3.3 Поверхностные состояния Шокли
Возможно возникновение локализованных на поверхности состояний при одинаковом значении кулоновского и резонансного интегралов у всех атомов, включая и поверхностный.
Шокли
Одномерная цепочка из 8 атомов, расположенных на расстоянии a
Форма потенциала и постоянная a неизменны вплоть до ее краев.
При больших расстояниях отсутствует взаимодействие
При сближении уровни смещаются и расширяются из-за взаимодействия
Электронные состояния – набор дискретных уровней,
Принцип неопределенности: конечно среднее время, которое электрон проводит у “чужих” атомов.
При уменьшении а уровни могут пересечься
С энергетической точки |
sp-гибридизация |
|
зрения эквивалентны |
||
|
При еще меньших а - разделение на две зоны
Тот же результат, что и в случае бесконечной цепочки, но есть отличие.
От зон отщепляется по одному уровню,
Естественно приписать состояния орбиталям атомов, находящихся на концах цепочки и не участвующим в связи, т.е. оборванным или болтающимся связям.
Их волновые функции |
Экспоненциально затухают |
|||
локализованы на поверхности |
||||
при удалении от края цепочки |
||||
|
|
|||
|
|
|
||
|
Поверхностные состояния Шокли |
|
||
Возникают, когда имеется по крайней мере две энергетические зоны, расположенные на небольшом расстоянии друг от друга.
Очень чувствительны к изменению потенциала и легко смещаются к границам зон разрешенных состояний, что приводит к делокализации электронов и исчезновению
Существенно, что изменения |
Отличие ПС-Шокли |
|
потенциала на поверхности для |
||
от ПС-Тамма |
||
их возникновения не требуется |
||
|
ПС-Тамма только в том случае, когда отдельные зоны разрешенных состояний находятся далеко друг от друга и когда имеется существенное изменение потенциала на поверхности
На реальной поверхности – |
Изменение потенциала, изменение связей |
дефекты, дислокации, |
Результат - изменение энергии уровней ПС, |
адсорбированные частицы |
их появление или исчезновение |
3.4. Поверхностные состояния. Приближение почти свободных электронов
Локализация электронов около ионного остова или на связи между атомами не является обязательным условием существования ПС
Металл в области z ≤ z0
Уравнение Шредингера в одномерном случае |
|
||||||||
|
1 d2 |
|
атомные |
h = m = e =1 |
|||||
[− 2 |
|
+ U(z)]ψ (z) = εψ (z) |
единицы |
|
|||||
dz2 |
|
||||||||
|
Вариации U(z) малы |
|
|
Разложение в ряд Фурье |
|||||
|
g = 2πn |
|
|
|
по векторам обратной решетки g |
||||
|
n = 1,2,3K |
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выберем отсчет энергии так, чтобы U0=0.
Отсутствие возмущения : Ug=0 |
Волновая функция - плоская волна |
,
k - волновое число
Из теории слабых возмущений
Решение справедливо, если k далеко от плоскости 
брегговского отражения
В 1D - случае
величина ± π a , ± 2π a , ± 3π a далека от значений
При k→π/a |
Знаменатель |
Преобладает второй член, что |
|
не справедливо. |
противоречит приближению |
||
мал |
|||
|
о слабом возмущении |
||
|
|
Необходимо использовать вырожденную теорию возмущения
e−ikz
ψ k=c1eikz+c2ei(k − g)z
é |
1 |
d |
2 |
ù |
|
ê- |
|
|
+U g eigz +U g e- igzú(с1 eikz + с2 |
||
2 |
|
|
2 |
||
ê |
dz |
ú |
|||
ë |
|
|
û |
||
1 c k2 eikz + |
1 c |
2 |
(k − g)2 ei(k − g)z + U |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
= |
(c1eikz + c |
ei(k − g)z)ε |
||
eiè k - g |
ø z)= ε (с1 eikz + с2 |
eiè k - g |
ø z) |
æ |
ö |
æ |
ö |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
g (c1ei(k + g)z + c1ei(k − g)z + c2 eikz + c2 ei(k − 2g)z)=
Умножаем на |
e−ikz |
Интегрируем по пространству |
||||||||
Затем на |
e−i( k − g)z |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
После сокращения на объем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Секулярные уравнения
Система имеет решение, если определитель равен нулю
æ |
1 |
k |
2 |
öæ |
1 |
(k - g) |
2 |
ö |
2 |
|
|
ç |
2 |
|
- ε÷ç |
|
|
- ε÷ |
- U g = 0 |
||||
è |
|
|
øè 2 |
|
|
ø |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На границе зоны kгран=p/a
Запрещенная зона 2½Ug½.
