http://profbeckman.narod.ru/

17. ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС

Нелинейная динамика базируется на бифуркационной теории динамического (детерминированного) хаоса, которая использует математический аппарат нелинейных систем дифференциальных уравнений включая автономные и неавтономные, диссипативные и консервативные нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнения с частными производными и с запаздывающим аргументом. Теория нелинейной и хаотической динамики оказалась способной описать совершенно разные по своей природе научные, технические и социально-экономические процессы и явления с помощью близких моделей, и одних и тех же математических структур - нелинейных дифференциальных уравнений.

Теория нелинейной динамики уделяет существенное внимание хаотическим процессам, процессам возникновения и развития хаоса как в консервативных, так и диссоциативных системах, особенностям хаотических явлений различного типа, а так же проблеме управления хаосом. Интересуется она, однако, не истинным классическим (статистическим) хаосом, а детерминированным (динамическим) хаосам, т.е. частично упорядоченными структурами и процессами, в которых за кажущимся полным беспорядком можно усмотреть какой-то порядок, обнаружить следы предопределённости и как-то характеризовать хаотические процессы (например, найти аттрактор или репеллер), хотя спрогнозировать их долгосрочное поведение всё равно будет невозможно.

Динамических системы, описываемые ОДУ, имеют четыре типа решений: состояние равновесия, периодическое движение, квазипериодическое движение и хаотическое. В данной главе нас интересуют последнее. Основное внимание будет сосредоточено на анализе процессов перехода от регулярной динамики к хаотической, а так же на некоторых свойствах динамического (детерминированного) хаоса.

17.1 Хаос статистический и динамический

Порядок необходим глупцам, гений же властвует над хаосом.

А. Эйнштейн

Под классическим (идеальным, недерминированным, статистическим, стохастическим) хаосом понимают полный (идеальный) беспорядок, полностью разупорядоченную структуру (например, аморфное тело, на рентгенограмме которого нет каких-либо рефлексов), неупорядоченное, случайное, непрогнозируемое поведение элементов системы, процесс, описываемый чисто статистическими законами (например, броуновское движение, белый шум и т.п.). Процесс статистического хаоса не помнит своей истории и его будущее не определено. Для таких процессов понятия аттрактор не существует.

Беспорядок – отсутствие или нарушение порядка, упорядоченности системы, последовательности в чем-либо.

Хаос – беспорядок, неразбериха, смешение. Понятие возникло от названия в древнегреческой мифологии изначального состояния мира, некой «разверзшейся бездны» (а не беспорядочного состояния), из которой возникли первые божества. Лишь в раннехристианские времена этому слову стали приписывать значение беспорядка. Хаос – первичное состояние Вселенной, бесформенная совокупность материи и пространству (в противоположность порядку).

Хаос – сложное, нерегулярное (апериодическое) изменение состояния физической системы в пространстве и/или во времени.

Хаос – это состояние беспорядка и нерегулярности. Хаотические процессы можно подразделить на два вида: случайные процессы и хаотические процессы.

В хаотическом режиме статистические закономерности определяются числом степеней свободы. Хаос – это отражение сложного поведения большого количества частиц, которые, сталкиваясь, создают картину неупорядоченного поведения. Примерами

http://profbeckman.narod.ru/

хаотических процессов являются: метание шарика в рулетке, броуновское движение частицы под случайными ударами «соседей», беспорядочные вихри турбулентности, образующиеся при течении жидкости с достаточно большой скоростью, диффузия и т.п. В броуновском движении молекул в газовой или жидкой среде имеет место хаотические тепловые перемещения громадного числа молекул (частиц), случайным образом ударяющих по другим молекулам (частицам), вынуждая их к случайным блужданиям. Такой процесс оказывается полностью непредсказуемым, недетерминированным, поскольку точно установить последовательность изменений в направлении движения частицы невозможно. Из этого следует невозможность выведения таких закономерностей, которые позволяли бы точно прогнозировать каждое последующее изменение траектории частицы по предыдущему ее состоянию. Здесь нельзя связать между собой причину и следствие. Однако некоторые усредненные характеристики поведения в состоянии

недетерминированного хаоса можно найти, например, расстояние, пройденное частицей за некоторое время.

