21.3 Отображение «кот Арнольда» (Arnold’s cat map)

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 42. Влияние отображения кот Арнольда на единичный квадрат.

Рис. 43. Линейное отображение растягивает единичный квадрат и его части переставляются при выполнении операции по модулю. Линии со стрелками показывают направление сжимающихся и расширяющихся собственных пространств.

Геометрически, первый шаг процедуры состоит в линейном преобразовании координат

а второй – в переносе элементов картинки, удалившихся за рамки единичного квадрата, обратно в него (операция взятия модуля).

Рис. 44. Растяжение и перекладывание фрагментов, порождающие кота Арнольда.

Благодаря периодичности по x и p, фазовое пространство отображения можно мыслить как поверхность тора. Движение частицы консервативно, т.е. мы имеем дело с гамильтоновой системой. Математически это выражается в том, что детерминант матрицы, задающей отображение кота Арнольда, равен 1, и оно сохраняет меру (площадь) любой области, например, изображения кота. По терминологии классической механики, это каноническое преобразование.

Рис. 45. Динамика отображение кота Арнольда в течение пяти шагов итерации.

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 46. Минимальные периоды отображения кота Арнольда, П(N), и отношение Π(N)/N

Для динамической системы любая точка, в которой скорость изменения равна нулю, называется неподвижной точкой или тривиальной точкой. Для системы с дискретным временем это будут все точки с длиной орбиты 1. Точки с длиной орбиты больше 1 считаются нетривиальными. Для дискретного отображения Γ точка с координатами (0,0) является тривиальной точкой. Все остальные точки с целыми ординатами нетривиальны, так как они являются периодическими и имеют длину орбиты больше 1. Орбита с длиной 12 точки (1,1) для карты кота Арнольда с N = 6, состоящая из координат (1, 1), (2, 3), (5, 2), (1, 3), (4, 1), (5, 0), (5, 5), (4, 3), (1 , 4), (5, 3), (2, 5), (1, 0), изображена на рис. 47.

Рис. 47. Орбита точки (1,1) для отображения кот Арнольда с N=6. Так как (0,0) –

тривиальная точка с длиной орбиты 1, и верхняя граница периода отображения вида 3N, для всех N>3 ни одна точка не может иметь орбиту, которая включает в себя все N2-1 нетривиальные точки.

Фазовое пространство данного отображения может быть представлено квадратом, и процесс растяжения и складывания становится более понятным и явным, если

где xn+1 и yn+1 вычисляются по модулю 1.

Отображение также известно как торов аутоморфизм, т.к. Т2 есть 2-мерный тор, определённый как Т2=R2/Z2=R/ZxR/Z. При рассмотрении Т2 как факторпространства R2/Z2, преобразование кот Арнольда Г: T2 T2 задаётся формулой:

При итерирование отображения кот Арнольда реализуются следующие операции. 1. Сдвиг в х-направлении на фактор 1

http://profbeckman.narod.ru/

x x yy y

2. Сдвиг в у-направлении на фактор 1

модулю (При вычислении операция по модулю находит остаток после деления одного

Отображение Г обратимо, поскольку матрица имеет определитель 1, и поэтому его инверсия целочисленная, фазовое пространство сохраняется, Г имеет единственную гиперболическую неподвижную точку (вершины квадрата). Линейное преобразование, определяющее отображение, является гиперболическим: его собственные значения являются иррациональными числами, одно больше, а другое меньше 1 (по абсолютной величине), поэтому они связаны соответственно с расширяющимся и сжимающимся собственным пространством. Они также являются устойчивыми и неустойчивыми многообразиями. Собственное пространство ортогонально, т.к. матрица симметрична. Так как собственные векторы имеют рационально независимые компоненты, то и собственные пространства плотно покрывают тор. Отображение кота Арнольда – широко известный пример гиперболического торического автоморфизма, который является автоморфизмом тора, заданного квадратной унимодулярной матрицей, не имеющей собственных значений абсолютной величины 1. Множество точек с периодической орбитой плотно на торе. Точка препериодическая тогда и только тогда, когда её координаты рациональны. Γ топологически транзитивна (т. е. существует точка, орбита которой плотная, это происходит, например, для любых точек на расширяющемся собственном пространстве). Число точек с периодом n равно | 1n+ 2n-2| (где 1 и 2 – собственные значения матрицы). Например, первые несколько членов этого ряда: 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205 ... (Это же справедливо для любого унимодулярного гиперболического торического автоморфизма при замене собственных значений.) Г является эргодическим и перемешивающим. Г – диффеоморфизм Аносова и структурно устойчив. То есть, с единицей, равной ширине квадратного изображения, изображение сдвигается на единицу вверх, затем на две единицы вправо, а всё, что лежит за пределами этого квадрата, сдвигается назад на единицу, пока оно не окажется внутри квадрата.

