http://profbeckman.narod.ru/

эволюционных процессов, таких как самоорганизация в среде структур разных уровней или, напротив, распад организованных структур и общая хаотизация.

Корреляционная размерность d2 определяется корреляциями между элементами, составляющими среду, т.е. вероятностью найти на расстоянии a от данного элемента множества один или несколько элементов того же множества. Эта размерность одновременно является мерой иерархического скучиванья, то есть характеризует упорядоченность внутренней структуры объекта. Её теоретическая значимость обусловлена тесной связью с корреляционными функциями, которые определяют все физические особенности рассматриваемой среды.

Рассмотренные здесь фрактальные размерности – полезные параметры, позволяющие количественно характеризовать направление и темп процессов самоорганизации в среде и корреляционные связи между ее элементами.

6.3 Примеры фракталов

Фракталы бывают одномерными, двумерными и трёхмерными, с разными типами, степенями самоподобия, которые сложно визуализировать.

Фракталы бывают геометрическими, алгебраическими и стохастическими (некоторые статистические фракталы называются мультифракталами), математическими и природными (на природные фракталы накладывается ограничение на область существования: максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства), детерминированными (алгебраическими и геометрическими) и недетерминированными (стохастическими, примеры: странный аттрактор, множество Жюли и др.), континуальными и дискретным, конструктивными (один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба) и динамическими, регулярными (на каждом этапе масштабирования повторяют объект в целом и нерегулярными (на каждом уровне масштаба структура фрактала подобна, но не идентична объекту в целом; примеры: деревья, реки, облака, береговая линия).

Алгоритмы построения линейных фракталов (Коха, Кантора и др.) определяются линейными функциями. В них самоподобие присутствует в самом простом варианте: любая часть повторяет целое. Нелинейные фракталы (Жули, Мандельброта и др.) задаются нелинейной функцией роста, то есть уравнениями в степени выше первой. В них самоподобие будет выглядеть более сложным: любая часть является уже не точной, а деформированной копией целого.

Стохастический фрактал получают, случайным образом меняя какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные – несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. Важный пример случайного фрактала – траектория броуновского движения.

Простейшие фракталы, такие, как канторова пыль, снежинка Коха, ковер и губка Серпинского, кривые дракона и кривые Пеано и Гильберта, обладают регулярной, геометрически правильной, структурой. Каждый фрагмент такого геометрически правильного фрактала в точности повторяет всю конструкцию в целом. При менее точном следовании самоаффинности или самоподобию возникают другие, не столь регулярные (например, случайные фракталы). Их самоаффинность проявляется, например, в сохранении нормального случайного распределения в различных масштабах, возможно, с различными дисперсиями и средними. Примерами случайных фракталов могут служить береговые лини, очертания некоторых государственных границ, поры в хлебе и зрелых сырах, границы доменов и зерен в кристаллах и т.п.

Типичным примером одномерного фрактала является канторово совершенное множество, на основе которого стоится фрактал - канторова пыль.

Канторово множество – один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой; имеет мощность континуума, но мера его равна нулю.

http://profbeckman.narod.ru/

Каждый из фрагментов множества Кантора выглядит как множество в целом, то есть оно является самоподобным.

Рис. 5. Канторово множество.

Рис. 6. Построение канторовой пыли на квадрате.

Канторово совершенное множество строится следующим образом. Отрезок [0; 1] делят на три равные части и вырезают среднюю из них - интервал (1/3; 2/3). С каждым из оставшихся отрезков поступают таким же образом, и эту процедуру повторяют бесконечное число раз. На первом этапе построения есть два отрезка длиной 1/3 каждый, на втором - четыре длиной 1/9 каждый и т.д. На k-ом этапе имеем 2k не связанных друг с другом отрезков длиной (1/3)k каждый. В пределе при k на отрезке останется множество точек, называемое канторовым множеством. Это множество нигде не плотно на отрезке, т.е. не содержит ни одного интервала сколь угодно малой длины. Но оно замкнуто и плотно в себе, т.е. не содержит изолированных точек, и, следовательно, является совершенным множеством. Более того, канторово множество имеет мощность континуума, но нулевую борелевскую меру. В последнем легко убедиться, подсчитав

Рассмотрим последовательность аk=(1/3)k0 при k. Из построения канторова множества следует, что для любого k (номер этапа построения) канторово множество покрывается N(k) == 2k отрезками длины аk=(1/3)k каждый. Тогда из (*) следует, что

Канторово множество имеет топологическую размерность dT=0 (нулевая мера Лебега), промежуточную, т.е. не целую df 0,6309: фрактал Кантора ещё не точка (df=0), но уже не линия (df=1).