Рис. 1. Символ хаоса.

Истинно хаотический процесс случаен – управлять им нельзя. Хаос – предельный случай беспорядка; это полная непредсказуемость системы, нерегулярность движения, неповторяемость траекторий. Предсказать развитие случайного процесса невозможно, можно лишь ставить вопрос о вероятности того или иного варианта его эволюции, хотя некоторые

параметры процесса (математическое ожидание, медиана, дисперсия) оценить удаётся, хотя и не всегда.

Идеальному хаосу противостоит идеальный порядок. Примером является монокристалл с чётко определённым типом кристаллической решётки и расположением атомов. Под порядком понимают чёткую, подчиняющуюся определенному порядку смену событий в окружающем пространстве и во времени. Например, понаблюдав за Луной и Солнцем, мы с высокой точностью можем предсказать даты будущих солнечных и лунных затмений и написать историю этих затмений. Хотя и здесь возможны непредсказуемые флуктуации.

Порядок – гармоничное, ожидаемое, предсказуемое состояние или расположение чего-либо, структурированный хаос.

В теории линейных динамических систем под порядком понимают детеpминиpованный процесс, т.е. процесс, каждый шаг которого пpедопpеделен некоторыми закономерностями, которые хорошо известны, так что с большой степью вероятности можно предсказать эволюцию системы (в пределах точности измерений).

Порядок способен трансформироваться в хаос, а хаос рождать порядок. Известные тезисы: анархия – мать порядка, хаос – порядка отец; хаос всегда побеждает порядок, поскольку лучше организован. (Терри Пратчетт); хаос – закономерности, которые мы не сумели распознать (Чак Паланик); хаос – сущность порядка отражают взаимопревращения порядок-беспорядок.

Между идеальным хаосом и идеальным порядком располагаются в той или иной мере разупорядоченные структуры (например, частично кристаллические полимеры типа полиэтилена или полипропилена) и процессы динамического хаоса, которые внешне выглядят случайными, хаотичными, но управляются вполне определёнными (детерминированными) законами. Оказалось, что вполне упорядоченная структура, развивающаяся по чётко определённому закону, при монотонном изменении управляющего параметра, неожиданно подвергаются бифуркациям, катастрофам, срывается в хаотический режим, в котором один тип хаоса сменяется другим типом, а хаотические и регулярные стадии начинают чередоваться. Описание таких процессов является основной задачей теории нелинейной динамики.

http://profbeckman.narod.ru/

Замечание. Основное различие между статистическим (статическим) и детерминированным видами хаоса заключается в том, что для каждого вида динамического хаоса существует свой аттрактор (регулярный для консервативной системы) и "странный" (фрактальный) для диссипативной системы, тогда как у случайного хаоса (например, диффузии, броуновского движения, белого шума) аттрактора нет. Детерминированный хаос относится к ограниченной случайности, им можно управлять и даже прогнозировать, правда, только на короткие отрезки времени.

Если статический хаос несёт разрушение, деструкцию, то динамический хаос способен создавать структуры самой невероятной упорядоченности, обладающие многими осями симметрии, многоступенчатой иерархией, тенденцией к усложнению.

Примерами систем, в которых обнаруживаются элементы случайного, хаотического поведения: атмосфера, турбулентные потоки, некоторые виды аритмий сердца, биологические популяции, общество, как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы, частично кристаллические полимеры и др.

Поведение детерминированной системы кажется случайным, хотя оно определяется детерминированными законами.

