3.2.Поверхностные состояния. Метод ЛКАО
На поверхности |
Энергетический спектр электронов отличается от |
|
имеющегося в бесконечном кристалле |
||
|
Рассмотрим конечную одномерную цепочку, состоящую из N+1 атомов
|
Необходимо найти волновые функции ψ и |
||
|
собственные значения энергии ε |
||
Hψ = Eψ |
|
|
|
Метод ЛКАО |
ψ в виде линейной комбинации |
|
|
|
атомных орбиталей ϕ |
|
|
ϕm ≡ ϕ(rr − Rm) |
атомная орбиталь, центрированная на атоме m |
||
|
cm - коэффициент, характеризующий удельный вес |
||
m-орбитали.
случай s -атома, т.е. имеющего один электрон на внешней оболочке
Элементы
Hnn
Умножим слева на комплексно сопряженную волновую функцию n-атома и проинтегрируем по всему пространству.
Hnm = òϕn*Hϕmdτ
Энергия электронного состояния на n-атоме
Была бы равна энергии ионизации свободного атома, если можно было бы пренебречь влиянием его соседей по цепочке
Hnm при n¹m. |
резонансный интеграл |
||
* |
интеграл перекрытия. |
||
Snm = òϕnϕmdτ |
|||
|
|
|
|
|
характеризует перекрытие атомных волновых функций |
||
Матричные элементы неравнозначны. Атомные волновые функции сосредоточены в области ядра “своего” атома и быстро спадают при удалении от него.
Положим |
Hnn=a; n¹0 |
|
|
||
Концевой атом в особом положении |
H =a / |
|
|
||
00 |
|
|
|
Hт,n±1=b |
|
|
Hn,m=0; ½m-n½³2 |
|
|
Snm = δ nm |
|
Система из N+1 взаимно зацепляющихся уравнений:
ì(E - α)cn |
= β(cn |
1 |
+ cn |
1) |
ï |
+ |
|
− |
|
í |
= βc1 |
|
|
|
ï(E - α/ )c0 |
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
Необходимо найти cn и допустимые значения Е
Граничное условие на другом конце цепочки
Большое число атомов.
Конкретный вид этого условия не скажется на значении волновой функции при n=0.
cN=0
Решение известно |
cn=sin [(N-n)θ ] |
θ - новая переменная |
Действительно 
cN=sin[(N-N)θ ]=0
( E-α)sin(N-n)θ=β [sin(N-n-1)θ +sin(N-n+1)]=2β sin(N-n)θ cosθ
E=α+2βcosθ
Чтобы определить допустимые значения θ, используем второе
(E-α /)sinNθ =β sin(N-1)θ
(α -α. / +2β cosθ )sinNθ =β (sinNθ cosθ - cos Nθ sinθ)
Обозначение 
Трансцендентное уравнение
- z+2cosθ = cosθ - sinθ ctg Nθ
z=cosθ +sinθ ctgNθ
Графическое решение |
|
z=cosθ+sinθctgNθ |
|
|
Введем функцию f(θ ) = cosθ+sinθ ctgNθ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При θ далеко от границ |
|
||
|
поведение f(θ) определяется |
|
||
|
котангенсом |
|
||
|
|
При θ =0 или π требуется особое |
||
|
|
рассмотрение |
|
|
|
|
Неопределенность |
0 × ¥ |
|
iim sinθ |
= lim |
|
cosθ |
|
= |
1 |
→ 0 |
1 |
|
N |
|||||
θ →0 tgNθ |
θ →0 |
|
|
|
|||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
cos2 Nθ |
|
|
|
|
|
Аналогично для θ =π.