Рис. 7. Дерево Кейли.

Канторовая пыль относится к фрактальному множеству с df<1. В математике его основой является уравнение Ферхьюста и логистическое уравнение, описывающее рост популяции животных. "Канторова пыль" представляет образование, промежуточное

http://profbeckman.narod.ru/

между точкой и линией. Процедура построения канторовского множества может быть представлена иерархическим деревом Кейли (рис. 7). Важно, что удвоение периода роста является сценарием перехода от порядка к хаосу.

Рис. 8. Образование канторовой пыли (хаоса) совместно с бинарным лексиокографическим деревом.

Кривая фон Коха – классическая интерированная фрактальная кривая. Берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого

сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1⁄3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев. На рис. 9 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности, кривая Коха становится фрактальным объектом. Предельная кривая называется триадной кривой Коха. На каждой стадии формирования кривой Коха замена средней трети каждого сегмента производится в направлении, которое увеличивает площадь под кривой. Можно увидеть, что при каждом уменьшении длины в три раза число сегментов увеличивается в

четыре раза. Фрактальная размерность треугольной кривой Коха равна df=ln4/lnЗ=log38= 1,2618... Кривая фон Коха вышла за размерность линии и частично заполняет плоскость. Важно, что в триадной непрерывной кривой Коха ни в одной точке нельзя подвести касательную. Кривая Коха нигде не дифференцируема, хотя всюду непрерывна.

Рис. 9. Построение кривой Коха,

Кривая фон Коха состоит из четырех равных (конгруэнтных) частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом

подобия 1/3. Поэтому длина любого “кусочка” кривой также бесконечна. Кривая Коха не имеет характерных размеров – присутствуют все размеры от 1 до 1/N.

Три копии кривой Кох, расположенные на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, которую часто называют снежинкой Коха. Снежинка (остров) Коха имеет бесконечный периметр, но при этом ограничивает конечную область.

Применив генератор фон Коха к равностороннему треугольнику и закрасив внутренность построенной фигуры в чёрный цвет, получим сплошную звезду Давида (рис. 10А). Бесконечная итерация такого построения приводит к снежинке фон Коха (рис. 10Б). После n итераций периметр снежинки становится в (4/3)n раз больше периметра исходного треугольника. При n, стремящемся к бесконечности, периметр снежинки становится бесконечно большим. Следовательно, длина перестаёт быть удобной величиной для количественной характеристики периметра. Снежинка фон Коха обладает периметром бесконечной длины, хотя ограничивает конечную площадь. Кроме того, она такая колючая, что ни в одной точке контура к ней нельзя провести касательную (снежинка фон Коха нигде не дифференцируема).

http://profbeckman.narod.ru/

Топологическая размерность снежинки Коха равна 1, но это, ни в коем случае не спрямляемая кривая, поскольку длина кривой между любыми двумя точками снежинки Коха бесконечность. Никакая сколько угодно малая часть кривой не является отрезком прямой. Снежинка состоит из бесконечного числа сегментов, соединённых под разными углами. Фрактальная линия – это объект слишком детальный (подробный), чтобы быть одномерным, но недостаточно сложный, чтобы быть двумерным. Поэтому её размерность лучше описывать не обычной топологической размерностью 1, но её фрактальной размерностью, равной в этом случае числу, лежащему в интервале между 1 и 2. Если кривую Коха расширить в 3-мерное пространство, то её теоретическая фрактальная размерность будет равна 2.5849.

Рис. 10. Инициатор и генератор для снежинки Коха (А) и промежуточные стадии построения снежинки фон Коха, df=ln(4)/ln(3)=1,2619.

Интересно, что при df=2 мы не обязательно получим двумерную фигуру: вполне достаточно оказывается топологически одномерного объекта – линии. Известным примером может служить асимптотически самоподобная кривая Гильберта (рис. 11), проходящая сколь угодно близко от любой точки единичного квадрата и, следовательно, заполняет двумерное пространство. Она строится на кривой Пиано.

Кривая Пеано – общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства).

Окончательный результат самоподобен: раздув любой подквадрат в 2n раз, мы получим кривую в точности похожую на всю кривую. Поскольку n-поколение кривой Гильберта состоит из 22n-1 звеньев длиной 1/2n, её фрактальная размерность равна 2, как и подобает кривой, заполняющей плоскую фигуру.