Собственные волновые функции на границе
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
æ |
2π |
2 |
|
|
|
|
ö |
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ε ± = |
ç |
|
|
± 4 |
|
U g |
|
÷ |
= |
|
± |
U g |
|||||
4 |
ç |
a2 |
|
|
÷ |
2a2 |
|||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ε |
± |
= |
|
гран |
± |
U |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
с2 |
|
1 kгран2 |
−ε± |
|
|
− (± |
|
U |
g |
|
) |
|
|
|
|
U |
g |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= − |
2 |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ± |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
с |
|
|
|
U |
g |
|
|
|
|
U |
g |
|
|
|
|
|
|
U |
g |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
æ |
π |
ö |
|
|
Ug |
|
|
|
|
æ |
π ö |
ö |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
iç ÷z |
|
|
|
|
|
-iç ÷z |
|
|
|
||||||||||||||
ψ |
|
( z ) = c |
çe è |
a ø |
± |
|
|
e |
|
è |
a ø |
÷ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
± |
|
|
|
1 |
ç |
|
|
|
|
|
|
Ug |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|||||||
|
|
|
æ |
æ |
π ö |
|
|
|
U |
|
|
|
æ |
π ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
iç ÷z |
|
|
|
g |
|
|
-iç ÷z ö |
|||||
ψ |
|
( z ) = c |
çe è |
a ø |
± |
|
|
|
|
e |
è |
a ø |
÷ |
||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
± |
1 |
ç |
|
|
|
|
Ug |
|
|
|
|
÷ |
||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|||
Ug<0
ψ − ( z )− косинус 
Стоячие волны
Электронная плотность концентрируется |
s-характер |
|
в местах расположения ионных остовов, |
||
|
||
узел в середине между атомами |
|
ψ + ( z )− синус |
Узел в центре атома |
р-характер |
В нормальном случае волновая функция, соответствующая нижнему энергетическому состоянию четна, а верхнего - нечетна.
Ug>0 |
Ситуация меняется на противоположную |
Волновая функция нижнего состояния ~ синусу, верхнего - косинусу. Инверсная
зонная структура
Бесконечный |
Только |
Иначе ψ(z) →∞ |
|
кристалл |
вещественные k |
||
|
|||
Конечный |
? – может ли k быть комплексным |
||
|
кристалл |
|
|
Реальность энергии |
|
Физически разумный результат |
|||||
|
|||||
|
|
|
|
Ограниченность ψ |
|
|
π |
− iξ |
|
||
|
Положим k = a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
ì |
|
π |
|
ö |
2 |
æπ |
|
ö |
2 |
|
|
é |
π |
|
|
ö |
2 |
|
æ |
π |
|
ö |
2 |
ù |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ε = |
ïæ |
- iξ |
|
|
|
± |
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
ú |
+16U |
2 |
ï |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ç |
|
÷ |
|
+ ç |
+ iξ ÷ |
|
êç |
|
- iξ ÷ |
|
|
- ç |
|
+ iξ ÷ |
|
|
ý |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
í |
|
|
|
ø |
|
|
è a |
|
ø |
|
|
|
êè a |
|
|
ø |
|
|
|
|
è a |
|
ø |
|
ú |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
è a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2π |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
π |
2 |
2 |
|
π |
|
|
|
ξ |
|
|
|
2 |
|
π |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
|
í |
|
|
|
|
- 2ξ |
|
|
± |
16U g |
-16 |
|
|
ξ |
|
ý |
= |
|
|
|
|
|
- |
|
|
± U g |
- |
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
a 2 |
|
|
a 2 |
|
2a 2 |
|
2 |
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
î |
|
|
|
Энергия вещественна |
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
≤ |
a |
|
Ug |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
π 2 |
|
ξ |
2 |
|
Ug2 − |
π 2 |
ξ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
π 2 |
|
ξ 2 |
ö |
π 2 |
|
|||||
|
ε = |
|
|
|
− |
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
ε - |
|
+ |
|
÷ |
= Ug2 - |
|
ξ 2 |
||||
|
2a2 |
2 |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a2 |
2 |
a2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|||||||||
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
π |
2 |
ö |
|
|
π |
2 |
ö |
2 |
|
é |
|
|
π |
2 |
ö |
2 |
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ξ 2 |
|
ï |
ε |
|
|
|
æε |
|
|
|
|
êæ |
ε |
|
|
|
2 |
ú |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= 2í-ç |
+ |
|
|
|
÷ ± |
+ |
|
|
|
÷ |
|
- |
- |
|
|
÷ |
|
- Ug |
ý |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ï |
è |
|
|
|
2a2 |
ø |
è |
|
2a2 |
ø |
|
|
êè |
|
|
2a2 |
ø |
|
|
ú |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
û |
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ - реальная величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перед корнем плюс |
|
|||||||||||||||||
ξ не может иметь любой знак
ψ k=c1eikz+c2ei(k − g)z
|
|
æ π |
ξ |
ö |
æ π |
ξ |
2π ö |
æ |
π |
|
|
π ö |
|
|
iç |
-i |
÷z |
iç |
-i - |
÷z |
|
+ c e-i a z ÷ |
|||
ψ |
k |
= c e è a |
|
ø |
+ c e è a |
|
a ø |
= eξzçc ei a z |
||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
ç |
1 |
|
2 |
÷ |
|
|
|
ψ ограничена только если ξ>0è |
(z<0). |
|
ø |
|||||||
|
|
|
|
|
Волновая функция |
Наибольшее значение на |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
Затухает в объеме, тем быстрее, чем больше величина ξ.
