7.7Квантовая информатика

http://profbeckman.narod.ru/

|>, а сопряжённый вектор, соответствующий состоянию , как <|. Скалярное произведение векторов |> и < > обозначим <|>, а образ вектора |> под действием оператора F – как F|>. Символ <| называется бра (bra), а символ , как |> – кет (ket). Подобные обозначения согласуются с обозначениями обычной линейной алгебры, но более удобны в квантовой механике, т. к. позволяют более наглядно и коротко называть используемые векторы. Названия векторов образованы разбиением слова bracket (скобка) на две звучные части – bra и ket. При рассмотрении квантовой системы, состоящей из двух подсистем, пространство состояний строится в виде тензорного произведения. Подобные системы, помимо комбинаций состояний своих подсистем, имеют также и сцепленные (запутанные) состояния.

Начнём с некоторых определений.

Квантовая физика – раздел теоретической физики, в котором изучаются квантовомеханические системы и законы их движения. Основные законы квантовой физики изучаются в рамках квантовой механики и квантовой теории поля и применяются в других разделах физики.

Квантовая механика – раздел теоретической физики, описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной Планка. Предсказания квантовой механики могут существенно отличаться от предсказаний классической механики. Поскольку постоянная Планка является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием объектов при макроскопическом движении, квантовые эффекты в основном проявляются в микроскопических масштабах. Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику. В свою очередь, квантовая механика является нерелятивистским приближением (то есть приближением малых энергий по сравнению с энергией массивных частиц системы) квантовой теории поля. Основными понятиями квантовой кинематики являются понятия наблюдаемая и состояния.

Квантовая статистика – раздел статистической механики, в котором n-частичные квантовые системы описываются методом статистических операторов комплексов частиц (редуцированными матрицами плотности). Число частиц n может быть произвольным натуральным (конечным) числом или бесконечностью. В узком смысле под квантовой статистикой имеют в виду статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.

Квантовая информатика – раздел науки на стыке квантовой механики, теории алгоритмов и теории информации. В квантовой информатике изучаются общие принципы и законы, управляющие динамикой сложных квантовых систем, в том числе - квантовом компьютере. Занимается вопросами квантовых вычислений и квантовых алгоритмов, физикой квантовых компьютеров, квантовой криптографией и квантовой теорией информации. Много внимания уделяет запутанным квантовым состояниям и порождаемым ими нелокальными свойства квантовой физики многих тел.

Квантовая информация – раздел науки на стыке квантовой механики, и теории информации, включающей вопросы квантовых вычислений и квантовых алгоритмов, квантовых компьютеров и квантовой телепортации, квантовой криптографии и проблемы декогерентности. Базовым понятием классической теории информации является кубит, принимающий значения 0 или 1.

Кубит – единица информации. Кубиты (квантовые биты) могут находиться в состоянии, являющемся суперпозицией 0 и 1. Несколько кубитов могут быть в запутанном состоянии (entangled). Возможность нахождения в суперпозиции - фундаментальное отличие кубита от классического бита; возможности работы с этой суперпозицией имеют серьёзные ограничения: нельзя достоверно узнать в каком состоянии находится кубит. Есть лишь возможность измерить его. В отличие от битов, кубиты могут принимать бесконечно много различных состояний и представляют собой системы, квантовые состояния которых описываются вектором двумерного гильбертова пространства.

Квантовый компьютер – вычислительное устройство, использующее явления квантовой суперпозиции и квантовой запутанности для передачи и обработки данных.

http://profbeckman.narod.ru/

Квантовая наблюдаемая (наблюдаемая квантовой системы) – линейный самосопряжённый оператор, действующий на сепарабельном (комплексном) гильбертовом пространстве чистых состояний квантовой системы. Норма оператора - наибольшая абсолютная величина измеряемого числового значения физической величины.

Волновая функция, или пси-функция – комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом

разложения вектора состояния по базису (обычно координатному): t x,t xdx где x x1, x2 ,...,xn – координатный базисный вектор, а x,t x | t – волновая функция

в координатом представлении. Плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении. Волновая функция - метод описания чистого состояния квантовомеханической системы. Смешанные квантовые состояния описывают оператором типа матрицы плотности; некая обобщённая функция от двух аргументов должна описать корреляцию нахождения частицы в двух точках

Среднее значение физической величины А, оператором которой является Â, а квантовое состояние описывается волновой функцией , в х представлении равно:

где (*) означает комплексное сопряжение.

Квантовое состояние – любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Оно может быть чистым, смешанным или запутанным.

Чистое сотояние квантовой системы – состояние, которое можно описать волновой функцией ψ(x)= x|ψ , Это полностью указанное квантовое состояние. Вся классическая квантовая механика основана на применении чистых ансамблей.

Смешанное состояние квантовой системы (смесь состояний) – состояние системы,

которая с разной вероятностью находится в некотором дискретном наборе n состояний (дискретный базис), каждое из которых описывается своей волновой функцией i. Для полного описания смешанного состояния недостаточно задания одного вектора состояния

| >.