Рис. 11. Пример кривой Пеано, построенный Гильбертом. Здесь показан порядок обхода квадратиков 1–6 уровня, dT=1, df=2.

Рис. 12. Кривая Минковского.

Классическим геометрическим

http://profbeckman.narod.ru/

фракталом является кривая (колбаса) Минковского. Инициатором является отрезок, а генератором – ломаная из восьми звеньев (два равных звена продолжают друг друга). Кривая Минковского нигде не дифференцируема и не спрямляема, не имеет самопересечений, имеет df=ln8/ln4=3/2=1,5 (поскольку она состоит из восьми равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/4). Размерность фрактала Минковского больше размерности фрактала Коха: Минковского более плотно заполняет двумерье. Кривая Минковского имеет нулевую меру Лебега

(dT=0).

Интересным примером автоподобной кривой является “кривая дракона”, придуманная Э.Хейуэем. Для её построения возьмем отрезок, повернем его на 90о вокруг одной из вершин и добавим полученный отрезок к исходному. Получим угол из двух отрезков. Повторим описанную процедуру. Повернём угол на 90о вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. Предельная фрактальная кривая называется драконом Хартера-Хейтуэя (рис.13).

Непосредственным обобщением канторова множества на плоский и пространственный случай являются ковер и куб Серпинского. Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) – один из двумерных аналогов множества Кантора, который имеет топологическую размерность dT=1, промежуточную (т. е. не целую) Хаусфордову размерность ln8/ln3 1,89 и нулевую меру Лебега, dT=0.

Самоподобная фигура Серпинского получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. А именно, разделим данный квадрат на девять равных квадратов и серединный квадрат вырежем. Получим квадрат с дыркой (рис. 15). Для оставшихся восьми квадратов повторим указанную процедуру. Разделим каждый из них на девять равных квадратов и серединные квадраты вырежем. Повторяя эту процедуру, будем получать все более дырявую фигуру. То, что остаётся после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского.

Рис. 13. Построение "дракона" ХартераХейтуэя.

Отметим, что поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, то в результате на ковре Серпиского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки. Салфетка Серпинского - двумерная квантовая пыль. Топологически это множество точек, dT=0

Рис. 14. Этапы построения треугольника (салфетки) Серпинского, df=1,585.

Вычислим площадь ковра Серпинского, считая исходный квадрат единичным. Для этого достаточно вычислить площадь вырезаемых квадратов. На первом шаге вырезается квадрат площади 1/9. На втором шаге вырезается восемь квадратов, каждый из которых

http://profbeckman.narod.ru/

имеет площадь 1/81. На каждом следующем шаге число вырезаемых квадратов увеличивается в восемь раз, а площадь каждого из них уменьшается в девять раз. Таким образом, общая площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальном членом 1/9 и знаменателем 8/9. Площадь ковра Серпинского равна нулю. Показатель фрактала df=1.89…: прямоугольное решето Серпинского существенно плотнее заполняет плоскость, чем фракталы Коха и Минковского.

Если рассечь губку Менгера под одним интересным углом, то неожиданно получается фрактальная гексаграмма (звезда Давида, рис. 44). Салфетка Серпинского также может быть обобщена на трёхмерное пространство.

Теперь обратимся к другому семейству фрактальных языков, их нелинейным диалектам. Один их них, так называемый квадратичный диалект порождает большое разнообразие геометрических форм с помощью довольно простого алгоритма, тесно связанного с современной теорией хаоса.

Рис. 15. Ковёр Серпинского, df=log38=1,8928.

Топологически ковёр Серпинского – линия, dT=1.

Рис. 16. Построение на основе ковра Серпинского (размерность df 1,8928)строится губка Менгера df 2,7268, dT=2.

Рис. 17. Одно из сечений губки Менгера.

Динамические фракталы, как правило задаются с помощью некоторого отображения. Теория, лежащая в основе нелинейных фракталов, впервые предложена в 1918 году французским математиком Г. Жюлиа. Он занимался изучением комплексных чисел; как известно, комплексное число состоит из действительного числа и мнимой части, содержащей в качестве множителя мнимую единицу = √1. Комплексные числа обычно

отображаются на плоскости с перпендикулярными координатными осями, одна из которых представляет действительные числа, а другая мнимые. Жулюа интересовал вопрос, что будет с последовательностью точек zk, на комплексной плоскости, если они порождаются преобразованием q(z)=z2+c. Каждая новая точка zk+1 получается подстановкой предыдущей точки zk в приведённую формулу преобразования.

