http://profbeckman.narod.ru/

22. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ АТТРАКТОРЫ

22.1 Хаос в консервативных и диссипативных системах

Ещё недавно, разграничение динамических систем с точки зрения их возможного хаотического поведения проводилось довольно чётко.

1) Консервативные (гамильтоновы) системы (сохранение энергии, постоянство объёма фазового пространства при эволюции, подчинение теореме Лиувилля), в которых может наблюдаться полный статистический беспорядок, и в которых в поисках порядка не на что опереться (нет притягивающих областей в фазовом пространстве, нет аттракторов). Гамильтонова система с разделённым фазовым пространством в целом проявляет перемежающий динамический режим: вслед за хаотическим поведением в течение продолжительного времени наблюдается почти регулярная динамика. Примеры: рассеяние материальных частиц на шариках, рассеивающие бильярды (бильярд Синая), ротатор, испытывающий периодические толчки, паутина Арнольда, отображение пекарь, кот Арнольда и др.

2) Диссипативные (негамильтоновы) системы (рассеяние энергии, сильная неравновесность, неустойчивые состояния, сжатие элемента в фазовом пространстве: при итерациях отображения первоначальный объём, занимаемый облаком фазовых точек, уменьшается, в результате при t), – системы, все фазовые траектории которых сходятся к некоторому подмножеству нулевого фазового объёма. В диссипативной системе существует притягивающее множество – аттрактор, соответствующий установившему динамическому режиму системы. Он может быть регулярным, нерегулярным, странным, хаотическим или диким, фрактальным или эвклидовым, даже квазиаттрактором, но важно, что он вообще есть, его наличие позволяет с грехом пополам, но за порядком всё же как-то следить. Поэтому диссипативная система может переходить

вупорядоченное состояние в результате неустойчивости предыдущего неупорядоченного состояния. Первоначально устойчивая диссипативная структура в процессе своей эволюции достигает критического состояния, отвечающего порогу устойчивости структуры, начинает осциллировать, а возникающие в ней флуктуации приводят к самоорганизации новой, более устойчивой структуры на данном иерархическом уровне эволюции. В диссипативных системах на определенном для каждой системы удалении от состояния равновесия флуктуации вместо того, чтобы затухать (как в равновесных системах), наоборот усиливаются и завладевают всей системой, вынуждая ее эволюционировать к новому режиму. Величины флуктуаций резко увеличиваются вблизи точек бифуркации по сравнению с неравновесными состояниями, далекими от точек бифуркаций, и тем более по сравнению с равновесными состояниями. Гигантские флуктуации, чередуясь, создают впечатление хаоса, но на самом истинным хаосом (в смысле полного беспорядка) не являются. Диссипативная система дифференциальных уравнений может иметь как конечное, так и бесконечное число различных аттракторов. Все начальные точки в фазовом пространстве, кроме множества меры нуль, лежат в области притяжения одного из них.

Однако такая классификация начала размываться, поскольку было обнаружено, что

внекоторых системах наблюдается переход от диссипативной к консервативной динамике при непрерывном изменении управляющего параметра, причём при приближении к консервативному случаю возникает поведение, демонстрирующее черты как консервативной, так и диссипативной динамики („почти консервативное“ поведение). Пример: отображение Икеды. Оказалось, что многие черты рождения хаоса у консервативных и динамических являются общими.

Следует помнить, что в нелинейной динамике рассматривается не классический (статистический) хаос, а детерминированный хаос. Такой хаос может быть ложным

http://profbeckman.narod.ru/

хаосом. Примерами являются преображение Пуассона, кот Арнольда и т.п, когда исходный порядок вновь возникает из хаоса и снова исчезает в нём.

Рис. 1. Аттракторы – это геометрические структуры, характеризующие поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Аттракторы показаны синим цветом, а начальные состояния — красным. Траектории, выйдя из начальных состояний, в конце концов приближаются к аттракторам. Самый простой тип аттрактора — неподвижная точка (вверху слева). Более сложный аттрактор — предельный цикл (вверху в центре), который имеет форму замкнутой петли в фазовом пространстве (устойчивые колебания). Сложному колебанию, или квазипериодическому движению, соответствует аттрактор в форме тора (вверху справа). Все три аттрактора предсказуемы: их поведение можно прогнозировать с любой точностью. Хаотические аттракторы соответствуют непредсказуемому движению и имеют более сложную геометрическую форму. Три примера хаотических аттракторов изображены в нижнем ряду; они получены (слева направо) Э. Лоренцем, О. Рёсслером и Р.Шоу) соответственно путём решения простых систем дифференциальных уравнений с трёхмерным фазовым пространством.