Среднее значение какой-либо физической величины A в смешанном состоянии определяется как:

где pi – вес состояния i.

Оператором плотности вероятности, соответствующим чистому состоянию,

а оператором плотности, соответствующим плотности вероятности смешанного состояния, является

http://profbeckman.narod.ru/

Таким образом, среднее значение наблюдаемой A для состояния, заданного матрицей плотности , представляет собой след произведения операторов A и :

Плотность состояний – величина, определяющая количество энергетических уровней в интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади – в двумерном случае).

Матрица плотности (оператор плотности, оператор матрица плотности, статистический оператор) – один из способов описания состояния квантовомеханической системы.

Оператор плотности, , – неотрицательный самосопряженный оператор с единичным следом, действующий в пространстве состояний (в сеперабельном гибельртовом пространстве). Равенство следа единице соответствует единичной нормировке полной вероятности на данном пространстве состояний: Tr( )=1.

След матрицы – операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц – в поле действительных чисел, для комплексных матриц – в поле комплексных чисел).

Оператор плотности имеет единичный след; является неотрицательно определённым; смесь состояний i с вероятностями pi описывается матрицей плотности

pipi . След матрицы – это сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы,

i

т.е. если aij элементы матрицы A, то её след trA aii (т.е. Тr(A)=a11+a22+...+aii+...+ann.). В

i

математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: TrA (от англ. trace – след), и SpA (от нем. Spur – след). След матрицы плотности равен единице в силу нормировки полной вероятности: Tr( )=1; след квадрата матрицы плотности равен единице для чистых состояний и всегда меньше единицы для смешанных: Tr(2)1 и Tr(2)=1|><|. След матрицы a=aik – сумма его диагональных компонент:

точками являются чистые состояния Матрица плотности – оператор плотности распределения вероятности различных

состояний рассматриваемой системы. Из вектора состояния (матрицы плотности) можно получить все физические величины (динамические переменные), которые используются при классическом описании системы (энергию, координаты, импульсы, моменты импульсов и т. д.). Причём величины не только скалярные, но и векторные, а также функции от этих величин. Важное свойство матрицы плотности – это её эрмитовость: любая матрица плотности симметрична, её недиагональные элементы расположены парами симметрично относительно главной диагонали. В комплексном случае эти пары комплексно сопряжены. Симметричная структура матрицы плотности следствие корреляций в системе всегда выступающей парами: если одна подсистема взаимодействует с другой, то и вторая коррелирует с первой – это одно и то же взаимодействие. Все собственные значения матрицы плотности вещественны (нет комплексных чисел) и неотрицательны (больше нуля или равны ему). Для матрицы плотности всегда существует унитарное преобразование, которое приводит её к диагональной форме, и по диагонали будут стоять неотрицательные вещественные числа.

Матрица плотности описывает как замкнутые системы (чистые состояния), так и открытые системы (смешанные состояния), т.е. системы, взаимодействующие как со своими частями, так и с окружением. Необходимость её использования для описания квантовых систем связана с тем, что формализм волновой функции описывает замкнутые системы, т. ес. только чистые состояния. Пространство же состояний для матрицы плотности это не только набор всех дискретных (базисных) состояний, это и все

http://profbeckman.narod.ru/

возможные корреляции между ними. Поэтому матрица плотности в квантовой статистике играет роль, подобную функции распределения Гиббса в классической статистической физике.

Квантовые состояния, соответствующие векторам, называются чистыми, остальные

– смешанными.

След квадрата матрицы плотности:

ii*

Это выражение можно использовать в качестве меры чистоты состояния системы

(параметр чистоты Tr( ˆ)2 ). Для чистых состояний только одно значение – p = 1, все остальные pi = 0, и =1. Для смешанных состояний всегда <1.

Оператор плотности, отвечающий чистому состоянию | > есть ортогональный проектор 2= =| >< |. Если данный квантовый объект (например, какая-то элементарная частица) находится в чистом состоянии, это означает, что вся информация о нём есть. Однако чистых состояний оказывается недостаточно для описания статистической системы и необходимо введение смешанных состояний.

Если система незамкнутая (открытая), то это смешанное состояние, и тогда она не описывается вектором состояния (волновой функцией), но её можно описать матрицей плотности, являющейся неотрицательным самосопряжённым оператором с единичным следом. Смешанное состояние отвечает случаю, когда система находится в каждом из взаимно ортогональных состояний. Матрица плотности для ансамбля или смеси состояний | j> с вероятностями j

p j j j ,

Матрица плотности ρ смешанного состояния обладает свойством эрмитовости, а диагональные элементы матрицы плотности неотрицательны.

