http://profbeckman.narod.ru/
точка пересекает ось 0x в направлении снизу вверх. Отметим это на фазовой плоскости. Далее, исходя из симметрии, можно указать направления движения и по остальным траекториям.
Рис. 28. К примеру 17.
Пример 17. Исследовать точки равновесия и начертить фазовый портрет следующей системы: dx/dt=3x−4y, dy/dt=2x−y.
Определитель матрицы данной системы равен
3 |
4 |
|
det A |
3 |
4 |
5 0. |
|
A |
|
|
, |
|
|
||
|
2 |
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
.Следовательно, система имеет единственное положение равновесия в точке (0,0). Вычислим собственные значения матрицы A:
3 |
4 |
0, 3 1 8 0, 2 2 5 0, |
D 16, 1,2 |
|
2 4i |
1 2i. |
2 |
1 |
|
||||
|
|
2 |
|
|||
Собственные значения λ1, λ2 представляют собой комплексно-сопряженную пару чисел с положительной действительной частью. Поэтому положение равновесия в начале координат является неустойчивым фокусом. Найдём уравнения изоклин. Вертикальная изоклина описывается следующим уравнением: dx/dt=3x−4y=0 y=(3/4)x. Горизонтальная изоклина определяется уравнением: dy/dt=2x−y=0 y=2x. Выясним направление закручивания спиралей, вычислив производную dy/dt в точке (1,0): dy+dt(1,0)=2 1−0=2>0.Таким образом, спирали закручиваются против часовой стрелки. С учетом найденных данных построим схематический фазовый портрет системы (рис. 28).
12.3 Фазовые портреты и особые точки нелинейных ОДУ
При изменении параметров в нелинейных уравнениях могут происходить не только количественные изменения (смещения траекторий, изменения скоростей), но и качественные преобразования, при которых возникают новые структурные элементы фазового портрета или исчезают некоторые из имеющихся, т. е. происходит перестройка структуры фазового портрета. Закономерности такой перестройки устанавливаются методами теорий бифуркаций и катастроф.
В анализе поведения нелинейных динамических систем широкое применение нашли методы линеаризации, поскольку в окрестностях точки равновесия поведение фазовой диаграммы нелинейной модели аналогично поведению линейной. Остановимся на этой методике.
Предварительно напомним, что для фазовых траекторий автономной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью справедливы следующие утверждения:
–две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают;
–фазовая траектория, отличная от точки, есть гладкая кривая (в каждой её точке есть ненулевой касательный вектор);
–всякая фазовая кривая принадлежит к одному из трёх типов – гладкая кривая без самопересечений, замкнутая гладкая кривая (цикл), точка.
Пример 18. Имеем систему уравнений . Равновесная точка х=0.
f |
|
(3x |
2 |
y |
2 |
|
1 2 xy |
|
|
f |
|
|
0 |
1 |
||||
|
|
1 2 xy |
|
|
x |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
2 |
3y |
2 |
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x=rcos и y=rsin r r3 и 1. Стабильный фокус
при >0 и нестабильный фокус при <0.
Рис. 29. К примеру 19.
Приведём примеры анализа систем линейных ОДУ второго порядка.
Пример 19. Найти точки равновесия и характеристические фазовые траектории вокруг этих точек для системы
x (3x 0,5)x x x2 0 .
http://profbeckman.narod.ru/
12.4 Многомерные системы
Заметим, что термин седло в Rm относится ко всем случаям, в которых существуют некоторые собственные значения с положительными и некоторые с отрицательными вещественными частями. Термин седловой узел используется, когда собственные значения являются вещественными, седловой фокус, когда некоторые из собственных значений являются комплексными. Пример последнего представлен на рис. 35. Два вещественных вектора, связанные с комплексно сопряженной парой собственных значений с отрицательной вещественной частью, охватывают устойчивое собственное пространство. Орбиты асимптотически приближаются к неустойчивому собственному пространству, определяемому собственным вектором, связанным с положительным собственным значением, вдоль которого динамика взрывоопасна.
Якобиан трехмерной системы имеет 3 собственных значения, одно из которых вещественно, а две другие могут быть либо действительными, либо комплексносопряженными. В зависимости от типов и признаков собственных значений возможны различные ситуации (рис. 36).
Трёхмерные системы описываются с использованием понятий:
Устойчивый (неустойчивый) узел – три действительных корня одного знака или один действительный и два комплексных с тем же знаком действительной части и с ведущим действительным корнем.
Рис. 35. Решения дифференциальных уравнений в трёхмерном представлении: а – особые точки х0 типа седло-узел; б – особые точки х0 типа седло-фокус.
Устойчивый (неустойчивый) фокус – один действительный и два комплексных с ведущими комплексными.
Рис. 36. Особые точки: а – центр; б – седло.