http://profbeckman.narod.ru/

возрастая, проходит значение 3/2, в системе возникает устойчивый цикл. Этому циклу в системе Ланфорда соответствует инвариантный тор.

Как следует из теоремы Пуанкаре-Бендиксона, в двумерном случае (на плоскости) автономная система нелинейных дифференциальных уравнений может иметь только простейшие регулярные аттракторы – устойчивые особые точки и простые предельные циклы. Следовательно, сложные регулярные аттракторы (торы и сложные предельные циклы удвоенного и более периодов) и сингулярные аттракторы автономная система нелинейных дифференциальных уравнений может иметь только в случае размерности фазового пространства n>3. Трёхмерные автономные системы уже могут иметь устойчивые предельные циклы любого периода, циклические сингулярные аттракторы любой сложности и простые устойчивые двумерные торы. А четырёхмерные автономные системы уже могут иметь устойчивые двумерные торы любого периода, тороидальные сингулярные двумерные аттракторы любой сложности и простые устойчивые трёхмерные торы и т.д.

13.2Фазовый объём

Ксожалению, в настоящее время невозможно точно предсказать существование аттрактора в динамической системе. Есть только некоторые примерные критерии. Один из них – наличие полупроницаемых поверхностей – замкнутых поверхностей, на которых векторное поле направлено внутрь ограничиваемой области. Тогда траектории с поверхности входят в область и уже не покидают ее. В указанной ситуации область, скорее всего, содержит аттрактор

Другой критерий – динамика объёма областей в фазовом пространстве. Сокращение фазового объёма указывает на возможность аттрактора. Например, этот критерий показывает, что в отличие от консервативной (гамильтоновой) диссипативная система имеет аттрактор.

Эволюцию динамической системы удобно описывать через изменение во времени фазового объёма конечной фазовой области.

Фазовый объём – объём в фазовом пространстве.

Для механической системы с N степенями свободы элементарный фазовый объём равен: dpdq=dpldq1...dpNdqN, где q1,...,qN – обобщённые координаты, a p1,...,рN – обобщённые импульсы системы. Фазовый объём конечной фазовой области G равен 2N-

мерному интегралу dpdq . Если система описывается уравнениями Гамильтона, то при

G

движении частиц фазовый объём остаётся неизменным (теорема Лиувилля). Это позволяет ввести нормированные функции распределения в фазовом пространстве. В негамильтоновой системе фазовый объём может, как увеличиваться, так и уменьшаться.

Теорема Лиувиллия: Пусть f(p, q, t) – плотность вероятности ансамбля траекторий, тогда использование уравнения Гамильтона даёт df/dt=0. Плотность вероятности вдоль траектории сохраняется (несжимаемость потока).

Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма – функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве. Теорема утверждает сохранение во времени фазового объёма, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

Система х F(x) называется консервативной, если объём произвольной области

фазового пространства не меняется со временем, и диссипативной, если объём некоторой области фазового пространства со временем уменьшается. Если всюду в фазовом пространстве divF(х)=0, то система сохраняет объем и является консервативной. Если же существует область фазового пространства, в которой divF(х)<0, то система х F(x) – диссипативна в этой области.

Примером систем, сохраняющих фазовый объём, являются гамилътоновы системы

http://profbeckman.narod.ru/

В консер ватив ной системе элемент в фазовом пространстве только изменяет форму, но сохраняет объём (выполняется теорема Лиувилля), что предопределяет характер эволюции и тип хаотичности, возникающий в консервативных системах. Консервативные системы характеризуются неизменным во времени запасом энергии. В механике их называют гамильтоновыми. Механические колебательные системы в отсутствие трения относятся к консервативным системам. В консервативных системах хаотические орбиты стремятся однородно заполнить все части некоторого подпространства в фазовом пространстве, т.е. они характеризуются однородной

плотностью вероятности в ограниченных областях фазового пространства.

Рис. 15. Сохранение фазового объёма при эволюции гамильтоновой системы.

Для систем с двумя степенями свободы фазовое пространство четырёхмерно. Примером является система двух гармонических осцилляторов единичной массы. В

случае полностью интегрируемых систем с n степенями свободы фазовое пространство 2n-мерно и в переменных действие-угол имеет структуру множества n-мерных торов. Любая возможная траектория располагается на одном из них. При этом некоторые траектории могут оказаться замкнутыми, другие же будут всюду плотно покрывать поверхность соответствующего тора. В диссипатив ной систем е из-за диссипации энергии объём элемента фазового пространства сокращается с течением времени (теорема Луивилля не соблюдается). Поэтому в фазовом пространстве диссипативных систем появляются притягивающие множества, которые не существуют в консервативных системах – аттракторы.

Для систем, сохраняющих фазовый объём, не могут существовать в фазовом пространстве такие структурные элементы, как аттракторы и репеллоры, поскольку наличие первых означало бы уменьшение, а вторых – увеличение фазового объёма. В таких системах нет структурных элементов, обладающих свойством асимптотической устойчивости при t (либо аналогичным свойством при t ).

Рис. 16. Деформация "фазовой капли" в случае устойчивого (а) и неустойчивого (б) движения 1 гамильтоновой системы (объём капли сохраняется).

