3.9.2. Метод функционала плотности
Необходимо решить |
Hψ = Eψ |
|
уравнение Шредингера: |
Ψ - волновая функция, зависит от |
|
|
||
|
координат и спина всех электронов |
|
Плотность электронов |
Поиск многочастичной функции – |
|
проводимости в металле ~1023см-3 |
||
дело безнадежное. |
||
|
||
К счастью |
Знание такой ψ совершенно необязательно |
|
Можно упростить задачу |
Перейти к описанию системы |
|
на языке плотности заряда. |
||
|
Гамильтониан
T −оператор кинетической энергии
H = T + U + V U −оператор электрон− электронного взаимодействия
V −оператор взаимодействия электронов с внешним полем
в т.ч. с положительным фоном
Считаем → основное состояние не вырождено
Распределение электронов в пространстве однозначно определяется внешним потенциалом v(r)
Справедливо и |
v(r) - однозначный функционал плотности |
|
|
||||||||||||||||
обратное |
|
|
v[n(r)] |
||||||||||||||||
|
с точностью до аддитивной постоянной |
|
|
|
|
||||||||||||||
утверждение |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ψ(r) также функционал n(r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ψ[n(r)] |
|
) |
ψ = T[n(r)] |
|||||||||
|
Средние, вычисленные на функциях ψ, |
|
|
|
|
T = |
ψ |
T |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
E = E[n(r)] |
|
|||||||||||||
|
однозначные функционалы плотности |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Выделим из Е части, связанные с дальнодействующим взаимодействием |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
r |
r r |
1 |
|
n(r)n(r1) |
|
1 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||
|
E[n(r )] = òv(r )n(r )dτ + |
2 |
òò |
|
r r1 |
|
|
dτdτ |
|
+ G[n(r )] |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
r − r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G[n(r)] - некоторый функционал
Хоэнберг и Коэн доказали следующую теорему:
”Существует универсальный функционал G[n(r)] такой, что плотность, c
оответствующая любому внешнему потенциалу, должна минимизировать функционал при дополнительном условии: 
Обменно-корреляционная дырка