Динамический хаос, как и любой другой случайный процесс, требует статистического описания. Обычно рассчитываются вероятностные характеристики: стационарное распределение вероятности по аттрактору, корреляционные функции, спектры мощности и другие. Хаотические колебания системы с хаотическим аттрактором имеют разные статистические свойства и различную чувствительность к воздействию шума.

Физическое проявление детерминированного хаоса - поведение системы, при котором ее хаотические траектории становятся неотличимыми от некоторого случайного процесса. Это отображает соответствие между решениями стохастического и детерминированных уравнений. Однако динамика хаотических систем не является полностью случайной. В основе хаотичности лежит экспоненциальная неустойчивость. При этом, для того, чтобы система обладала хаотическим поведением (т.е. имела чувствительную зависимость от начальных условий), необходима только неустойчивость, фигурирующая в определении гиперболичности. Но вовсе не обязательно, чтобы эта неустойчивость была одинаковой для всех траекторий. Более того, для различных траекторий количество неустойчивых направлений может быть разным. Так устроены, например, аттракторы типа Лоренца, которые не разрушаются при малых возмущениях.

Среди гладких динамических систем гиперболическая динамика выделяется наличием расширяющихся и сплющивающих направлений производной. При итерации наличие этих направлений создает экспоненциальное разбегание орбит. Растяжение и сгибание (пример: подкова Смейла, которая содержит нетривиально гиперболическое множество) приводит к сложному поведению таких систем. Динамика во многих отношениях случайна, хотя эти системы полностью детерминированы. Теория

http://profbeckman.narod.ru/

гиперболических динамических систем обеспечивает строгую математическую основу явления, известного как детерминированный хаос – появление хаотических движений в чисто детерминированных динамических системах. Причиной для этих движений является неустойчивость траекторий, выражаемая в терминах условий гиперболичности.

Гиперболическое множество - компактное инвариантное множество Λ диффеоморфизма f такое, что касательное пространство в каждом x Λ допускает инвариантное расщепление, которое удовлетворяет условиям сжатия и расширения.

В диссипативных системах объём облака изображающих точек убывает и оно оседает на аттрактор (или на несколько аттракторов). Хаос имеет место при наличии повторяющихся преобразований, включающих растяжение и сплющивание облака изображающих точек, что обеспечивает перемешивающий характер динамики. Гиперболический хаос будет реализоваться, если такая эволюция во времени происходит совершенным образом, без разрывов и образования локальных уплотнений.

Для диссипативных систем характерны такие множества, как устойчивые и неустойчивые стационарные точки и предельные циклы, многомерные притягивающие торы, соответствующие устойчивому квазипериодическому поведению с несоизмеримыми частотами, математический образ хаотических колебаний – нерегулярный аттрактор и др.

Классификация аттракторов тесно связана с классификацией хаоса, поскольку оказалось, что хаос хаосу рознь.

Детерминированный хаос должен удовлетворять целому комплексу требований: экспоненциальная неустойчивость, выполнение условия транзитивности, наличие некоторой регулярности – плотности периодических орбит (циклов). Условие транзитивности можно заменить условием топологического перемешивания, которое является более сильным. Преобразование, заданное на компактном множестве, определятся как хаотическое, если оно обладает чувствительной зависимостью от начальных условий и имеет плотные циклы. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то хаос хаосом не считается, какой бы бардак не царил в системе.

Хаотическая (сложная) система – должна удовлетворяет критериям:

–система должна быть детерминированной: нет «случайных» или внешних факторов, влияющих на поведение системы;

–система должна быть чувствительной к начальным условиям: траектории, которые начинаются близко друг к другу, со временем должны разделиться со все большей скоростью;

–система должна быть «апериодической»: должны существовать траектории, которые не располагаются до фиксированных точек или фиксированных предельных циклов.