В ходе временной эволюции системы происходит растяжение кота, разрезание и помещение обратно в квадрат. Обычно любые 2 точки, расположенные вначале вблизи друг друга, быстро становятся разделенными друг от друга после повторяющихся применений отображения. Таким образом, отображение «кота» Арнольда представляет собой преобразование, которое растягивает изображение, состоящее из n×n пикселов, и

http://profbeckman.narod.ru/

эффективно сворачивает растянутые части для восстановления первоначальных размеров. Например, после некоторого числа итераций восстанавливается первоначальное изображение, подвергнутое преобразованию. Говорят, что преобразование Arnold cat map является периодическим с данным числом итераций.

Отображение кота Арнольда относится к классу консервативных систем. Оно является негамильтоновым, неаналитическим и перемешивающим. Однако оно сохраняет площадь, так как определитель равен 1: при действии отображения любая область (например, голова кота) сохраняет площадь.

Характеристические экспоненты Ляпунова задаются в виде

характеристического полинома D=5.

Рис. 48. Возвращение кота Арнольда. Берется двумерный квадрат (с котом), потом он пошагово преобразуется (продолжая оставаться квадратом) по очень простым правилам. В итоге картинка приходит в полностью хаотическое состояние - кот разорван на кусочки, равномерно заполняющие квадрат. Но если не остановиться и продолжить то же преобразование - и в итоге получим обратно кота. (Цифры под картинкой – количество повторных совершений преобразования).

При итерациях закрашенная область изображения кота вытягивается вдоль направления первого (неустойчивого) собственного вектора на

(первый показатель Ляпунова) и сжимается вдоль второго (устойчивого) собственного направления в

показатель Ляпунова). Отображение кота Арнольда принадлежит к гиперболическому типу, поскольку его собственные числа (3+51/2)/2 и (3-51/2)/2 (ни

параболическое, ни эллиптическое отображения свойством перемешивания не обладают). один из показателей Ляпунова положителен: известный признак наличия неустойчивости фазовых траекторий по отношению к возмущению начальных условий и главный атрибут динамического хаоса.

http://profbeckman.narod.ru/

После достаточно большого числа итераций изображение кота трансформируется в чрезвычайно узкою полосу, вытянутую вдоль неустойчивого собственного вектора. В целом картина выглядит как набор большого числа узких чередующихся чёрных и белых полосок, в которые превратились, собственно, множество точек, принадлежащих изображению кота, причём чёрные и белые полосы оказываются хорошо перемешанными.

Наблюдая за динамикой перемешивания полос, иногда можно заметить сложные, длительные хаотические режимы, скрытый порядок которых невозможно выявить без знания его алгоритма. Сложность процесса иллюстрирует эффект "возвращение кота" (рис. 48). Процесс перемешивание может быть строго детерминирован, но предсказать возвращение нет никакой возможности, кроме повторения процесса с самого начала. В этом смысле отображение ведёт себя подобно коту из известной притчи Киплинга – кот гуляет сам по себе.

Заметим, что несмотря на ограниченность пространства, деформация не ограничена по шкале масштабов, что обеспечивает бесконечное различение сценариев перемешивания, вследствие которого исходный образ в точности может не повториться никогда. Эту масштабную вложенность геометрически иллюстрирует объект, известный как "сапог Шварца".

