http://profbeckman.narod.ru/

22.10 Многомерные нерегулярные аттракторы

Многомерные странные аттракторы часто обнаруживаются в системах с большим числом степеней свободы. Среди возможных механизмов, объясняющих существование многомерных странных аттракторов выделяются следующие: 1) в многомерном фазовом пространстве в докритической ситуации существуют непритягивающее стохастическое множество и маломерный странный аттрактор. В момент бифуркации маломерный аттрактор перестаёт быть таковым, а бывшее непритягивающим стохастическое множество высокой размерности вливается в возникший скачком многомерный аттрактор; 2) при изменении параметров в аттракторе происходит постепенная непрерывная перестройка его структуры, при которой размерность аттрактора монотонно увеличивается. Здесь можно выделить два случая: а) при изменении параметра в аттракторе рождаются седловые траектории со всё большим числом неустойчивых направлений; б) число неустойчивых направлений сохраняется, но возрастает скорость разбегания траекторий вдоль этих направлений.

Гиперболические и псевдогиперболические аттракторы многомерных отображений, являются настоящими странными аттракторами, однако, допускают существование гомоклинических касаний.

22.11Дикие аттракторы

Впространстве n4 cуществует класс динамических систем, содержащих дикое гиперболическое множество (дикий аттрактор).

Дикие гиперболические множества (Ньюхаус) – равномерно гиперболические множества, устойчивое и неустойчивое многообразия которых имеют квадратичное касание, неустранимое посредством малых гладких возмущений. Индивидуальные гомоклинические касания исчезают при слабых шевелениях системы, но в целом избавиться от них таким образом нельзя, поскольку неизбежно возникают новые касания.

Дикий гиперболический аттрактор (wild attractor) – аттрактор, допускающий гомоклинические касания, но не содержат устойчивых периодических траекторий, которые не появляются также и при возмущениях. Дикие гиперболические аттракторы относят к "настоящим" странным аттракторам, к которым ранее приписывали лишь гиперболические и квазигиперболические (Лоренц) аттракторы.

Дикий аттрактор содержит нетривиальное базисное гиперболическое множество вместе с его неустойчивым многообразием, которое при этом имеет точки нетрансверсального пересечения с устойчивым многообразием. Наличие дикого множества обуславливает весьма нетривиальное поведение траекторий. Дикий аттрактор может содержать периодические траектории с негрубыми гомоклиническими кривыми, причём порядок касания устойчивого и неустойчивого многообразия вдоль гомоклинической кривой может быть произвольно велик. Полное описание динамики и бифуркаций такого аттрактора невозможно ни в каком конечно-параметрическом семействе. Он может содержать негрубые периодические траектории произвольно высоких порядков вырождения; в нём могут одновременно существовать периодические траектории с различными размерностями неустойчивых многообразий.

Теория дикого аттрактора близка к геометрической модели аттрактора Лоренца с той разницей, что она существенно нетрёхмерна и здесь состояние равновесия не седло, а седло-фокус.