Внеустойчивых (стохастических) областях фазового пространства расхождение двух изначально бесконечно близких траекторий увеличивается с течением времени экспоненциально. Такие системы и считают хаотическими. Возникновение хаоса может показаться несовместимым с основным свойством детерминированной системы, подразумевающим возможность однозначного предсказания конечного состояния по начальному состоянию. Однако оказывается, что допустим хаотический режим движения динамической системы, при котором сколь угодно малая неопределенность в начальных условиях быстро нарастает во времени, так что предсказуемость поведения системы становится недостижимой на достаточно больших интервалах времени. Такого рода режимы характеризуются нерегулярным, хаотическим изменением динамических переменных во времени.

Вфазовом пространстве диссипативных систем этим процессам отвечают странные или хаотические аттракторы, являющиеся образом детерминированного хаоса. С подобными аттракторами связаны новые (по отношению к классической геометрии) геометрические объекты – фрактальные множества. Важным свойством является размерность странного аттрактора, которая обычно является дробной (фрактальной), а не целой. В частном случае трёхмерного фазового пространства фрактальное множество странного аттрактора выглядит как набор бесконечного числа слоёв или параллельных плоскостей, причём расстояние между некоторыми из них бесконечно мало. Существование фрактальной структуры у подобных притягивающих множеств при асимптотическом стремлении к ним фазовых траекторий можно отнести к одной из парадигм нелинейной динамики.

Вконечномерных гладких динамических системах могут наблюдаться принципиально различные формы хаоса. В макромире возможен диссипативный хаос при котором близкие фазовые траектории вне зависимости от начальных условий стремятся со временем к нерегулярному (странному, дикому и т.п.) аттрактору; динамический хаос в консервативных и гамильтоновых системах и консервативный хаос, для которого всё фазовое пространство является большим «хаотическим морем» с беспорядочно расположенными внутри него эллиптическими островами, где близкие траектории не стремятся к одному аттрактору, а решения существенно зависят от конкретных начальных условий; и смешанная динамика, характеризующаяся принципиальной неотделимостью в фазовом пространстве аттракторов, репеллеров и консервативного поведения траекторий.

Вмикромире в квантовомеханических системах возможен квантовый хаос при котором в силу принципа неопределённости понятие близких траекторий вообще отсутствует.

http://profbeckman.narod.ru/

В данной главе мы под хаосом будем подразумевать именно динамический хаос и будем интересоваться системой, которая без всяких шумов и случайностей ведёт себя хаотически.

Детерминированный (регулярный, динамический) хаос – явление в теории динамических систем, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то, что оно определяется детерминистическими законами. Это нерегулярное апериодическое детерминированное поведение динамической системы, обладающее основными свойствами случайного процесса и крайне чувствительное к начальным условиям. Бесконечно малое возмущение граничных условий для хаотической динамической системы приводит к конечному изменению траектории в фазовом пространстве. Хаос – случайный процесс, наблюдаемый в динамических системах, не подверженных влиянию шумов или каких-либо случайных сил.

Хаос динамический (хаос детерминированный) – нерегулярное, апериодическое изменение состояния (движение) динамич. системы, обладающее осн. свойствами случайного процесса. Грань хаоса – критическая точка системы, в которой незначительное изменение может либо вызвать хаотическое поведение системы, либо замкнуть систему в статическом состоянии. Эта точка аналогична фазовому переходу в термодинамике. В этой точке сложность (количество информации, требуемое для описания системы) максимальна. Без внешнего воздействия система обычно стремится к точке грани хаоса.

Напомним, что принцип детерминизма гласит: если мы знаем текущее состояние какой-либо системы и законы её эволюции, то мы можем предсказать будущее поведение этой системы. Однако, в природе есть системы, полностью детерминистические в ньютоновском смысле, но их будущее в определённом интервале параметров принципиально нельзя рассчитать.

Теория динамического хаоса – математический аппарат, описывающий поведение нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос.

Для количественного измерения хаотичности некоторой системы используется понятие энтропии, которая одновременно характеризует информационную ёмкость системы. Основным атрибутом динамического хаоса является чувствительность к малым возмущениям начальных условий, что делает невозможным предсказание будущего состояния на временах больше, чем некоторый характерный масштаб, который обычно зависит логарифмически от неточности начальных условий.