Данное отображение является простой дискретной системой, которая растягивает и «складывает» траектории в фазовом пространстве. Это является одним из типичных свойств и особенностей хаотических процессов.

Рис. 49. Отображение кота Арнольда на примере фотографии Лины Седерберг (мисс Ноябрь журнала

«Плейбой» 1972 г.). Результатом многократного растяжения и складывания изображения (верхние ряды) будет однородное поле (центральные ряды). Однако на какомто этапе некоторые точки будут располагаться вблизи исходных положений, и исходное изображение внезапно появится вновь (нижний ряд). Однако оно отличается от исходного (траектории динамических систем совпадают друг с другом, только, если являются периодическими, а здесь имеют место хаотические орбиты. Лицо Лины появляется и исчезает бесконечное число раз. Так проявляет себя детерминированный хаос.

После достаточно большого числа итераций изображение кота превращается в чрезвычайно узкую полосу, вытянутую вдоль неустойчивого собственного направления, т.е. близкую

к длинному отрезку линии, заданной уравнением p=kx, k=(51/2-1)/2. Из-за того, что угловой коэффициент иррационален, эта линия покрывает поверхность тора всюду плотно. Поэтому картина выглядит как набор большого числа узких чередующихся черных и белых полосок, в которые превратились, соответственно, множество точек, принадлежащих изображению кота, и дополнение этого множества. "черная" и "белая" жидкости оказываются хорошо перемешанными. Свойство перемешивания в его точной

http://profbeckman.narod.ru/

математической формулировке строго доказывается для гиперболических отображений на торе и служит основанием для заключения о хаотической динамике этих систем.

Портрет Лины (рис. 49) демонстрирует теорему Пуанкаре о возвращении: если повторно применять одно и то же преобразование к системе, которая не может выйти за определенные границы, она бесконечное число раз будет возвращаться в состояние, близкое к оригиналу. Иными словами, рано или поздно все вернется на круги своя. Существование периодического решения означает, что если мы проткнули колесо велосипеда, то можно подождать и оно наполнится воздухом само по собой – так гласит теорема Пуанкаре. Увы! Ждать придётся дольше, чем существует Вселенная.

21.4Отображение Икеды (Ikeda map)

Кнастоящему времени в нелинейной динамике сложились две независимые ветви: исследование консервативных и диссипативных систем. Практически все методы исследования диссипативных систем связаны с исследованием структуры аттрактора, в то время как в консервативных системах аттрактор отсутствует, и поэтому решение зависит от начальных условий, так что даже при одних и тех же значениях параметров система может демонстрировать разнообразное поведение. Однако в некоторых системах можно наблюдать переход от диссипативной к консервативной динамике при непрерывном изменении соответствующего параметра. При этом при приближении к консервативному случаю возникает поведение, демонстрирующее черты как консервативной, так и диссипативной динамики („почти консервативное“ поведение). Для динамики систем с очень слабой диссипацией характерно наличие чрезвычайно большого числа сосуществующих низкопериодических аттракторов и значительное увеличение длительности переходного процесса. Динамика такой системы оказывается также весьма чувствительной к шуму. Консервативные системы, являясь в негрубыми, переходят в класс слабо диссипативных при незначительном изменении параметра, отвечающего за диссипацию. Для исследования общих свойств слабо диссипативных систем удобно изучать такие системы, которые при непрерывном изменении параметров могут демонстрировать и диссипативный, и консервативный, и почти консервативный (слабо диссипативный) тип поведения. Примером такой системы является отображение Икеды.

Отображение Икеды (1980) как модель, объясняющая возникновения сложной динамики в нелинейной оптической системе (возбуждение лазером кольцевого оптического резонатора, содержащего среду с фазовой нелинейностью). Резонатор возбуждается лучом лазера через полупрозрачное зеркало. Нетривиальные колебательные режимы могут реализоваться благодаря интерференции монохроматического сигнала на входе и модулированного по фазе сигнала, прошедшего через нелинейную среду.

