14.3 Показатель Ляпунова

http://profbeckman.narod.ru/

Поскольку любое решение такой системы можно представить как линейную комбинацию базисных, то из описанных свойств следует, что число различных характеристических показателей не превосходит размерности фазового пространства. Так как любое решение определяется начальными данными, то характеристический показатель зависит от выбора начальных данных.

Показатель Ляпунова – мера динамики аттрактора. Каждая размерность имеет показатель Ляпунова. Положительный показатель измеряет чувствительность зависимости от начальных условий, или то, насколько наши предсказания могут отклоняться исходя из различных оценок начальных условий. Показатели Ляпунова характеризуют потерю предсказательной способности при попытке заглянуть в будущее. Странные аттракторы характеризуются, по меньшей мере, одним положительным показателем. Отрицательный показатель измеряет схождение точек. Точечные аттракторы характеризуются всеми отрицательными переменными.

Для различных начальных значений числа могут быть различными. Если соответствующий показатель Ляпунова положителен, расстояние между изначально близкими траекториями системы с течением времени увеличивается, если показатель отрицателен – близкие траектории ещё более сближаются, если показатель равен нулю – близкие траектории остаются на примерно одинаковом расстоянии друг от друга. Для N- мерной динамической системы существует ровно N показателей Ляпунова 1 2 ... N, в общем случае различных. Набор показателей Ляпунова (спектр) характеризует общие закономерности поведения системы для всевозможных начальных условий. Критерием хаоса служит лишь наибольший показатель Ляпунова, показывающий расходятся ( >0) или сходятся ( <0) в среднем соседние траектории.

Рис. 9. Фазовые диаграммы систем различной устойчивости.

Показатели Ляпунова используются в качественной теории динамических систем. Знание показателей Ляпунова позволяет сделать заключение о том, как система развивается с течением времени. Довольно часто достаточно знать знак старшего, т.е. наибольшего показателя, а также сумму показателей. В трёхмерном случае, для систем вида: х F(х) возможны следующие варианты различного поведения: 1) система стремится к неподвижной точке, т.е к стационарному состоянию, не зависящему от времени; 2) поведение системы становится периодическим, ее траектория приближается к замкнутой кривой («предельный цикл»; 3) квазипериодическое поведение (траектории системы находятся на поверхности двумерного тора, т.е. "бублика"); с течением времени система приближается к "странному аттрактору" поведение системы хаотично. Для систем более высокой размерности набор вариантов становится более обширным, однако по-прежнему наличие положительного показателя Ляпунова (при условии отрицательности их суммы) влечет за собой хаотическое поведение.

Показатель Ляпунова – инструмент, используемый для характеристики поведения динамики, как отдельной траектории, так и всей системы в целом. Показатели Ляпунова

http://profbeckman.narod.ru/

могут быть рассчитаны локально (например, в заданной точке) или глобально для всей системы. Глобальные показатели Ляпунова полезны для описания определенного сложного поведения (например, детерминированного хаоса). Показатель Ляпунова определяет устойчивость топологического признака (например, аттрактора или репеллера), определяет скорость, с которой система изменяется в сторону базового состояния или от него. Это аналог крутизны склона, по которому катится камень.

Показатель измеряет (бесконечно малую) экспоненциальную скорость, при которой близлежащие орбиты раздвигаются. Положительным показателем Ляпунова является оперативное определение хаотического поведения. Знак показателей Ляпунова особенно важен для классификации различных типов динамического поведения. В частности, наличие положительного показателя Ляпунова свидетельствует о том, что близкие орбиты экспоненциально расходятся в соответствующем направлении. Характеристический показатель Ляпунова – количественная мера неустойчивости каждой траектории, принадлежащей хаотическому аттрактору. Он позволяет оценить фрактальную размерность аттрактора и энтропию динамической системы.

14.4 Устойчивость нелинейной системы

Устойчивость нелинейной системы часто можно оценивать с помощью линеаризованной системы. Для этого применяют аналитический метод исследования устойчивости стационарного состояния (метод Ляпунова), основанный на линеаризации системы в окрестности стационарного состояния. Аналитический метод Ляпунова приложим к широкому классу систем различной размерности, точечным системам, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, и распределенным системам, описываемым уравнениями в частных производных, непрерывным и дискретным. Метод использует теоремы Ляпунова, связывающие корни характеристического полинома ∆(s) линейной модели и устойчивость нелинейной системы в окрестности точки линеаризации:

–если все корни имеют отрицательные вещественные части, то нелинейная система также устойчива;

–если есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то нелинейная система неустойчива;

–если нет корней с положительной вещественной частью, но есть хотя бы один корень с нулевой вещественной частью, то об устойчивости нелинейной системы ничего нельзя сказать без дополнительного исследования.

Таким образом, для исследования устойчивости положения равновесия нелинейной системы нужно линеаризовать модель в окрестности этой точки и найти корни характеристического полинома.

Как уже упоминалось, в описании динамических систем существенное внимание уделяют сравнению нескольких ОДУ с целью возможности замены одних (например, нелинейных) на другие (например, линейные) без серьёзной потери информативности. Это можно осуществить, если уравнения топологически эквивалентны.

Два автономных уравнения u(t) f (u)

топологически (качественно) эквивалентны, если они имеют равное количество положений равновесия одинакового типа, расположенные в одинаковом порядке на фазовой прямой. Фазовые портреты топологически эквивалентных уравнений также топологически эквивалентны.