Периодическая динамическая система – система, в которой имеет место оседание на устойчивое состояние или последовательность состояний; в апериодической системе нет оседания на устойчивое состояние или на устойчивую последовательности состояний.

Хорошо изученным классом динамических систем с хаотическим поведением являются системы с гиперболическими хаотическими аттракторами. К гиперболическим множествам относятся также инвариантные множества в окрестности гомоклинических и гетероклинических траекторий. Такие траектории, открытые Пуанкаре при изучении задачи N тел, встречаются как в консервативных, так и диссипавтивных системах. С гомоклиническими и гетероклиническими сплетениями тесно связана подкова Смейла.

В качестве особого класса систем со структурно устойчивым хаосом выступают системы Аносова. В этих системах фазовое пространство целиком представляет собой гиперболическое инвариантное множество, и все траектории являются седловыми. Данное отображение является консервативной системой и, следовательно, аттракторов для него не существует. Примеры: отображение Фибоначчи и «кот Арнольда».

http://profbeckman.narod.ru/

Диффеоморфизмы Аносова – класс отображений с хаотической динамикой, динамика которых устойчива относительно малых возмущений.

Диффеоморфизм – отображение определённого типа между гладкими многообразиями.

Свойство гиперболичности служит основой для построения теории У-систем Амосова.

Системы Аносова – специальный класс систем со структурно-устойчивым хаосом, у которых все фазовое пространство представляет собой гиперболическое инвариантное множество, составленное из траекторий седлового типа, причем типичная траектория посещает плотное во всем фазовом пространстве множество точек.

22.2 Регулярные и хаотические аттракторы

Глобальный аттрактор – наименьшее замкнутое подмножество, притягивающее большинство точек фазового пространства.

Важный класс систем со структурно-устойчивым хаосом – это диссипативные системы, у которых гиперболическая хаотическая динамика имеет место на вложенном в фазовое пространство притягивающем инвариантном множестве, представляющем собой однородно гиперболический аттрактор. Примеры: соленоид Смейла–Вильямса и аттрактор Плыкина, и в каком-то смысле аттрактор Белых и аттрактор Лози. Аттрактор Лоренца и аттрактор Эно не относятся к гиперболическому типу: аттрактор Лоренца является негрубым, а для аттрактора Эно доказаны транзитивность и чувствительная зависимость от начальных условий.

Гиперболический аттрактор - аттрактор, в котором все траектории, принадлежащие аттрактору, седловые. Это аттрактор с изолирующей окрестностью (устойчив по Ляпунову). Хаотическая природа динамики на таких аттракторах математически строго обоснована.

Однородно гиперболический аттрактор – притягивающий объект в фазовом пространстве диссипативной системы, составленный исключительно из седловых гиперболических траекторий. Фазовую траекторию называют гиперболической, если для каждой её точки в векторном пространстве всевозможных бесконечно малых возмущений можно определить подпространство векторов, норма которых становится экспоненциально малой при эволюции в прямом времени, и подпространство векторов, норма которых становится экспоненциально малой при эволюции в обратном времени. На однородно гиперболическом аттракторе многообразия всех траекторий обязаны быть одной размерности. Устойчивые и неустойчивые многообразия не должны иметь касаний, а пересечения допускаются только под нулевым углом (трансверсально). Эти аттракторы обладают сильными хаотическими свойствами и допускают подробный математический анализ. Однородно гиперболический аттрактор груб и структурно устойчив: малые возмущения не могут привести к качественным перестройкам как самого аттрактора, так и поведения систем в целом. Динамические модели с гиперболическим типом аттрактора

являются моделями структурно устойчивых систем с наиболее выраженными хаотическими свойствами.

Рис. 2. Устройство окрестности гиперболической (седловой) траектории.

В гиперболическом аттракторе все его траектории седловые (рис. 2). Возьмем любую траекторию на аттракторе и рассмотрим всевозможные близкие к ней возмущенные траектории. В линейном приближении среди них

выделяется класс траекторий (1), которые приближаются к исходной, причем в среднем по экспоненте, и класс траекторий (2), приближающихся к исходной в обратном времени,

http://profbeckman.narod.ru/

тоже в среднем по экспоненте. Любой из множества возмущенных траекторий сопоставляется элемент линейного векторного пространства (касательное пространство), причем все множество исчерпывается всевозможными суперпозициями векторов, ассоциирующихся с возмущениями класса 1 и 2. Так должна быть устроена окрестность у всех принадлежащих аттрактору траекторий.