Рис. 50. Кольцевой резонатор, возбуждаемый внешним источником когеррентного излучения, – физическая система, для которой предложено отображение Икеды.

Отображение Икеды возникает при анализе неизохронного осциллятора, возбуждаемого периодическими импульсными толчками

(осциллятор Дуффинга).

Отображение Икеды в комплексной записи

Соотношение (26) даёт выражение для амплитуды прошедшего через кольцевой резонатор излучения, при этом z имеет смысл безразмерной амплитуды излучения, B – безразмерной диссипации в среде, A – безразмерной интенсивности излучения лазера

http://profbeckman.narod.ru/

(безразмерная амплитуда), – безразмерный период воздействия. Параметр – параметр диссипации, характеризующий потерю резонатора, при Икеды становится консервативным (диссипация отсутствует), при B<1 – диссипативным (якобиан J=B2), при B ≈1 – слабо диссипативной, при В=0 диссипация бесконечно велика. На рис. показаны портреты хаотических аттракторов Икеды при различных значениях параметра А.

Для эта система имеет хаотический аттрактор.

При увеличении параметра A в системе Икеды происходит переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Для исследования динамики почти консервативной системы строят бифуркационные деревья (т. е. зависимости установившихся значений переменной x=Rez от параметра A) при различных значениях параметра диссипации B. При уменьшении диссипации количество сосуществущих низкопериодических аттракторов увеличивается. При этом их можно разделить на два типа. Аттракторы первого типа появляются при сравнительно небольших значениях параметра A и характеризуются большой длиной интервала по оси A, в котором они существуют. С увеличением А они приближаются к «основному» аттрактору, появляющемуся при A=0. Кроме того, они появляются при меньших значениях параметра B.

Рис. 52. Аттрактор Икеды при различном увеличении

Аттракторы второго типа появляются при больших значениях параметра A, характеризуются значительно более сложной динамикой, отвечающей сравнительно небольшим диапазонам управляющего параметра A, и, являются аттракторами периодов 2 и выше, так как на бифуркационной диаграмме для переменной |z|2 изображающие их точки появляются парами или большим числом точек одновременно. При визуальном исследовании на бифуркационной диаграмме почти не наблюдается хаотических аттракторов, что связано, вероятно, с тем, что они имеют бассейны

http://profbeckman.narod.ru/

притяжения с характерным размером меньше периода сетки начальных условий. Каскад удвоений периода для периодических аттракторов наблюдается, как правило, лишь до периода 2, что связано с тем, что в консервативном случае расстояния между точками двух последовательных удвоений периода уменьшаются значительно быстрее, чем в диссипативном.

Рис. 53. Эволюция аттрактора системы Икеда при изменении параметра 0,0 до 1,0. При росте u происходит бифуркация точек аттрактора.

В системе Икеды сосуществует большое число низкопериодических аттракторов, тем большее, чем меньше диссипация в системе, а также наблюдается весьма длительный переходный процесс. На начальных стадиях эволюции система со слабой диссипацией ведёт себя как консервативная, в частности демонстрирует непериодическое поведение, однако при длительной эволюции ее динамика становится Весьма интересным является вопрос об устойчивости возникающих в слабодиссипативном случае аттракторов к шумовому воздействию.

Влияние внешнего шума удобно рассматривать на модели:

где ξn – случайная вещественная величина, предполагавшаяся равномерно распределенной на симметричном относительно нуля отрезке.

Рис. 54. Траектории 2000 случайных точек в отображении Икеды при u= 0.918.

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 55. Бифуркационные деревья системы (26), построенные для набора начальных условий при различных значениях параметра B: a – B = 0.75; б – B = 0.9; в – B = 0.99.

Значение параметра ψ зафиксировано: ψ = 0.

Рис. 56. Бифуркационные деревья системы (2), построенные для набора начальных условий. Амплитуда внешнего шума ε = 0.005, значения параметров B = 0.99, ψ = 0.