Качественное поведение решений уравнения u F(u) полностью определяется его типом точек покоя (неподвижных точек). Условие F'(uo)<0 достаточно для асимптотической устойчивости точки u0: если функция F(u) непрерывно

http://profbeckman.narod.ru/

дифференцируема в точке u0, то характер устойчивости точки покоя можно выяснить, построив в ее окрестности соответствующее линеаризованное уравнение. Для этого функцию f(u) в окрестности точки u0 разлагают в ряд Тейлора и оставляют только линейные слагаемые. Линеаризованное уравнение при этом имеет вид

где (t)-u(t)-u0 – отклонение от положения равновесия в момент времени t. В основе метода линеаризации лежит теорема Гробмана-Хартмана:

Теорема 1. Непрерывно дифференцируемое векторное поле с гиперболической особой точкой в некоторой окрестности этой точки топологически эквивалентно своей линейной части.

Устойчивость стационарного состояния u0 определяется по знаку производной правой части уравнения в неподвижной точке. Устойчивость точки покоя можно оценить по теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Теорем 2. Пусть u0 – положение равновесия u F(u) . Функция F(u) и её производная

F'(u) определены и непрерывны для любых u. Тогда

1)если F'(u0)>0, то u0 – асимптотически устойчиво;

2)если F'(u0)<0, то u0 – неустойчиво

Если F'(u0)=0, то анализ решения линеаризованного уравнения не даёт определённого ответа о характере устойчивости точки u0 и необходимы дополнительные исследования.

Теорема 3. Пусть u0 – положение равновесия u F(u) . Функция F(u) и её производные

F'(u), F''(u), F'''(u) определены в области исследования, причём F'(u0)= F''(u0)=0. Тогда 1) если F'''(u0)<0, то u0 асимптотически устойчиво;

2) если F'''(u0)>0, то u0 неустойчиво.

Анализируя поведение малых отклонений от положения равновесия, делают вывод о его локальной устойчивости. О глобальной устойчивости точки покоя можно говорить лишь в том случае, когда u F(u) имеет только одну точку покоя и любое его решение через конечный промежуток времени окажется в окрестности точки покоя.

Метод Ляпунова аналитического исследования устойчивости состояния равновесия нелинейных систем заключается в замене характеристики нелинейного элемента касательной к ней, взятой вблизи исследуемого состояния.

Рассмотрим метод линеаризации Ляпунова для одного нелинейного автономного

Перейдем в Ур.30 от переменной x к переменной , т.е. новой переменной будет

Отбросим члены порядка 2 и выше. Останется линейное уравнение:

которое носит название линеаризованного уравнения или уравнения первого приближения. Интеграл этого уравнения для (t) находится сразу:

Здесь – показатель Ляпунова (характеристический показатель решения ОДУ). Если <0, то при t , - и, следовательно, первоначальное отклонение от состояния равновесия со временем затухает. Это означает, что состояние равновесия устойчиво. Если же >0, то при t , , и исходное состояние равновесия неустойчиво. Если =0, то уравнение первого приближения не может дать ответа на вопрос об устойчивости состояния равновесия системы. В этом случае необходимо рассматривать члены более высокого порядка в разложении в ряд Тейлора.

Устойчивость стационарного состояния x уравнения dx/dt=f(x) определяется знаком производной правой части в стационарной точке.

В случае одного уравнения вопрос об устойчивости состояния равновесия нетрудно решить, рассматривая график функции f(x). По определению в стационарной точке правая часть Ур.30 - функция f(x) обращается в нуль.

Здесь возможны три случая.

1. Вблизи состояния равновесия функция f(x) меняет знак с плюса на минус при возрастании x. Отклоним изображающую точку системы в сторону x< x . В этой области скорость изменения xdx/dt=f(x) положительна, x увеличивается, возвращаясь к x . При x> x скорость изменения величины x уменьшается, т.к. функция f(x)<0. Следовательно, здесь x уменьшается и опять стремится к x . Таким образом, отклонения от стационарного состояния в обе стороны затухают. Стационарное состояние устойчиво.

Рис. 10. Определение устойчивости стационарного состояния по графику функции f(x): a – стационарное состояние x устойчиво; б, в - стационарное состояние x неустойчиво

2.Вблизи состояния равновесия функция f(x) меняет знак с минуса на плюс при возрастании x). В обоих случаях изображающая точка удаляется от состояния равновесия. Стационарное состояние неустойчиво.

3.Вблизи состояния равновесия функции f(x) не меняет знак. Поскольку f( x )=0,

это означает, что изображающая точка, помещенная достаточно близко к состоянию равновесия с одной стороны, будет приближаться к нему, помещенная с другой стороны – удаляться. Состояние равновесия в случае 3 неустойчиво.

Важно установить в каких случаях результат исследования устойчивости с помощью линеаризованных уравнений совпадает с результатами такого же исследования исходной нелинейной системы. Это возможно, если решение линеаризованных уравнений асимптотически устойчиво или неустойчиво. Если же решение линеаризованных уравнений приводит к устойчивости неасимптотической (например, к малым незатухающим колебаниям около состояния равновесия), для нелинейной системы такое решение может оказаться неверным, поскольку отбрасываемые при линеаризации нелинейные члены высшего порядка малости приобретают теперь решающее значение.