http://profbeckman.narod.ru/
Например, в системе Эно имеет место чередующаяся картина смены регулярных и странных аттракторов. Если гиперболические и квазигиперболические аттракторы не чувствительны к начальным условиям, то квазиаттракторы, наоборот, проявляют высокую чувствительность к изменению начальных условий. Система с квазиаттрактором в течение некоторого времени система ведет себя подобно стохастической системе, после чего ее траектория притягивается к регулярному (не стохастическому) аттрактору. Время, в течение которого это происходит, может быть очень большим. За такое большое время
наличие даже малых ошибок в вычислениях будет регулярно отбрасывать систему от простого аттрактора. Поэтому процесс редукции стохастической системы к регулярному движению может оказаться технически недостижимым.
Рис. 5. Структурно неустойчивая гомоклиническая орбита.
Термин квазиатрактор (квазистакастический аттрактор) обозначает предельное множество (не обязательно переходное), охватывающее периодические орбиты разных топологических типов. Это множество может быть структурно устойчивым (в
этом случае устойчивые периодические орбиты сосуществуют с гомоклинической структурой) или неустойчивыми из-за наличия гомоклинических касаний (рис. 5). Стабильные периодические орбиты в таком квазиаттракторе имеют большие периоды и очень узкие и извилистые бассейны. Поэтому при численном моделировании и в экспериментах стабильные периодические орбиты практически не наблюдаются, за исключением конечного числа окон устойчивости; в других отношениях квазиатракторы напоминают детерминированный хаос. Квазиатракторы встречаются в различных системах. Примеры: отображения Лоренца и Эно, системы со спиральным хаосом и др.
Квазигиперболические аттракторы в трехмерных дифференциальных системах, такие, как аттрактор Лоренца, аттрактор Шимицу-Мориока, относятся к аттракторам переключательного типа. Фазовая траектория хаотически переключается из окрестности одного седлового состояния равновесия к окрестности другого. Такие переключения сопровождаются случайными изменениями фазы даже в отсутствие шума. Если для аттрактора Лоренца шум практически не влияет на скорость релаксации, то в случае негиперболического аттрактора Лоренца шум оказывает сильное влияние на скорость установления вероятностной меры.
22.4 Хаотически аттракторы
Часто странные аттракторы возникают благодаря бифуркациям. Пути рождения стохастических автоколебаний при изменении управляющего параметра зависят от конкретных свойств исследуемой системы. Однако как и предельный цикл, который может родиться лишь несколькими типичными способами, так и странный аттрактор обладают сравнительно небольшим числом наиболее типичных возможностей возникновения. Один из них - сценарий Фейгенбаума – цепочка бифуркаций удвоения периода устойчивого предельного цикла.
Рис. 6. «Обратные бифуркации» удвоения периода, иллюстрирующие разбухание аттрактора, возникшего по сценарию Фейгенбаума.
Во многих системах при прохождении управляющего
они «замечают», что старый аттрактор исчез, и, оставаясь рядом с сепаратрисой (также
http://profbeckman.narod.ru/
облако неопределённости. Истинное состояние может оказаться где угодно внутри этого облака. Как показано здесь на примере аттрактора Лоренца, неопределённость начального измерения представлена 10 000 красных точек, расположенных так близко друг к другу, что они неразличимы. По мере того как каждая точка движется в соответствии с уравнениями, облако вытягивается в длинную тонкую нить, которая затем многократно свивается, пока красные точки не распространятся по всему аттрактору. Предсказание стало невозможным: конечное состояние может быть в любом месте аттрактора. Напротив, для регулярного аттрактора все конечные состояния неизменно остаются поблизости друг от друга. Числа под картинками указаны в единицах, равных 0,005 с.
Динамическая систем обладает странным аттрактором, если в ее фазовом пространстве имеется предельное множество, состоящее из хаотических траекторий. При этом хаотичность может быть обеспечена самыми разными критериями: гомоклиничностью, фрактальностью, наличием положительного ляпуновского показателя, непрерывностью спектра, бифуркациями удвоения периода и т.п. Существуют и странные нехаотические аттракторы, т.е. такие аттракторы, которые имеют фрактальную структуру, но система с таким аттрактором не обладает хаосом ни в каком смысле. Поэтому широкое использование понятия «странный аттрактор» оказывается не всегда оправданным.
Если неизвестна структура аттрактора хаотической системы, как это бывает при численных и экспериментальных исследованиях, правильнее было бы называть такие аттракторы хаотическими, акцентируя внимание именно на сложном движении траекторий. Это не препятствует тому, что хаотические аттракторы могут быть гиперболическими притягивающими множествами, иметь трансверсальную гомоклиническую траекторию и т.п.
Гиперболический хаос называют "идеальным" хаосом. Он характеризуется топологически однородной и устойчивой к возмущениям структурой. Однако странные хаотические аттракторы динамических систем, как правило, не являются грубыми гиперболическими. Близкие к гиперболическим (квазипараболические) аттракторы содержат неустойчивые орбиты типа петель сепаратрисы. Их рождение и исчезновение не влияет на такие характеристики хаоса, как фазовый портрет аттрактора, спектр мощности, показатели Ляпунова и др. Гиперболические и квазигиперболические системы в хаотическом режиме иметь инвариантные меры, не зависящие от начального распределения и полностью определяющие статистические свойства аттрактора.