В смешаных системах возможна квантовая телепортация, как чисто квантовый эффект нелокальности. Как известно, волновые функции по своей природе нелокальны, и расстояние между частями системы, описываемой этими функциями, существенной роли не играет. Если квантовая система находится в смешанном состоянии, описываемом Ур.1.26, то она разными своими частями может одновременно находиться в разных точках обычного пространства. Причём расстояние между этими точками пространства может быть любым. Воздействуя на одну часть системы, изменяют вероятность её состояния и тем самым мгновенно изменяют распределение вероятностей в других её частях, находящихся в том числе и в произвольно удаленных местах.

Задача квантовой томографии состоит в нахождении некоторого числа измерений, позволяющих точно определить квантовое состояние. Двумерное квантовое состояние может быть получено суперпозицией одномерных квантовых состояний. Пространство таких квантовых состояний называется сепарабельным. Однако гильбертово пространство допускает и несепарабельные пространства, т.е. квантовые двумерные состояния, которые не могут быть разделены. Такие состояния называются зацепленными (entangled - запутанным) квантовыми битами или забитами (ebits). Если система находится в чистом, незапутанном состоянии, то данная система имеет единственное решение. Если же состояние двух кубитов является зацепленным, то данная система несовместна и решения не имеет. Такое состояние невозможно создать простой суперпозицией кубитов и можно достичь только процессом их перепутывания.

Запутанные состояния – состояния, в которых определенные характеристики входящих в них микросистем связаны (“запутаны”) между собой каким-либо законом сохранения.

http://profbeckman.narod.ru/

Квантовая запутанность – явление, при котором квантовые состояния двух или большего числа объектов оказываются взаимозависимыми (например, можно получить пару фотонов, находящихся в запутанном состоянии, и тогда если при измерении спина первой частицы спиральность оказывается положительной, то спиральность второй всегда оказывается отрицательной, и наоборот). Такая взаимозависимость сохраняется, даже если эти объекты разнесены в пространстве за пределы любых известных взаимодействий, что находится в логическом противоречии с принципом локальности.

Состояние двухчастичной системы называется запутанным, если оно не может быть записано как прямое произведение двух состояний из двух подсистемных гильбертовых пространств. Эффект квантовой запутанности лежит в основе многих приложений квантовой теории: построение квантового компьютера, квантовая криптография, квантовая телепортация и квантовое плотное кодирование. Если системы взаимодействуют друг с другом, то они квантово запутаны между собой (связаны нелокальными квантовыми корреляциями). Наличие любого взаимодействия – достаточное условие для квантовой запутанности (несепарабельности) взаимодействующих объектов. Связь между квантовой запутанностью и квантовой информацией устанавливает мера запутанности, основанная на метрике гильбертова пространства. Единственным способом создания запутанности между двумя микросистемами является взаимодействие этих микросистем друг с другом. Энтропия запутанности определяется для двух частичных чистых состояний, как энтропия фон Неймана одного из редуцированных состояний.

Мера информации определяется на основе понятия матрицы плотности Y=<ρ>=Tr(ρρ). Для любого чистого состояния (замкнутой системы) мера информации равна 1 (следствие нормировки амплитуд вектора состояния). Это максимальное значение

– т.е. для любой изолированной системы информация максимальна и равна единице. Для смешанных состояний (открытых систем) информация меньше единицы, и минимальное ее значение достигается для максимально смешанных состояний и равно 1/d, где d=2N – размерность гильбертова пространства (N – число двухуровневых подсистем). Таким образом, количество информации, содержащейся в системе, изменяется от 1/2N для максимально смешанных состояний до 1 для чистых состояний (изолированных систем). С физической точки зрения это легко объяснить. В замкнутой системе вся информация содержится в ней самой, и нормированная её величина равна 1. Для смешанных состояний, т. е. для систем, взаимодействующих со своим окружением, часть информации о системе теряется в её окружении. Минимум информации, который может остаться в самой системе (случай максимально смешанного состояния), определяется числом локализованных структур в системе в процессе декогеренции.

Важно понимать, что в квантовой физике знание максимально возможной информации обо всей микросистеме не гарантирует получение полной информации о каждой из её подсистем. В классике знание всей информации о макроскопической системе автоматически приводит к получению полной информации от каждой из её макроскопических подсистем. Однако есть один важный частный случай, когда знание информации о каждой из подсистем некоторой микросистемы приводит к знанию информации о микросистеме в целом. Он следует из теоремы Шмидта, определяющей условия, при которых знание информации о каждой из подсистем некоторой микросистемы приводит к знанию информации о микросистеме в целом. Для оценки чистоты системы используют разложение Шмидта – разложение, коэффициенты которого используют для оценки чистоты системы.

Распределение Шмидта определяется спектром редуцированных матриц плотности состояния. Благодаря ему можно установить связь двух матриц плотности подсистем одного состояния. Мера запутанности применима для произвольных замкнутых систем и характеризует меру квантовой запутанности подсистемы любой размерности со всем её окружением (также любой размерности). Чистое двухчастичное состояние запутано тогда