Теория динамического хаоса – наука о непредсказуемом поведении простых динамических систем.

Хаотическая динамическая система – система, в которой все ее траектории ограничены, но быстро расходятся в каждой точке фазового пространства; в системе детерминированного хаоса небольшое изменение начальных условий приводит к существенным изменениям во всей траектории; процессы в динамической системе описываются странным аттрактором.

От регулярного движения детермированный хаос отличается сложными, неповторяющимися траекториями и непредсказуемостью поведения системы при больших временах (зависимость от начальных условий). От случайного процесса детермированный хаос отличается тем, что в нём нерегулярность происходит из самой системы, а не от внешнего фактора (шум, флуктуации).

Обратным к динамическому хаосу является динамическое равновесие и явления гомеостаза.

Динамическое равновесие – состояние системы или структуры, в которой, несмотря на ее изменения, общее соотношение или конфигурация сил и энергии остается постоянным. Гомеостаз – саморегуляция, способность открытой системы сохранять постоянство своего внутреннего состояния посредством скоординированных реакций, направленных на поддержание динамического равновесия. Стремление системы воспроизводить себя, восстанавливать утраченное равновесие, преодолевать сопротивление внешней среды.

http://profbeckman.narod.ru/

Существуют два класса динамических систем – консервативные (и гамильтоновы) системы с динамикой, сохраняющей начальный объём фазового пространства, и диссипативные системы, для которых с течением временем облако точек в фазовом пространстве RN сжимается и собирается в итоге на одном или нескольких аттракторов (притягивающее множество точек в фазовом пространстве, к которому приближаются все соседние траектории после затухания переходных процессов).

Диссипативная среда распределенная физическая система, в которой энергия одних движений или полей (обычно упорядоченных) необратимым образом переходит в энергию других движений или полей (обычно хаотических).

Гамильтонова система частный случай динамической системы, описывающей физические процессы без диссипации. В ней силы не зависят от скорости.

Гамильтонова (каноническая) система система обыкновенных дифференциальных

гамильтонианом, системы.

В автономном случае (когда H не зависит явно от времени t) гамильтонова система называется консервативной системой, поскольку в этом случае функция H (имеющая физический смысл энергии) является первым интегралом (т. е. энергия сохраняется при движении).

Консервативная система – система, в которой сумма кинетической энергии и потенциальной энергии системы постоянна. Может быть как закрытой, так и открытой. Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от вида траектории, точки приложения этих сил и закона их движения, и определяется только начальным и конечным положением этой точки.

Неконсервативная сила – сила, которая зависит от траектории. Неконсервативные силы зависят от вектора скорости (от его модуля или направления). Работа таких сил может приводить к диссипации энергии. Неконсервативными являются силы трения и сопротивления.

Хаотическая динамика свойственна всем нелинейным физическим явлениям. Детерминированный хаос возникает при разрушении порядка. Конкретный его вид зависит от путей его возникновения. Хаос конструктивен в самой своей разрушительности: он «выжигает» все лишние структурные образования - нежизнеспособные, неустойчивые, не встраивающиеся в общую структуру системы.

Хаотическая - любая система, способная претерпевать существенные изменения в результате малейшей модификации исходных условий, причём невозможно предугадать, в какую сторону пойдут эти изменения. Она одновременно детерминирована (в теории) и непредсказуема (на практике). Наше знание об её актуальном состоянии никогда не бывает настолько точным, чтобы прогнозировать отдаленные во времени состояния. Однако при всей своей непредсказуемости хаотические явления детерминированного типа всё же не относятся к числу иррациональных.