22.5 Негиперболические хаотические аттракторы
Однако большинство хаотических аттракторов динамических систем являются негиперболическими. Проблема существования инвариантной меры на
негиперболическом хаотическом аттракторе связана с серьезными трудностями, так как в общем случае невозможно ввести стационарное распределение вероятности, не зависящее от начального распределения. Негиперболический аттрактор является максимальным аттрактором динамической системы и включает в себя счётное множество регулярных и хаотических притягивающих подмножеств. Об инвариантной мере негиперболического аттрактора можно говорить лишь при условии воздействия внешнего шума. Негиперболические аттракторы резко меняют свои свойства под действием шума, в то время как гиперболические и квазигиперболические аттракторы устойчивы к шумовым возмущениям. Такие системы, как система Рёсслера, схема Чуа и осциллятор АнищенкоАстахова, являются типично негиперболическими, т.е. структурно неустойчивыми. Систему Лоренца можно считать исключением. В определенном диапазоне значений параметров аттрактор Лоренца оказывается почти гиперболическим. Устойчивые и неустойчивые многообразия траекторий аттрактора пересекаются трансверсально. Однако при вариации параметров система Лоренца демонстрирует бифуркационный переход к негиперболическому аттрактору. Вероятность гомоклинического касания строго равна нулю. Удаление от области, в которой существует аттрактор Лоренца, приводит к
http://profbeckman.narod.ru/
появлению эффекта гомоклинического касания. Угол между многообразиями может обращаться в нуль.
Существует класс негиперболических аттракторов спирального типа, для которых шум оказывает сильное влияние на скорость процесса релаксации к стационарному распределению и время корреляции, но практически не влияет на величину положительного ляпуновского показателя. Скорость перемешивания на негиперболических аттракторах определяется не только и не столько экспоненциальной неустойчивостью, а зависит от сложной динамики мгновенной фазы хаотических колебаний. В режиме спирального хаоса шум существенно ускоряет процесс релаксации к стационарному распределению. Для хаотических аттракторов с нерегулярным поведением мгновенной фазы шум практически не влияет на скорость перемешивания. Это утверждение справедливо для негиперболических аттракторов винтового и переключательного типов, таких, как квазигиперболический аттрактор Лоренца.
Негиперболические аттракторы спирального типа могут возникать не только в конечномерных, но и в распределенных системах. Примером служит неоднородная среда, моделируемая уравнением Гинзбурга-Ландау. Характерной особенностью спиральных аттракторов является то. что они соответствуют сложному процессу нерегулярных автоколебаний, статистические характеристики которого можно описать, используя классическую модель узкополосного шума. Свойства спирального хаоса по сути дела оказываются близки к свойствам зашумленного предельного цикла (например, генератор Ван дер Поля при воздействии шума). Автокорреляционная функция и спектр мощности спирального аттрактора полностью определяются флуктуациями мгновенных амплитуды и фазы колебаний. Флуктуации амплитуды определяют скорость спада корреляций на малых временах и соответственно "шумовой" пьедестал в спектре мощности. Флуктуации фазы приводят к уширению спектральной линии базовой частоты в спектре и экспоненциальному спаду автокорреляционной функции, определяемому величиной эффективного коэффициента диффузии Коэффициент диффузии фазы в системе без шума определяется ее хаотической динамикой и не связан непосредственно с положительным ляпуновским показателем. В динамических системах со спиральным хаосом энтропия Колмогорова как количественная характеристика степени перемешивания определяется в основном скоростью роста дисперсии мгновенной фазы, а не положительным показателем Ляпунова.
Странные аттракторы в конечномерных системах можно разделить на три основных класса: грубые гиперболические, почти гиперболические (квазигиперболические) и негиперболические. Свойство грубой гиперболичности хаотического аттрактора означает, что все его траектории относятся к одному седловому типу, и их устойчивые и неустойчивые многообразия всюду транс-версальны, т.е. структура гиперболического аттрактора однородна в любой точке аттрактора. Кроме того, эти свойства сохраняются при малых возмущениях параметров системы. К грубым гиперболическим аттракторам относятся соленоид Смейла-Вильямса и аттрактор Плыкина; почти гиперболические аттракторы: аттрактор Лоренца и аттрактор ШимицуМориока в потоковых системах, аттрактор Лози и аттрактор Белыха в дискретных отображениях. Для этих систем характерно присутствие сингулярных фазовых траекторий. Например, аттрактор Лоренца характеризуется присутствием множества петель сепаратрисы седлового состояния равновесия; аттрактор Лози включает негрубые гомоклинические кривые без касаний устойчивых и неустойчивых многообразий. Эти особые траектории не приводят к рождению устойчивых движений; при вычислениях квазигиперболические аттракторы схожи с гиперболическими.
Непериодические аттракторы делятся на: стохастические и хаотические, в зависимости от того, связаны ли они со стохастическим или хаотическим поведением системы. Аттракторы с участием только конечного или бесконечного числа седловых циклов и их неустойчивых интегральных многообразий называются стохастическими.