В рамках модели неавтономного нелинейного осциллятора шумовое воздействие может рассматриваться как случайная модуляция амплитуды импульсов. Под влиянием шума существенная часть аттракторов, в том числе большинство аттракторов второго типа, разрушается, что свидетельствует о

малости их бассейнов притяжения, а длины интервалов по параметру A, в которых существуют остальные аттракторы, уменьшаются. Наблюдается резкое расширение некоторых аттракторов, исчезавших в автономной системе при некотором значении параметра A, непосредственно перед их исчезновением. Таким образом, при уменьшении диссипации в отображении Икеды наблюдается резкое увеличение числа сосуществующих низкопериодических аттракторов, а также длительности переходного процесса. В то же время большая часть этих аттракторов разрушается при воздействии´ на систему внешнего шума.

При изучении неавтономного осциллятора «естественными» параметрами являются амплитуда и период (частота) воздействия, т.е. интересна плоскость параметров (A, ψ). На рис. 55а, б показаны полученные численно карты динамических режимов для отображения (26) в случае большой (B=0.3) и малой (B=0.9) диссипации. Оттенками серого цвета показаны циклы различных

периодов.

Рис. 57. Карты динамических режимов (а, б) и основные бифуркационные линии (в, г) на плоскости параметров (A, ψ) отображения (26) при изменении параметра диссипации: B=0.3 (а, в); B=0.9 (б, г).

На рис. 57 в, г представлены соответствующие основные бифуркационные линии. При малом B на рисунках четко видны характерные для любого осциллятора структуры «crossroad area», состоящие из точки сборки с отходящими от нее линиями складок и

двух линий удвоения периода, одна из ветвей которых уходит вдоль «берега» складки. При увеличении параметра B области существования устойчивых периодических режимов прижимаются к оси A=0, в области хаоса становится заметно меньше периодических структур.

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 58. Фазовые портреты отображения (26) в консервативном случае для следующих значений параметров: A = 0.3, ψ = 3π/2 (а); A = 0.2, ψ = π (б); A = 0.4, ψ = 0 (в); A = 0.3, ψ = π/2 (г).

Рис. 57 в, г демонстрируют метаморфозы бифуркационной системы «crossroad area» (область перекрёстка) при увеличении параметра B. На линии, соответствующей равенству минус единице одного из мультипликаторов (линии удвоения периода), появляется участок, на котором бифуркация удвоения периода становится субкритической, то есть эта линия становится линией жесткого перехода

Она отделена от участков линии, на которых бифуркация удвоения периода является суперкритической, точками типа «вырожденный флип» (DP). От них отходят линии касательной бифуркации (складки) для цикла периода 2 (штриховые линии на рис. 56г). Эти точки появляются на линии удвоения периода при значении B=0.627, а при дальнейшем уменьшении диссипации расходятся все дальше друг от друга. С увеличением параметра B структура «crossroad area» сильно деформируется. Так, одна из линий складок и точка сборки (CP) все больше приближаются к оси A=0, и в консервативном случае они будут находиться прямо на этой оси. Чем ближе B к 1, тем сложнее построить четкую карту. Например, при B>0.9 граница областей существования устойчивых периодических режимов и хаоса из-за яркого проявления мультистабильности

имеет изрезанный вид, а процесс построения карты требует большего числа итераций и становится долгим из-за увеличения длительности переходного процесса.

Рис. 59. Фазовые колебания при нелинейном резонансе первого (а) и высшего (б) порядков.

Пунктир – невозмущенные колебания, тонкие кривые – фазовые колебания, жирная кривая – сепаратриса. Э – эллиптическая особая точка, Г – гиперболическая.

Рис. 60. Сравнение слабо диссипативного (а–в) и консервативного (г) случаев отображения (1).

Число пропущенных итераций: 200 (а); 370 (б); 660 (в). Значения параметров: A=0.5, ψ=3π/4.