Причиной появления хаоса является неустойчивость (чувствительность) по отношению к начальным условиям и параметрам: малое изменение начального условия со временем приводит к сколь угодно большим изменениям динамики системы. Динамику, которая чувствительна к малейшим изменениям начальных условий системы, из которых начинается её развитие, и в которой эти малейшие отклонения со временем многократно приумножаются, затрудняя предсказание будущих состояний системы, называют хаотичной. Например, траектория движения механической системы определена, если даны начальные условия. Если система устойчива, не хаотична, то незначительное изменение начальных условий, из которых начинается движение, не приведёт к заметному отличию новой траектории от прежней; возможно даже, что новая траектория движения

http://profbeckman.narod.ru/

со временем совпадёт с прежней. Но если система хаотична, неустойчива, то хотя сначала старая и новая траектории близки, однако со временем их траектории расходятся, т. е. система проявляет высокую чувствительность к начальным условиям. Так как начальное состояние системы нельзя задать абсолютно точно, то приходится рассматривать некоторую область начальных условий. При движении в ограниченной области пространства экспоненциальная расходимость с течением времени близких орбит приводит к перемешиванию начальных точек по всей области. После такого перемешивания не имеет смысла говорить о координате конкретной частицы, более целесообразным является переход к статистическому описанию процесса, т. е. к определению вероятности нахождения частицы в некоторой точке.

В фазовом пространстве детерминированный хаос отображается непрерывной траекторией, располагающейся во времени без самопересечения (иначе процесс замкнулся бы в цикл) и постепенно заполняющей некоторую область фазового пространства. Здесь любую сколь угодно малую зону фазового пространства пересекает бесконечно большое количество фрактально организованных отрезков траектории. Это и создает в каждой зоне случайную ситуацию – хаос. При этом, несмотря на детерминизм процесса ход его траектории непредсказуем: не удаётся предвидеть или хотя бы грубо предсказать поведение системы на достаточно большом отрезке времени.

Наблюдаемое во времени хаотическое поведение возникает не из-за внешних источников шума, не из-за бесконечного числа степеней свободы и не из-за неопределенности, связанной с квантовой механикой (рассматриваемые системы чисто классические). Настоящая первопричина нерегулярности определяется свойством нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства. Невозможно предсказать длительное поведение таких систем, поскольку начальные условия можно задать лишь с конечной точностью, а ошибки экспоненциально нарастают. При решении такой нелинейной системы уравнений на компьютере, результат на всё более дальних временах зависит от всё большего количества цифр в (иррациональных) числах, представляющих начальные условия. Так как цифры в иррациональных числах распределены нерегулярно, траектория становится хаотической. Хаотические процессы в диссипативных системах с потерями обнаруживают фрактальную структуру фазовых портретов, в то время как в бездиссипативных системах такая структура отсутствует. Важным обстоятельством является тот факт, что степень упорядоченности динамического хаоса довольно часто можно рассчитать. Меру даёт геометрия фракталов.

Системы детерминированного хаоса позволяют по другому относиться к использованию статистических подходов к повышению надёжности эксперимента. Согласно традиционной статистике, чем больше мы проведём параллельных экспериментов, тем надежнее будут установлены изучаемые зависимости. К детерминированным системам это абсолютно не применимо – здесь имеет место эффект принципиальной невоспроизводимости эксперимента. Мы можем ставить один и тот же эксперимент, точнейшим образом воспроизводить начальные условия, и получать повторяемые результаты, но в один прекрасный момент (предсказать его мы не можем) наблюдения начнут давать совершенно несхожие результаты.

Теория динамического хаоса утверждает, что сложные нелинейные системы наследственно непредсказуемы, но, всёже некоторые их свойства выразить можно, правда не в точных равенствах, а в фазовых портретах, графиках регулярных или странных аттракторов, во фракталах и т.п. Поэтому теория хаоса, при всей своей непредсказуемости, есть наука о предсказуемости нестабильных систем. Теория хаоса сосредотачивает усилия не на беспорядке системы – наследственной непредсказуемости системы – а на унаследованном ей порядке – общем в поведении похожих систем. Динамический хаос - это порядок. Порядок в высшем смысле!

http://profbeckman.narod.ru/

Система (например, консервативная) выглядит стабильной и устойчивой, но эта стабильность не является неизменной. При определенных внешних условиях характер коллективного взаимодействия элементов изменяется радикально. Доминирующую роль начинают играть положительные обратные связи, которые не подавляют, а наоборот – усиливают индивидуальные движения составляющих. Флуктуации, малые движения, незначительные прежде процессы выходят на макроуровень, так что возникают новые структуры, нового порядка, новой организации в исходной системе.

