5.5.Электропроводность тонких сплошных пленок
При увеличении толщины пленка |
Механизм электропроводности близок к |
становится сплошной |
существующему в объемных материалах |
Но - удельное сопротивление значительно больше, чем у объемных материалов.
В пленках с толщинами, сравнимыми с длиной свободного пробега, важно рассеяние электронов на поверхности.
Размерный эффект
Количественно решение дано Чемберсом на основе кинетического уравнения Больцмана
Функция распределения электронов
f ( v,r,t ) |
Число электронов в момент времени t в объеме |
r,r + dr |
имеющих скорость в интервале v,v + dv |
|
|
|
|
Кинетическое уравнение Больцмана
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F и H – напряженности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электрического и магнитного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f |
|
|
|
|
|
Изменение распределения со временем |
|||||
|
∂t |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Изменение числа частиц в данном элементе объема за счет |
||||||
|
vÑr |
f |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
прихода из окружающих областей |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
e æ |
v´ H ö |
|
|
|
|
За счет изменения скорости под действием |
||||||
|
çF + |
|
÷ |
×Ñv f |
|
|
||||||
|
c |
|
|
|||||||||
m è |
ø |
|
|
|
|
сил со стороны внешних полей. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Справа находится величина, отражающая изменение функции распределения за счет рассеяния
В стационарном случае устанавливается |
∂f |
= 0 |
стабильное значение функции распределения |
∂t |
|
Допустим |
Толщина пленка 2d << L |
|
Магнитное поле отсутствует (Н=0) |
|
Электрическое поле однородно |
и действует вдоль оси х (F≡Fx)
Отклонение f от равновесной функции распределения f0, соответствующей отсутствию внешних полей, не велико.
Удобно искать в виде 
f = f0 + f1, 
f1 - отклонение функции распределения от равновесия
Приближение времени релаксации
∂ f |
|
|
= |
∂ ( f0 + f1 ) |
|
= |
∂ f1 |
|
|
≡ − |
f1 |
τ- время релаксации, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
считается константой |
|||||||
∂ t |
|
|
|
|
|
τ |
||||||
|
столк |
|
∂ t |
|
столк |
∂ t |
|
столк |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶f |
|
e æ |
v´ H ö |
|
¶f |
|
|
|
|
|
|
||
|
= -vÑr f + |
|
çF + |
|
÷ |
×Ñv f + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
¶t |
|
m è |
c |
ø |
|
¶t |
|
столкн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Физический смысл t можно установить рассматривая процесс установления статистического равновесия
Пусть имеем однородную систему с установившимся в некотором внешнем поле распределением электронов (f ¹ f0)
Выключим поле в момент t = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Система однородна |
Ñr f = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Уравнение Больцмана |
|
∂ f |
= |
∂ f |
|
≡ − |
f − f0 |
|
||||
|
|
|||||||||||
|
∂ t |
∂ t |
|
τ |
||||||||
f - f0 = (f - f0 ) |
|
t =0 e− |
t |
|
|
|
|
|
столкн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
τ |
τ- время, характеризующее скорость |
||||||||||
|
||||||||||||
возвращения системы к состоянию равновесия
|
e |
F |
∂ f0 = v |
|
∂ f1 |
+ |
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x ∂ vx |
|
|
|
|
|
z |
∂ z |
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ f0 |
|
|
|
∂ f1 |
|
|
f1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
∂ f |
|
|
|
∂ε |
|
∂ |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ f |
|
|
|
|
eF v |
= v |
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
= mvx |
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
x ∂ ε |
|
|
z ∂ z |
|
|
τ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∂ vx |
|
∂ ε |
|
∂ ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
∂ vx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
z |
ö |
|
|||||||||||||||
Умножим левую и правую части на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
expç |
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂ |
f0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
é |
|
æ |
z |
öù |
|
∂ |
é |
|
|
æ |
|
z |
öù |
|
|
|
|
è |
τ vz ø |
|
|||||||||
eFx vx |
|
|
|
|
τ |
vz |
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
= vz |
ê f1 |
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∂ ε |
|
|
|
|
|
|
|
êexpç |
|
÷ú |
|
expç |
|
|
÷ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ z ë |
|
è |
τ vz øû |
|
∂ z ë |
|
èτ vz |
øû |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ f0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
é |
æ |
|
z |
öù |
|
|
∂ é |
|
|
æ |
|
z |
öù |
||||||||
f = -eF v |
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f11 |
|
|
êexpç |
|
|
÷ú |
= |
|
|
ê f1 expç |
|
|
÷ú |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
x |
|
x |
|
∂ ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ z |
ë |
ç |
τ vz |
÷ |
|
|
∂ z ë |
|
|
ç |
|
|
÷ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
øû |
|
|
|
|
è |
τ vz øû |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
z |
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
- |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= f11 + C expç |
τ vz |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Граничное условие Фукса |
|
|
Параметр Фукса |
Связывает отклонение от равновесного |
|
0 ≤≤1 |
распределения падающих на поверхность |
|
электронов с отклонением отходящих от нее |
||
|
(
(
Дефекты атомарного строения поверхности (разупорядочение атомов, адсорбированные частицы, ступени, вакансии и т.д.);
Рассеяние на фононах
Рассеяние на локализованных зарядах
Рассеяние на градиенте заряда, появляющемся вследствие наличия поверхностных состояний, вследствие того, что у поверхности движется больше электронов, чем в объеме
Рассеяние, связанное с геометрической шероховатостью.
Теория расчета (ϑ) сложна и неубедительна, поскольку распределение центров рассеяния носит случайный характер
Иногда предлагают |
=1 для электронов, падающих |
|
под скользящими углами |
||
|
||
|
и =0 в остальных случаях. |
Особенно сложен учет рассеяния на неровностях поверхности