В консервативном случае основным инструментом служит построение фазовых портретов. Системы замкнутых траекторий соответствуют наличию особых точек типа центр (эллиптических точек), а «выемки» на них –

наличию гиперболических особых точек (седел) снаружи. Фазовые портреты отображения (26) приведены на рис. 59. Их вид является типичным для фазовых портретов консервативного осциллятора под внешним воздействием: они представляют собой области, или «острова» периодичности, окруженные областями хаотического поведения системы – «хаотическим морем» При некоторых значениях параметров «хаотическое море» наблюдается не только снаружи, но и внутри «островов периодичности». На

фазовых портретах хорошо видны структуры, соответствующие фазовым колебаниям при нелинейном резонансе (рис. 59).

Рис. 61. Возникновение подковы при двукратной итерации в отображениях Эно (а=1,4, b=-0,7)

и Икеды (А=1,4, В=0,7)

http://profbeckman.narod.ru/

Для исследования системы в «почти консервативном» случае интересно рассмотреть облако изображающих точек при его конденсации на аттрактор на разных стадиях эволюции и сравнить его вид с видом фазовых портретов в консервативном случае (рис. 61).

Рис. 62. Фазовая диаграмма отображения Икеды

На представленных рисунках видно, что достаточно долго (в течение сотен итераций) облако изображающих точек примерно повторяет вид фазового портрета в консервативной системе, затем оно становится все менее четким, и в конечном итоге остаются «точечные» аттракторы. Хорошо видно, что аттракторы типа устойчивый фокус, отмеченные на рисунке звездочками, примерно повторяют положение особых точек типа центр в консервативном случае.

Среди большого множества аттракторов почти нет хаотических, что можно объяснить тем, что они имеют очень узкие бассейны притяжения с характерным размером меньше периода сетки начальных условий. Каскад удвоений периода для периодических аттракторов наблюдается лишь до цикла периода 2: в консервативном случае расстояния между последовательными точками бифуркаций удвоения периода уменьшаются гораздо быстрее, чем в диссипативном (соответствующая константа равна δH=8.7210972

существенно больше числа Фейгенбаума δ =4.6692016.).

Отвечающие большим периодам участки бифуркационных деревьев не отображаются на бифуркационной диаграмме при выбранном разрешении.

Рис. 63. Часть плоскости параметров нелинейной системы, отвечающей области crossroad – перекресток

В отображении Икеды переход к хаосу происходит, как правило, через каскад удвоения периода. Однако глобальная структура хаоса устроена сложным и

нетривиальным образом. В частности, имеются узкие полосы регулярной динамики, простирающиеся далеко в область, занятую хаосом. Основным блоком картины служит характерная конфигурация областей, показанная отдельно на рис. 63. К. Мира назвал её crossroad area – область перекрёстка. В этой области располагается точка сборки, к которой подходт, образуя характерное остриё, две линии складок. Складка здесь представляет собой геометрическое место точек бифуркации, отвечающих слиянию устойчивой и неустойчивой неподвижной орбиты одинакого периода. Эту бифуркацию называют седло-узловой или касательной бифуркацией (второй термин предпочтителен, когда говорят об одномерных отображениях, а первый – о системах с большой

размерностью фазового пространства).

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 64. Иллюстрация гистерезиса, наблюдаемого в окрестности точки сборки.

Линии складок можно рассматривать как края соответствующих листов карты. При обходе вокруг точки сборки система совершает перескок с одного листа на другой при пересечении определённой линии складки. В зависимости от направления обхода, скачок происходит на разных линиях, так что имеет место гистерезис (рис. 64). Между линиями складок находится область бистабильности, где при одних и тех же пааметрах в системе в зависимости от начальных условий может реальзоваться один из двух аттракторов. С каждым из них ассоциируется определённый лист карты динамических режимов, на котором имеется своя конфигурация областей, отвечающих метаморфозам этого аттрактора. В частности, на каждом листе представлены линии бифуркаций удвоения периода, области хаоса, а также вторичные сборки и вторичные перекрестки, организованные около этих сборок.