Флуктуации – случайные отклонения характеристик системы от средних значений. Флуктуации, будущие альтернативы, конкурируют, и побеждает наиболее быстрорастущая из них – порядок через флуктуации. Это и есть процесс самоорганизации в режиме становления.

Флуктуации – обусловленные случайными факторами небольшие колебания (случайные отклонения мгновенных значений) физических и иных величин вокруг средних значений. Служат показателем хаотичности процессов на микроуровне системы, которые при некоторых условиях могут играть роль "пускового механизма" для изменения направления развития системы.

Рис. 2. Эволюция стандартного отображения при увеличении числа итераций N. Демонстрация эффекта перемешивания.

Чем дальше система уходит от равновесия, тем больше колебательных частот появляется в системе. Взаимодействие колебаний с разными частотами способствует возникновению больших флуктуаций. Область на бифуркационной диаграмме, определяемая значениями параметров, при которых возможны сильные флуктуации, обычно принято называть хаотической. Но это не простой хаос. В нем содержатся те аттракторы, на один из которых система выйдет, образовав диссипативную структуру. Такой хаос чреват порядком, он-то и называется детерминированным хаосом, в отличие от теплового хаоса, который соответствует равновесным состояниям, определяемым в термодинамике принципом максимума энтропии. Динамическая система в хаотическом

http://profbeckman.narod.ru/

состоянии – это своего рода сепаратор, отбрасывающий большинство случайных последовательностей и сохраняющий лишь те из них, которые совместимы с динамическими законами данной системы.

Начальное состояние реальной физической системы нельзя определить с абсолютной точностью. Можно задать только распределение вероятности нахождения системы в некоторой (малой) область фазового пространства. В течении некоторого времени траектории из начальной области движутся вместе и этот "пакет" действительно ведет себя как частица. Однако неустойчивость приводит к растяжению (и деформации) начальной области и расползанию её по фазовому пространству (рис. 2).

Этот процесс напоминает расплывание капли чернил в жидкости при перемешивании. Если движение ограничено в пространстве, то через некоторое время пакет перемешивается по этой области. Так как конечное состояние опять нельзя определить абсолютно точно, то следует провести усреднение (огрубление) распределения на малых масштабах. После этого удаётся предсказать только вероятность нахождения системы в той или иной точке фазового пространства.

На рис. 2 показано расплывание красной квадратной области при итерациях стандартного отображения. N - число итераций. Так, например, для рассмотренного выше квадратичного отображения плотность распределения точек орбиты одинакова почти для всех начальных xo. Поэтому на больших временах естественно перейти к статистическому описанию детерминированной динамической системы и заменить среднее по траектории

на среднее по инвариантному распределению.

Сложно устроенное множество может оказаться отталкивающим странным канторовым репеллером. Близкая к нему траектория в течение длительного времени хаотически блуждает в его окрестности, прежде чем выйти на регулярный аттрактор. Это явление называется переходным хаосом.

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма квадратичного отображения.

Для квадратичного отображения xn+1=fc(xn)=xn2+C области значений параметра C, соответствующие регулярной динамики плотны в интервале [-2, 1/4]. Поэтому сколь угодно близко к Cch с хаотической

динамикой найдется регулярная область с притягивающим циклом. Однако при приближении к Cch период орбиты растет, длительность переходного хаоса стремится к бесконечности и практически невозможно отличить регулярную динамику от хаотической. Сложное переплетение области регулярной и хаотической динамики показано на бифуркационной диаграмме (рис. 3).