Комплексное число c является управляющим параметром, который можно выбирать произвольным образом. Этот несложный процесс с обратной связью порождает потрясающее многообразие форм.

http://profbeckman.narod.ru/

(вверху), при других значениях c эти множества распадаются на фрагменты и рассыпаются подобно пылинкам (внизу). Множество Мандельброта состоит из всех точек c, которые ассоциируются со связными множествами Жюлиа; оно служит также «оглавлением» для множеств Жюлиа.

Множество Жулиа – дискретная нелинейная динамическая система определяется отображением zn+1=zn2+с на комплексной плоскости. Здесь параметр (постоянная) с – фиксирован, z0=0 – варьируется. В зависимости от выбора начального приближения пределом последовательности будут либо ноль, который является аттрактором, (зоной влияния, множеством притяжения), либо бесконечность (также аттрактор). Вид множества Жюлиа зависит от выбора параметра с. В силу нелинейности (малым изменениям параметра с соответствуют большие изменения формы множества Жюлиа) зависимость эта очень сильна. Граница, разделяющая области притяжения этих двух аттракторов бесконечно изрезана и является фракталом – множеством Жюлиа. Одной из характерных особенностей такой линии является самоподобие: если взглянуть на любой её поворот, то можно обнаружить, что одна и та же форма встречается в различных местах и имеет разные размеры. Эту границу, являющуюся множеством Жюлиа, можно восстановить по любой произвольной её части. Заметим, что аттрактор, граница которого является фракталом, называется странным аттрактором.

Множество Мандельброта – дискретная нелинейная динамическая система zn+1=zn2+b, где z0=0, параметр b варьируется.

Алгоритм построения множества Мандельброта (относится к алгебраической группе) достаточно прост и основан на простом итеративном выражении:

где Z[i]·и C - комплексные переменные.

Рис. 21. Множество Мандельброта – Курица" – классический образец алгебраического фрактала.

Алгоритм разбивает комплексную плоскость на зоны влияния. Любая точка z0 фазового пространства в данном динамическом процессе либо притягивается аттрактором (конечным или бесконечным), либо не

может принять определенного значения и остается блуждать на границе зон влияния аттракторов.

Рис. 22. Трёхмерное множество Мандельброта и его проекция.

Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области – подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы

находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например, 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. Каждая часть множества Мандельброта характеризует соответствующее семейство множеств Жюлиа. Например, основное сердцевидное тело множества Мандельброта

http://profbeckman.narod.ru/

характеризует множества Жюлиа, которые выглядят как смятые окружности.

Рис. 23. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз.

Хотя множество Мандельброта, строго говоря, не является самоподобным, как треугольник Серпинского и фрактальный папоротник, оно обладает сходным свойством: увеличение границы области обнаруживает бесконечное число крошечных копий множества (рис. 50). Множество Мандельброта - бесконечно эффективным хранилищем информации для бесконечного разнообразия множеств Жюлиа.

Все рассмотренные выше фракталы можно считать детерминированными. Хотя случайные процессы (такие, как бросание игральной кости) иногда и помогают генерировать фрактальные изображения, они не оказывают никакого влияния на окончательную форму фрактала. Совершенно иная ситуация имеет место в отношении другого класса фракталов, а именно так называемых случайных фракталов. Стохастические фракталы получаются, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные – несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Один из фракталов такого типа может начинаться с треугольника, лежащего в произвольной плоскости. Средние точки сторон треугольника соединены между собой, так что треугольник оказывается разделённым на четыре меньших треугольника. Затем каждая средняя точка сдвигается вверх или вниз на определённую, случайно выбираемую величину. Тот же процесс применяется к каждому из меньших треугольников, затем к ещё меньшим и так далее до бесконечности. После достаточно большого количества итераций начинает возникать всё более детализированная

поверхность.

Рис. 24. Трёхмерное представление множества Мандельброта: электрический потенциал, окружающий заряженное множество Мандельброта. Может использоваться как иллюстрация бухты

со скалистыми берегами.

Рис. 25. Множество Мандельброта отражает порядок, лежащий в основе бесконечного многообразия множеств Жюлиа.

