Термическое расширение
Следствие ангармонизма сил |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F=-βx+γx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1γx3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Потенциальная энергия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = −ò Fdx = |
|
βx2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вероятность отклонения атома |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
U |
ö |
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
βx |
2 |
|
|
x |
3 |
ö |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||
от равновесного положения |
|
|
|
|
P( x ) |
= Aexpç |
- |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
+ γ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
kT |
|
= Aexpç |
2kT |
|
|
|
÷ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
по статистике Больцмана: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
3kT ø |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
βx2 |
öæ |
|
|
|
|
x3 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
γx |
<< kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
֍ |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
P(x) » Aexpç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ç1+ γ |
|
3kT |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
2kT øè |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Постоянная А из условия |
|
|
|
|
|
ò P(x)dx = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
+∞ |
æ |
|
|
βx |
2 |
|
öæ |
|
x |
3 |
ö |
|
+∞ |
æ |
|
βx |
2 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
- |
|
|
|
|
֍ |
|
|
÷ |
|
|
ç |
- |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 = A òexpç |
|
2kT |
÷ç1+ γ |
|
|
÷dx = A×2× òexpç |
2kT |
÷dx = A×2 |
2 |
|
|
|
|
|
β 2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
−∞ |
è |
|
|
øè |
|
3kT ø |
|
0 |
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
β ö 12 |
+∞ |
æ |
|
|
βx2 |
ö |
é |
|
γx |
4 ù |
|
|
|
γkT |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
ò |
xP(x)dx = ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
−∞ò |
expç- |
|
|
|
|
|
|
÷ |
êx + |
|
|
|
|
|
údx = |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
β 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
2πkT ø |
|
|
|
è |
|
|
ø |
ë |
|
3kT û |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
При γ =0 → равно нулю
Коэффициент термического расширения
Увеличение СКС на поверхности - свидетельство уменьшения коэффициента упругости β.
Для вычислений нужен закон взаимодействия частиц
Для потенциала Морзе
α |
|
|
3 |
æ |
us2 |
ö |
|
s |
» |
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
2 |
|||
α b |
4 |
ç |
÷ |
|||
è |
ub |
ø |
||||
Экспериментально 
ДМЭ
На поверхности α больше
Si(110). 1 - α|| 2 - α
Повышенная α на поверхности
Напряжения в поверхностном слое
Ангармонизм колебаний
Изменение атомного строения поверхности
Могут быть снижены - гофрировка, генерация вакансий и междоузельных атомов, даже разупорядочение
Облегчается наличием выступов, ступеней, изломов. Тепловое сопротивление χ.
χ ~ |
β |
7 |
2 |
|
|
|
|
χ ~ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
βT |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
γ 2T |
|
|
|
|
α |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На поверхности - увеличение сопротивления передачи тепла.
|
æ ö 2 |
|
|
|
æ |
ö 2 æ |
u2 |
ö |
12 |
( |
) |
|
( |
) |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
χ s |
|
α b |
|
|
β b |
|
|
α b |
|
ç |
s |
÷ |
= |
2 |
|
|
» |
1 |
||||
|
= ç |
|
÷ |
|
|
=ç |
|
÷ |
2 |
|
0.25 |
|
15. ...2 |
|
|
2 |
|
|||||
χ b |
è α s ø |
β s |
|
è α s ø |
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
||||||
|
è |
ub |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
. Обрыв решетки должен. приводить к усилению рассеяния фононов
Литература к III разделу
1.Р.Хофман “Строение твердых тел и поверхностей (Взгляд химика-теоретика)” М., Мир. 1990
2.С.Дэвисон, Дж.Левин “Поверхностные (Таммовские) состояния”. М., Мир, 1973.
3.Н.Лэнг “Применение МФП к изучению электронной структуры металлических поверхностей и систем типа металл-адсорбат”. В сб. ”Теория неоднородного электронного газа”.
Ред. С.Лундквист, Н.Марч. М., Мир,1987, с.318-395.
4.А.Я.Беленький “Электронные поверхностные состояния в кристаллах”. УФН, 134, № 1, 125-145, 1981.
6.М.Б.Партенский Поверхность, N10, 15-32 1982.
8. Векилов Ю.Х., Вернер В.Д., Самсонова М.Б. “ Электронная структура поверхностей непереходных металлов” УФН, 1987, т.151, № 2, с.341-376