Следует различать детерминированный хаос в консервативных системах (например, движение планет, подчиняющееся гамильтоновым уравнениям) и в диссипативных системах (например, возбуждаемый маятник с трением). Обычно обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие такие системы, имеют довольно простые решения (например: осциллятор, кеплеровские орбиты планет, предельные циклы генератора Ван-дер-Поля). Однако, оказалось, что и простые нелинейные системы могут обладать чрезвычайно запутанными траекториями, которые выглядят совершенно хаотическими.

http://profbeckman.narod.ru/

Возможность хаотического поведения в консервативных системах известна давно. В 1892 А. Пуанкаре при поиске решений задачи трёх тел в небесной механике обнаружил, что в некоторых механических системах, эволюция которых во времени определяется уравнениями Гамильтона, возможно непредсказуемое хаотическое поведение. Оказалось, что решения многих задач динамики чувствительны к начальным условиям и поэтому детали движения тел по орбитам оказываются непредсказуемыми. Например, неинтегрируемая задача трёх тел, в определённых условиях приводит к полностью хаотическим траекториям.

Частным случаем задачи трёх тел является движение пробной частицы в гравитационном поле двух неподвижных точечных масс. Даже если движение происходит в одной плоскости, траектория частицы выглядит чрезвычайно сложной и запутанной. Она, то обвивается вокруг одной из масс, то неожиданно перескакивает к другой. Первоначально близкие траектории очень быстро расходятся.

Впоследствии было показано, что неинтегрируемых систем в механике много. Неустойчивость – их важная характеристика. Теперь известно, что в классической механике движение в фазовом пространстве не является ни полностью регулярным, ни полностью нерегулярным, а тип траектории зависит от выбора начальных условий.

Консервативные системы не могут иметь притягивающие области в фазовом пространстве, т. е. в них невозможны асимптотически устойчивые неподвижные точки, предельные циклы или странные аттракторы.

Вдиссипативных системах хаотическая динамика развивается в рамках определённой структуры. Эту структуру трудно изучать обычными методами изучения динамики, например, откладывая зависимость отклика от времени или получая частотный спектр. Порядок следует искать в фазовом пространстве (по осям которого отложены координата и скорость). Попутно можно обнаружить, что хаотические движения обладают фрактальной структурой.

Диссипативные структуры являются результатом противоборства двух противоположностей: накачки энергии средой в систему и оттока энергии за счет теплопроводности или излучения; притока массы реагирующих веществ и рассеяния их за счет диффузии или стока продуктов реакции. Иными словами, диссипативные структуры возникают на потоке энергии или массы (а также информации).

Вотличие от консервативных, диссипативные динамические системы, характеризуются сокращением объемов фазового пространства с увеличением времени. Из-за диссипации динамика системы, фазовое пространство которой является n-мерной, в конечном итоге будет ограничено подмножеством размерности, меньшим n.

Диссипативные системы независимо от вида устойчивости уменьшают фазовый объем во времени до нуля. Поэтому диссипативная система может переходить в упорядоченное состояние в результате неустойчивости предыдущего неупорядоченного состояния. Первоначально устойчивая диссипативная структура в процессе своей эволюции достигает критического состояния, отвечающего порогу устойчивости структуры, начинает осциллировать, а возникающие в ней флуктуации приводят к самоорганизации новой, более устойчивой структуры на данном иерархическом уровне эволюции. При этом важным является тот факт, что как и в диссипативных системах, переходы устойчивость – неустойчивость – устойчивость контролируются кумулятивной обратной связью. Она отличается от регулируемой извне обратной связью тем, что позволяет самоорганизовывать такую внутреннюю структуру, которая повышает степень

ееорганизации. Таким образом, кумулятивная обратная связь за счёт накопленной внутренней энергии позволяет системе осуществлять не просто обратное взаимодействие, учитывающее полученную информацию о предыдущем критическом состоянии, но и обеспечивать сохранение или повышение организованности структур.

Тип диссипативной структуры в значительной степени зависит от условий её образования. Например, существенную роль в отборе механизма самоорганизации могут