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö 12 |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
æ |
|
|
2 |
ö |
2 |
||||
|
|
π |
2 |
|
|
|
ç |
π |
|
π |
|
÷ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
||||
На краях зоны |
ε± = |
|
|
|
± Ug |
ξ± = 2ç- |
a |
2 |
m U g + |
ç |
|
|
2 |
± U g ÷ |
|
÷ = 0 |
||
2a |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ç |
|
|
è a |
|
ø |
|
÷ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
||
ξ достигает максимального значения в запрещенной зоне ε*, соответствующее ξmax,
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2π |
|
/ a |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
ç |
-1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
Ug2 + |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
æ dξ ö |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
ε * ÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 0 |
= |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö12 |
|
|
|
|
|
|
||||
è dε øε* |
|
æ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
2 |
|
|
2π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2ç |
- ε * |
- |
|
|
|
+ |
|
Ug |
+ |
|
2 |
ε *÷ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2a |
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Волновая функция максимальна на поверхности, быстро (экспоненциально) уменьшается при удалении от нее
Чем дальше по энергии отстоит поверхностное состояние от края разрешенной зоны, тем выше “скорость” этого затухания.
Найти волновую функцию в вакууме 
Добиться непрерывности функции и производной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Допустим, поверхность при z0=a/2 |
Инверсная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||
ξ + |
|
= − |
сtg(χ ) |
π/2≤χ≤ π. |
Возможно только |
|||||||
2(Uvac − ε ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
в случае Ug>0. |
зонная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
структура |
При Ug>0 волновая функция максимальна в промежутке между атомами.
Воздействие поверхности велико, вероятно образование разрешенного состояния в запрещенной зоне
Поверхностное состояние Шокли
z0=0
Ситуация противоположна описанной выше.
ξ + |
|
= |
π tg(χ ) |
|
2(Uvac − ε ) |
0≤ χ ≤ π/2. |
|||
|
|
|
a |
|
Поверхностные состояния возможны при Ug<0.
Поверхностные состояния Тамма
3.5.Поверхностные состояния, связанные
ссилами зеркального изображения
Движение ограничено и справа и слева
ψ1 ~ eikz
При отражении фаза изменяется на φВ, амплитуда на ρВ
ψ 2 ~ ρBei[ φB +k( L+ L− z )]
На другой границе при отражении фаза изменяется на φС, амплитуда на ρС
ψ 3 ~ ρB ρCe |
i[ φB +φC +k( 2L+ z )] |
|
|
|
|
|||
|
2 |
ρCe |
i[ 2φB +φC +k( 4L− z )] |
|||||
|
|
ψ 4 ~ ρB |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
i[ 2φB +2φC +k( 4L+ z )] |
|
|
|
|
|
|
ψ 5 ~ ρB |
ρCe |
|
|
|
|
|
|
ψ = åψ i ~ eikz + ρBei[φB +k (L+L−z)] + ρB ρC ei[φB +φC +k (2L+z)] + i
ρB2 ρC ei[2φB +φC +k (4L−z)] + ρB2 ρC2 ei[2φB +2φC +k (4L+z)] +K
ψ = åψ i ~ eikz + ρBei[φB +k (L+L−z)] + ρB ρC ei[φB +φC +k (2L+z)] + i
ρB2 ρC ei[2φB +φC +k (4L−z)] + ρB2 ρC2 ei[2φB +2φC +k (4L+z)] +K
ψ ~ (eikz + ρBei[ φB +2kL ]e−ikz )[1+ ρB ρCei[ φB +φC +2kL ] + ρB2 ρC2ei[ 2φB +2φC +4kL ] + K]
∞
ψ ~ (eikz + ρBei[ φB +2kL ]e−ikz )åρBm ρCmei[ 2φB +2φC +4kL ] m=0
Нормировка приведет к нулевой волновой функции кроме случая, когда знаменатель равен нулю.
n – квантовое число
a = |
1 |
æ |
φ |
ö |
|
2 |
ç1- |
C |
÷ |
квантовый дефект |
|
|
è |
|
π ø |
ПС Тамма и Шокли |
|
ПС СЗИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Локализованы вне |
|
Локализованы в |
|||
|
твердого тела |
||
твердом теле |
|
||
|
|
||
|
|
|