Диссипативная система может обладать как аттрактором, так и репеллером (регулярным или нерегулярным). В ходе её эволюции объём фазовой капли неограниченно уменьшается – капля сжимается к аттрактору. Однако сам аттрактор, имея нулевую меру в исходном фазовом пространстве, может оказаться нетривиальным множеством, движение на котором является стохастическим. Это значит, что: 1) на таком аттракторе движение является локально неустойчивым и для него может быть введена К- энтропия и 2) это движение обладает свойствами эргодичности и перемешивания.

Развитию теории динамического хаоса послужило открытие (Смейл, 1960) грубого бесконечного множества неблуждающих траекторий, означавшее возможность существования хаотических колебаний в диссипативных детерминированных системах. Теория динамического хаоса исследует механизм непредсказуемых (случайных) явлений. Такой хаос возникает, длится конечное время и затем исчезает. Именно на стадии хаоса (точнее, при выходе из него) возникает новая ценная информация. В этой стадии существует момент, когда генерация ценной информации наиболее эффективна. Промежуточная хаотическая стадия называется перемешивающий слой.

Хаос возможен как стационарный режим динамики диссипативных систем. Речь идёт о стационарности в статистическом смысле: постоянны лишь усредненные за достаточно большой интервал времени статистические характеристики динамики. Это двумерные и трёхмерные модельные отображения, в фазовом пространстве которых имеется притягивающее множество сложной структуры – нерегулярный аттрактор (ранее его называли странным хаотическим аттрактором, но теперь понятия странный аттрактор и хаотический аттрактор разошлись, поскольку странный аттрактор вполне может быть нехаотическим, а нерегулярный аттрактор может быть странным, нестранным, диким, фрактальным или нефрактальным).

Замечание. Если раньше понятия нерегулярный, странный, хаотический, стохастический и фрактальный аттракторы были синонимами, то теперь это - разные сущности, иногда – совершенно разные.

Напомним, что аттрактор – конечная стадия развития системы, когда её фазовая траектория перестает изменяться; это устойчивое состояние системы вдали от равновесия с пониженным уровнем энтропии. Это компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к этому множеству точек при времени, стремящемся к бесконечности. Если траектория прошла достаточно близко к аттрактору, то со временем она уже не покинет окрестность аттрактора и даже будет подходить к нему все ближе и ближе, т.е. будет наблюдаться эффект притяжения к аттрактору.

Как известно, существуют три классических типа движения: равновесие, периодическое движение (предельный цикл) и квазипериодическое движение. Эти состояния называются аттракторами, поскольку в присутствии какого-либо затухания переходные отклонения подавляются и система "притягивается" к одному из трёх перечисленных состояний. Аттракторы делят на регулярные и нерегулярные. Если понятие регулярного аттрактора относится к состоянию предельной иерархизации системы, то понятие странного аттрактора - к состоянию ее предельной деиерархизации.

Под аттракторами динамических систем с непрерывным (или дискретным) временем обычно понимают предельные множества траекторий, имеющие в фазовом пространстве область притяжения положительной лебеговой меры. К мере Синая- Рюэлля-Боуэна (инвариантной мере на аттракторе), к которой стремятся временные средние типичной начальной точки либо временные средние итераций меры Лебега.

http://profbeckman.narod.ru/

2)Сдвиг любого начального распределения вероятностей P0 на A сдвиг сходится к инвариантному распределению P на A при t , независимо от P0.

3)Распределение вероятности P подвержено смешению, т. е. функция автокорреляции стремится к нулю при t .

Замечание. Условие 3) исключает существование устойчивых точек.

Всякое предельное множество является стохастическим аттрактором. Для такого аттрактора свойства растяжения и сжатия на неустойчивых и устойчивых многообразиях соответственно являются грубыми, однако геометрическая картина и степень растяжения и сжатия в различных точках аттрактора может различаться. Такой аттрактор не содержит устойчивые траектории, и они не могут там появиться при малых возмущениях системы.

