Параллелограмм |
tx¹ ty ; |
J¹900 |
2 |
|
|
|
Примитивная |
Прямоугольник |
tx¹ ty ; |
J=900 |
2mm |
|
|
|
|
прямоугольная |
|
|
|
|
|
|
Центрированная |
Прямоугольник |
tx¹ ty ; |
J¹900 |
2mm |
|
|
|
|
прямоугольная |
|
|
|
|
|
|
Квадратная |
Квадрат |
tx= ty ; |
J=900 |
4mm |
|
|
|
Гексагональная |
600-ромб |
tx= ty ; |
J=1200 |
6mm |
|
|
mm - указывает на наличие двух плоскостей зеркального отражения
Понижение размерности по отношению к трехмерному кристаллу приводит к особенностям
Рассмотрим одномерную цепочку N атомов массой M |
|
Отклонение от «правильного» положения |
δт=xт-та |
δ m = |
|
|
|
1 |
|
å Aq exp(iωqt){exp(iqma)−1} |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
N |
ω |
|
ω |
|
|
ω |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
vзв = νλ = |
λ = |
|
= |
||||
ωq = qvзв |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2π |
2π |
|
q |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|||||||||||
|
|
|
1 |
τ |
|
4 |
åq |
|
2 |
|
2 qma |
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
ò0 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
δm |
= |
|
|
δmδmdt = |
|
Aq |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
τ |
N |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
é |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 τ |
* |
t){exp(- iqma)-1}A exp(iω |
|
|
t){exp(iQma)-1}dt |
|||||||||
ê |
δ |
|
= |
|
|
|
|
åq,Q τ ò0 |
A |
exp(- iω |
|
|
|||||||||||
|
N |
|
|
||||||||||||||||||||
ê |
|
|
m |
|
|
q |
q |
|
Q |
|
|
|
Q |
|
|||||||||
ê |
|
|
1 |
å |
|
|
Aq |
|
2 {exp(- iqma)-1}{exp(iqma)-1}dt = |
1 |
å |
|
Aq |
|
2 {2 - 2cos(qma)}= |
||||||||
ê= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
N |
|
|
N |
|||||||||||||||||||
ê |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
||
ê |
|
|
4 |
|
å |
|
Aq |
|
2 sin2 qma |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ê= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ê |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ù
=ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
úû
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае гармонических колебаний |
|
|
|
|
ε |
q |
= ε |
kin + |
ε |
pot = 2ε |
pot |
= Mω2 |
< A2 |
> |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
q |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
q |
|
q |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формула Планка |
ç |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ε |
q = hωq ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
é |
æ hω |
|
ö |
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
q |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
-1ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
êexpç |
kT |
÷ |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
ë |
è |
|
ø |
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При ћω<<kT, пренебрегая ½ |
|
|
|
Mω |
2 |
|
A |
|
2 |
|
= Mv2 |
|
q2 |
|
A |
|
2 |
= kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
q |
|
|
|
|
|
зв |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Aq |
|
2 |
= |
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Mv2звq2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При большом N суммирование можно заменить на интегрирование по всем возможным состояниям системы
D(q) – плотность состояний колебательного спектра
Приближение Дебая |
решетка заменяется упругим континуумом |
В решетке спектр частот колебаний ограничен |
|
Дебай предложил ввести |
ωD выбирается так, что общее число колебаний |
максимальную частоту - ωD |
равняется общему числу степеней свободы |
3D - случай
Твердое тело - куб со стороной L, содержит N элементарных ячеек
uL=u или |
|
|
Aq expi[ωt − q(r + L)]= Aq expi[ωt − qr ] |
||||||
qi =± |
2π |
, ± |
4π |
, ± |
6π |
,...± |
Nπ |
|
|
L |
L |
L |
L |
||||||
|
|
|
|
||||||
На 1 колебание приходится объем
В изотропном кристалле для каждого типа поляризации полное число мод с волновым вектором, меньшим q, равно частному от деления объема сферы радиусом q на объем, приходящийся на одно колебание:
|
|
|
|
|
|
|
n(ω ) = L3 |
ω3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
6π 2v3звук |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если общее число ячеек N
3 |
ω 3 |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
||
N = L |
|
|
или |
|
|
|
6π 2 v |
3звук |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Аналогично для двумерной и одномерной систем
|
|
|
|
|
ì |
2π |
|
|
D =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ï |
|
|
||
|
|
|
|
|
ï |
a |
|
|
|
С понижением размерности увеличивается |
ï |
2 |
π |
|
D = 2 |
||||
qD = í |
a |
||||||||
доля низкочастотных колебаний |
ï |
|
|||||||
|
|
|
|
|
ï |
(6π 2 )13 |
|
||
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
D = 3 |
|
|
|
|
|
|
a |
|||
|
|
|
|
|
î |
|
|
||
qD = 2aπ
|
2 |
|
|
|
|
4kT |
|
qD |
|
2 |
æ qma |
ö |
L |
dq |
|
4kTL |
æ ma ö2 |
æ |
2 ö |
|||||||
δm |
|
= |
|
|
|
|
|
òsin |
ç |
÷ |
|
|
2 |
= |
|
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|||||
d =1 |
|
|
|
2 |
|
2π |
q |
2 |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
NMvзвук |
0 |
|
|
è 2 |
ø |
|
|
2πNMvзвук è |
ø |
è ma ø |
|||||||||||
|
kTa2m ∞ |
|
2 |
|
dx |
|
kTa2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
@ |
|
|
|
|
òsin |
|
x |
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
πMvзвук 0 |
|
|
|
|
|
2Mvзвук |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
πm |
|
òsin2 x dx2 @ |
|
0 |
x |
δ2 |
|
= |
|
kTa2 |
(ln m + const) |
|
D=2 |
2 |
|||||
m |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Mvзвук |
|
|
δ2 |
|
= |
|
kTa2 |
×const |
|
D=3 |
|
2 |
||||
m |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Mvзвук |
|
Т.о., низкая величина связи атомов из-за меньшего числа соседей приводит к увеличению количества низкочастотных колебаний, что стимулирует развитие флуктуационного нарушения дальнего порядка
Взаимодействием атомов с подложкой, должно оказывать стабилизирующее влияние