3.9.3. Способы реализации метода функционала плотности
|
3.9.3.А. Расширенный метод Томаса-Ферми |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Цель |
Расчет n(r), соответствующей |
|
|
|
|
Дополнительное условие – |
|||||||||||||||||||||||
минимальному значению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сохранение числа частиц |
||||||||||||||||||||
|
энергии E[n(r)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При наличии связи (т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ[E − μN ] = 0 |
||||||||
дополнительного условия) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r |
r r |
1 |
|
n(r)n(r1) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||||
E[n(r )] = òv(r )n(r )dτ + |
2 |
òò |
|
r |
|
r1 |
|
|
|
dτdτ |
|
|
|
+ G[n(r )] |
|
|
μ - множитель Лагранжа |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
− r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
большом количестве частиц μ - |
|||||
Варьируем по n(r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электрохимический потенциал |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r |
|
r |
|
|
1 |
|
|
|
n(rr)n(rr/ ) |
|
|
/ |
|
δg |
|
r |
||||||||||||
|
òv(r )δn(r )dτ + 2 2 òò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dτdτ |
|
+ òδn dτ − μòδn(r )dτ = 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
rr − rr/ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
n(r ) |
|
|
|
/ |
|
δg |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
v(r )+ |
ò |
|
|
|
|
dτ |
|
|
+ |
|
− μ = 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r r |
/ |
|
|
|
|
δn |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r − r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
n(r ) |
/ |
|
|
|
δg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
v(r )+ ò |
|
r r/ |
|
dτ |
|
+ |
δn |
− μ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
r − r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(rr/ ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
n |
|
/ |
||||
Если внешний потенциал v(r) создается |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
v(r ) = −ò |
|
|
|
dτ |
|
||||||||||||||||||||
только зарядами положительного фона, |
|
|
|
|
|
rr |
− rr/ |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
r |
|
r |
|
|
|
n (rr/ ) |
n(rr/ )− n |
(rr/ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
φ(r ) = v(r )+ |
ò |
|
|
+ |
|
dτ / =ò |
|
rr − rr+/ |
|
dτ / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
rr − rr/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Такая запись автоматически |
|
|
|
|
|
|
Ñ2φ(rr) = -4π [n(rr)- n |
(rr)] |
||||||||||||||||||||||
подразумевает справедливость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
уравнения Пуассона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
φ(rr)+ |
δg |
= μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Уравнение Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решить можно, если известен функционал G[n(r)].
Локальное приближение |
φ(rr)+ g/ |
(n(rr))+ g/ |
(n(rr)) |
|
Ñn |
|
2 |
+ ... = μ |
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
Градиентное разложение |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.9.3.Б. Усовершенствованный метод Хартри
Используется при расчетах поверхностных характеристик |
|
|||||||
Выделим явным образом из G[n(r)] |
G[n(r)]= T[n(r)]+ E xc [n(r)] |
|||||||
кинетическую энергию |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Exc[n(r)] - обменно-корреляционная энергии |
|
|
ì |
|
δT |
+ δE |
xc ü |
|
|
|
δE[n(r)] = òδníφ(r) + |
|
ýdτ |
|
|
||||
|
î |
|
δn |
δn |
þ |
ìδT |
|
|
veff = φ(r)+ |
δE xc |
|
|
|
|
ü |
||
|
|
|
|
|
|
δE[n(r)]= òδní |
+ veff ýdτ |
|
δn |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
îδn |
þ |
||
|
|
|
|
Форма, как для N невзаимодействующих частиц, |
||||
|
|
|
|
движущихся в усредненном поле с потенциалом veff. |
||||
Для такой системы |
|
|
|
Замена многочастичного уравнения Шредингера |
||||
справедлива |
|
|
|
|
|
набором одночастичных, наличие остальных |
||
методика Хартри |
|
|
|
Электронов учитывается введением эффективного |
||||
|
|
|
|
|
|
потенциала |
|
|