Примерами стохастических аттракторов являются как гиперболические, так и аттракторы типа Лоренца; они могут быть описаны в рамках эргодической теории. Небольшое случайное возмущение не влияет на подобные аттракторы, т.к. динамическая стохастичность доминирует над белым шумом. Понятие стохастичности предполагает, что система совершает финитное движение, причём в конечной области фазового пространства имеется локальная неустойчивость, позволяющая ввести понятие энтропии Колмогорова-Синая. Если в консервативной системе вследствие эргодичности и перемешивания траектория заполняет все фазовое пространство, то в стохастической системе траектория притягивается к некоторому множеству, являющемуся аттрактором, которое не только есть часть фазового пространства, но и может иметь нулевую меру. Стохастический аттрактор обладает как правило фрактальной, т.е. негладкой, сильно изломанной и к тому же самоподобной структурой. Такие аттракторы имеют фрактальную размерность. Однако известны стохастические аттракторы, которые никакой фрактальностью не обладают.

Важным классом нерегулярных аттракторов является странные аттракторы.

Странный аттрактор (Д.Рюэль и Ф.Такенс, 1971) – сложно устроенное множество, к которому в фазовом пространстве диссоциативной динамической системе притягиваются почти все траетории из некоторой окрестности этого множества, а на самом множестве движение имеет экспоненциально неустойчивый характер. Фазовые траектории имеют сложную и запутанную структуру и представляют собой незамкнутые кривые Сочетание глобального сжатия с локальной неустойчивостью приводит к тому, что аттрактор перестаёт быть гладким; он расслаивается, и часто представляет собой в некотором сечении канторово множество. Примеры: аттрактор Лоренца, аттрактор Рёсслера, соленоид Смейла-Вильямса и др.

Замечание. Раньше в понятие странного аттрактора входили термины хаотический и фрактальный. Теперь этого нет.

Рис. 3. Хаотические колебания частицы в системе со странным аттрактором: 1 – положения частицы; 2 – скорость частицы.

В осцилляторе со странным аттрактором происходят колебания, но никакой периодичности в них нет (рис. 3). Состояние частицы с положением х и скоростью х никогда не повторится. Поскольку расхождение траекторий растёт по экспоненте, то система весьма чувствительна к начальным условиям.

Если аттрактор хаотичен, то при небольшом воздействии, система перейдёт в состояние кардинально отличное от предыдущего (рис. 4). Хаотический аттрактор хаотичен, но всё же он аттрактор - притягивает траектории. Точка в фазовом пространстве может блуждать случайным образом, но всё же осядет на аттракторе. Отличие от регулярного аттрактора

http://profbeckman.narod.ru/

от странного состоит в том, что состояние после возмущения нельзя предсказать по состоянию до возмущения. Можно лишь ожидать, что точка окажется где-то на аттракторе, который занимает определённую область в фазовом пространстве.

Странный аттрактор заключают в себе ряд возможностей, при которых равновесие становится ограниченной областью с бесконечным множеством решений в пространстве. Часто структура странного аттрактора фрактальна. Траектория такого аттрактора в фазовом пространстве непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является «перемешивание» в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция. Странный аттрактор – это динамическая особенность,

которая приводит к апериодическому поведению. Это «мягкий» аттрактор предельного цикла, т.е. набор состояний, к которым система ограничена и притягательна. В отличие от предельного цикла странный аттрактор не является замкнутым циклом.

Рис. 4. Изменение колебаний при небольшом сбое.

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической; прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая

неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом, отличая его от стохастического хаоса, возникающего в стохастических динамических системах. Траектории странного аттрактора устойчивы по одним и неустойчивы по другим локальным координатам, они чувствительны к малым начальным возмущениям, быстро нарастающим во времени. Поскольку странный аттрактор сохраняет свои свойства и при малых деформациях динамической системы, он служит математическим образом динамического хаоса, представляющего собой стохастические колебания реальных детерминированных систем, моделируемых дифференциальными уравнениями и отображениями.