Рис. 26. Фрактальные ландшафты могут создаваться из фракталов методом случайного смещения средней точки. Средние точки сторон треугольника (a) смещаются вверх или вниз от плоскости изображения и

http://profbeckman.narod.ru/

соединяются с вершинами (b). При этом возникает четыре меньших треугольника, к которым повторно применяется та же процедура. Функция распределения вероятности определяет величину смещения и, следовательно, степень гладкости фрактального ландшафта. Затем графическая программа компьютера закрашивает треугольники, создавая различные оттенки

(c). В результате получается весьма реалистичная картина (d).

В этом методе смещения средних точек случайные величины для перемещения средних точек вверх или вниз управляются определённым законом распределения, который тщательно подбирается, чтобы получить близкую аппроксимацию желаемой поверхности. Для того чтобы поверхность была относительно гладкой, в преобразования следует встроить правило, согласно которому величина смещения средних точек должна становиться очень малой уже после нескольких первых итераций. Такое правило позволяет добавлять лишь небольшие «кочки» к общим очертаниям ландшафта. Для представления изрезанной поверхности, характерной, скажем, для горного хребта или береговой линии, более подходящим будет правило медленного уменьшения смещений после каждого шага итерационного процесса.

Каждая точка множества Мандельброта представляет значение параметра c, порождающего связное множество Жюлиа. Если точка c лежит вне множества Мандельброта, то ассоциированное с ней множество Жюлиа несвязно. Множество Мандельброта содержит в себе невероятное богатство мельчайших деталей. Три последовательных увеличения фрагментов (отмечены квадратиками) позволяют увидеть подобные повторяющиеся структуры множества Мандельброта с добавлением многих новых и прежде не повторяющихся элементов.

У данного метода построения поверхностей существует много приложений. Он применялся, в частности, в качестве модели эрозии почвы, для анализа сейсмических явлений, чтобы лучше понять характер изменений в зоне разломов, для построения изображениё планет, спутников, облаков и горных хребтов, которые

выглядят весьма реалистично.

Рис. 27. Бассейны Ньютона.

Бассейны Ньютона - примеры алгебраических фракталов. Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения f(z)=0 алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона называют методом касательных, который обобщается для комплексной

плоскости). Примером является уравнение: p(z)=0, p(z)=x3-1, имеющее три корня. При выборе различных процесс будет сходится к различным корням (областям притяжения, которых имеют фрактальную структуру).

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 28. Фрактальная поверхность (вверху) и фрактальная пористость (внизу).

Помимо обычных фракталов, в природе встречаются мультифракталы – фракталы с нелинейной формой развития.

Мультифрактал – комплексный фрактал. Строится не одним алгоритмом построения, а несколькими последовательно сменяющими друг друга, каждый из них генерирует паттерн со своей фрактальной размерностью.

Мультифрактал – квазифрактальный объект с переменной фрактальной размерностью. Это обобщение фрактала, для описания которого недостаточно одной размерности. Вместо неё требуется спектр размерностей. В рамках конструктивных фракталов мультифрактал определяют как «нагруженный» фрактал, в котором каждому элементу аi ставится в соответствие некий «вес» или вероятность pi. Для количественного описания мультифракталов рассчитывается спектр размерностей, соответствующих особенностям данного мультифрактала. Понятие мультифрактала применимо как к математическим, так и природным фракталам. Признаком мультифрактальности для природных объектов является обнаружение различного скейленгового поведения на разных масштабах или наличие мультифрактального спектра размерностей.

Реальные объекты и процессы гораздо лучше описываются мультифракталами, чем регулярными фракталами. Как уже упоминалось, статистическое самоподобие, или самоподобие в среднем, выделяет фракталы среди множества природных объектов. Совсем дело обстоит иначе, когда мы говорим мультифракталах (нелинейных). Здесь размерность утрачивает свой смысл как определение подобия объекта и определяется посредством различных обобщений, куда менее естественных, чем уникальная размерность самоподобных объектов.

Мультифрактал описывается обобщённой фрактальной размерностью Реньи. На этих вопросах мы остановимся подробнее в главе, посвящённой энтропии Реньи.

Огромный интерес к фракталам связан с тем, что они внешне сильно напоминают природные объекты.

Большой интерес к фракталам, как и вообще к нерегулярным функциям и множествам объясняется тем, что они гораздо лучше обеспечивают представление многих природных явлений, нежели объекты классической геометрии. Широчайшее распространение фрактальных структур объясняется их разномасштабностью: и большие, и малые масштабы фрактальных структур имеют одинаковый закон роста. Задать фрактальную структуру – задать не застывшую, неизменную форму, а принцип роста, закон изменения формы.