f(0)=1 и f(π) = -1
Точки, в которых z=f(θ), есть решения уравнения
При ½z½<1 имеется N допустимых значений θ, т.е. столько, сколько и нужно
Волновые функции периодичны,
энергия в интервале:α - 2½β½≤ E≤ α +2½β½
Обычная зонная структура
Ширина разрешенной зоны 4½β½
b - величина резонансного интеграла, |
Чем сильнее атомы связаны |
характеризующего взаимодействие |
друг с другом, тем шире |
между соседними атомами |
полоса разрешенных состояний. |
Наиболее интересен случай½z½>1 |
Количество решений на одно меньше |
Недостающее решение ® в области комплексных чисел
Даст ли комплексное решение физически разумный результат? Обязательное условие - реальность энергии
Положим |
θ ς |
ξ |
где x¹0 |
|
= +i |
, |
Потребуем, чтобы мнимая часть энергии равнялась нулю
ImE=0=Im [a+2b cos(V+ix)]=2b Im [cosV cos(ix) - sinV sin(ix)]= =2b Im [cosV chx - I sinV shx ]= - 2b sinV shx
Имеющее физический смысл решение возможно при условии
Функция периодична
Второе условие, которому должно удовлетворять решение,
sin |
=0 |
|
ς |
|
V =kp, где k=0,1,2,... |
Интерес представляют два значения: V=0 или p.
Волновая функция ограничена во всем пространстве
cт - ограничен
cт=sin[(N-т)iξ ]=i sh [(N-т)ξ ]=i [sh Nξ ch тξ - sh тξ ch Nξ ]= =i sh Nξ [ch тξ - cth Nξ shтξ]
При больших N |
xlim cth x =1 |
c = i shNξ [ch тξ - sh тξ ]=i sh Nξ e-тξ |
|
→∞ |
т |
Комплексное решение физически разумно при ξ>0.
Наибольший ст при малых m. |
Экспоненциально спадает |
|
по мере удаления от концевого атома. |
||
|
Электронные состояния, |
Поверхностные состояния |
располагающиеся у конца цепочки |
С физической точки зрения.
Положим Evacuum = 0 |
α и α / меньше нуля |
|
|
||
|
|||||
|
|
|
|
||
Положим, что и β отрицательна. |
|
|
|
|
|
Если потенциал у атома |
N+1 |
делокализованных состояний, |
|||
на конце цепочки не отличается |
|||||
образуют зону разрешенных состояний |
|||||
от объемного, то α=α / и z=0 |
|||||
|
|
|
|
||
При понижении энергии электрона у концевого атома α / уменьшается, z становится больше 0.
Z превышает 1 |
E=a+2b cosq |
z=cosθ +sinθ ctgNθ |
|
Соответствует притяжению электрона к концевому атому.
Величина ξ
z = chξ + (ishξ)(−icthNξ) → chξ + shξ = eξ
N →∞
x>0 и тем больше, чем больше z
E=α+2β cos iξ=α+2β chξ
α и b отрицательны, |
Энергия ПС ниже зоны |
сh x³1 всегда, |
разрешенных состояний |
|
E=α+2β cos iξ=α+2β chξ
cт= i sh Nξ e-тξ
Чем сильнее притяжение |
Тем больше x |
|
электрона к концу цепочки |
||
|
||
|
Тем глубже расположен его уровень |
|
|
Тем сильнее локализовано состояние |
|
|
на поверхности. |
Отталкивание электрона от поверхности, также при ½z½>1, также приводит к появлению ПС.
Располагается выше зоны разрешенных состояний
Наличие поверхности может привести к изменению потенциала не только на атоме с т=0, но и на нескольких ближайших к поверхности
Область измененного
потенциала оказывается Приповерхностные состояния более протяженной,
Увеличивается область локализации электронов
Физическая причина |
|
Изменение потенциала |
Поверхностные |
||
возникновения ПС |
|
на поверхности, |
состояния Тамма |
||
Трехмерный кристалл. |
|
|
|
n цепочек, где n - поверхностная |
|
|
|
|
концентрация атомов, на каждой из них |
||
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
возможно поверхностное состояние. |
|
Расстояния |
Взаимодействуют |
Влияет на энергию состояний |
|
|
|||
между ними |
Возможно образование |
||
друг с другом |
|||
не велики |
|||
|
зоны поверхностных |
||
|
|
состояний