Непериодические (в том числе - странные) аттракторы появляются в трёхмерном (и более высоком) пространстве состояний. Как и в случае регулярного, у странного аттрактора происходит сжатие фазового объёма диссипативной динамической системы, приводящее к тому, что фазовые траектории с течением времени стягиваются к предельному множеству – странному аттрактору – и, попав в область, занятую им, остаются в ней навсегда. При этом на самом аттракторе движение является неустойчивым. Поведение системы со странным аттрактором характеризуется сочетанием глобального сжатия фазового объёма с локальной неустойчивостью фазовых траекторий. Фазовые траектории странного аттрактора очень чувствительны к начальным данным. Сочетание сильной зависимости от начальных данных с приближённым их значением обусловливает невозможность точных долговременных прогнозов относительно эволюции систем со странным аттрактором. Разделение близлежащих орбит является основным механизмом, который делает невозможным точное предсказание будущего хода хаотических орбит, за исключением короткого пробега. С другой стороны, поскольку хаотический аттрактор - это ограниченный объект, разложение, характеризующее его орбиты, должно

http://profbeckman.narod.ru/

сопровождаться «складывающимся» действием, которое не позволяет им уйти в бесконечность. Одновременное растяжение и складывание орбит - отличительная черта хаоса; она лежит в основе как сложности его динамики, так и «странности» ее геометрии.

Странные аттракторы имеют структурой орбиты более сложные, чем у периодических или квазипериодических систем. В отличие от регулярного, странный аттрактор не является многообразием (т. е. не является кривой или поверхностью); его геометрическое устройство очень сложно, а его структура может быть (а может и не быть) фрактальной. Тот факт, что все траектории, расположенные в окрестности странного аттрактора, притягиваются к нему при t , связан с характером неустойчивостей составляющих его траекторий, которые неустойчивы по одним и устойчивы (притягивающи) по другим направлениям (т. е. являются седловыми). Траектории странного аттрактора описывают стационарные стохастические автоколебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счёт энергии внешнего источника. При состояниях системы, характеризуемых странным аттрактором, невозможно определить положение частиц (их поведение) в каждый данный момент, хотя они находятся в зоне аттрактора. Фазовый портрет странного аттрактора – это не точка и не предельный цикл, как это имело место для устойчивых, равновесных систем, а некоторая область, по которой происходят случайные блуждания. При наличии странных аттракторов, траектории системы совершают произвольные и не поддающиеся регулярному описанию блуждания внутри определенной области. Странный аттрактор привлекает хаос. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют

динамическим хаосом, отличая его от стохастического хаоса, возникающего в стохастических динамических системах.

Свойства странного аттрактора связаны с чувствительной зависимостью от начальных условий (любые две первоначально близкие траектории на аттракторе в конце концов расходятся, причём расхождение траекторий (усредненное по коротким интервалам времени) возрастает со временем экспоненциально). Для него характерно обращение в нуль автокорреляционной функции, широкополосный спектр Фурье и внутренняя непредсказуемость системы. Малейшая ошибка или неточность в задании начального условия не позволяет определить, по какой траектории пойдет эволюция системы, и вынуждает ограничиться статистическим предсказанием долговременного будущего системы. Отсюда следует нетривиальный вывод о непредсказуемости поведения некоторых детерминированных потоков всего лишь с тремя степенями свободы!

Со странным аттрактором связана реализация нерегулярного (в смысле отсутствия периодичности) колебательного режима, который во многом сходен со стационарными случайными процессами. Случайное движение непредсказуемо либо предсказуемо с определенной вероятностью, т.е. траектории случайного движения нельзя многократно и однозначно воспроизвести ни в численном, ни в физическом эксперименте. Пример - движение броуновской частицы. В случае странного аттрактора имеется строгая предсказуемость в смысле детерминированности закона эволюции. Решение уравнений (как и для регулярных аттракторов) подчиняется теореме единственности и однозначно воспроизводится при фиксированных начальных условиях. Поэтому для обозначения сложных "шумоподобных" автоколебаний, математическим образом которых служит странный аттрактор, используются термины типа динамическая стохастичность, детерминированный хаос и подобные. Важно отличать эти процессы от стохастических в классическом смысле, которые при описании требуют учета флуктуаций в исходных динамических уравнениях либо непосредственно подчиняются уравнениям для плотности распределения вероятностей статистической теории.

Странные аттракторы подразделяют на гиперболические (структура не меняется во всех точках интервала параметра, характеризующего деформации динамической системы), квазигиперболические (сингулярно-гиперболические, структура которых меняется только в точках бифуркаций, число которых счётное) и квазистранные