В условиях сохранения фазового объёма форма фазовой капли может меняться как незначительно (устойчивое движение), так и сильно (неустойчивое движение). Наличие неустойчивости может приводить к сложному (стохастическому) поведению системы.

Если физическая система составлена из большого числа частиц, то целесообразно использовать статистические методы описания. При уменьшении фазового объёма V траектории могут стремиться к некоторой поверхности в исходном фазовом пространстве, имеющей размерность D=n-k, где k-целое, k n. В частном случае k=n это отвечает приближению к некоторому стационарному состоянию – особой точке в фазовом пространстве. Однако при V 0 может существовать предельное множество (аттрактор), мера которого имеет размерность d>1 (дробную фрактальную размерность). Такая ситуация реализуется, когда фазовое пространство содержит странный аттрактор.

Для систем с любой размерности, удовлетворяющих уравнениям Гамильтона, площадь фазового пространства, пронизываемого траекториями частиц, от времени не зависит. Однако это не соблюдается при наличии негамильтоновой силы, т. е. силы, не

http://profbeckman.narod.ru/

имеющие потенциальной функции. Статистическими методами можно показать, для негамильтоновых систем плотность и соответственно объем фазового пространства в окрестности частицы в общем случае не являются сохраняющимися величинами. Так, действие излучения уменьшает фазовый объём, а процессы столкновения его увеличивают. Однако, плотность и объём в фазовом пространстве могут сохраняться для систем с негамильтоновыми силами при условии, что они не зависят от импульса.

консервативных (а) и диссипативных (б) динамических систем.

Системы с конечномерным фазового пространства являются идеализированным образом реальных физических систем. Например, при описании теплового, электромагнитного и других полей, различного рода взаимодействий и т. д. приходится иметь дело с характеристиками, заданными в пространстве: температурой Т(r,t), напряжённостью поля E(r,t) и др. Для этих характеристик также задаются некоторые эволюционные уравнения. Теперь, однако, фазовое пространство такой динамической системы является уже бесконечномерным.

Иногда путём подходящего выбора базиса удаётся свести фазовое пространство к счётномерному. Наконец, в ряде случаев с достаточной точностью можно описать поведение распределённой системы с помощью некоторого конечного числа функций времени. Тем самым исходное (бесконечномерное) фазовое пространство редуцируется к фазовому пространству конечной размерности. Это отвечает выделению существенных переменных ("параметров порядка") и пренебрежению всеми прочими ("подчинёнными") переменными. По существу сходная процедура реализуется при численном интегрировании уравнений в частных производных.

Фазовая траектория гармонических колебаний (например, собственных колебаний линейного осциллятора в отсутствие трения) представляет собой эллипс (или окружность при соответствующем выборе масштаба). Точки, где фазовая траектория пересекает ось абсцисс (в этих точках поворота скорость изменяет знак), соответствуют максимальным отклонениям ротора из положения равновесия.

Для диссипативных систем характерно, что с течением времени облако изображающих точек "съёживается" и концентрируется на одном или нескольких аттракторах – подмножествах фазового пространства, обладающих обычно нулевым фазовым объёмом (рис. 12б). С точки зрения динамики во времени это означает, что режим, возникающий в системе, предоставленной себе в течение длительного времени, становится независящим от начального состояния.

13.3 Репеллеры

Понятию «аттрактор» противостоит понятие «репеллер» – набор параметров и их значений, которые «отталкивают» систему от положения равновесия в том смысле, что он вводит ограничения различной природы на свободу стремления системы к цели, к равновесию. Если аттрактор обозначает то состояние равновесия системы, к которому она стремится как к своей цели, то репеллер выражает своим содержанием все ограничения и запреты для системы. Большинство реально существующих сложных систем нечётко определены, и их параметры находятся в сложных, противоречивых взаимосвязях. По этой причине в сложных системах часто наблюдаются острые противоречия между

http://profbeckman.narod.ru/

требованиями к поведению системы со стороны аттракторов и со стороны репеллеров. Противоречивые требования к сложной системе со стороны аттракторов и репеллеров не приводят к её распаду благодаря тому, что она иерархична. Разные составляющие иерархии в процессе самоорганизации приобретают противоположные качества. Одни удовлетворяют требованиям аттракторов, другие – репеллеров. В целом, динамическая система, сохраняя свою структуру и цели, приобретает полярно противоположные свойства и возможность альтернативного

поведения.

Рис. 18. Аттрактор репеллер – неустойчивое состояние, при котором система или переменная удаляется во времени.

Репеллер – область фазового пространства, отклоняющая фазовые траектории движения системы; математический образ какого-либо объекта, представляемого в виде отталкивающего множества в фазовом пространстве управляемого объекта или системы.

Репеллер (отталкиватель) – аттрактор, к которому стремится фазовая траектория при t -. Это неустойчивое состояние, которое система или переменная удаляется во времени от исходного состояния. Реппелентность: степень, в которой система удаляется от исходного состояния. В теории динамических систем рассматривается как противоположность аттрактора (притяжение): аттрактор устойчив к возмущениям, а репеллер - нет.

Репельность – активность, с которой система удаляется от исходного состояния.

Как и аттракторы, репеллеры могут быть как регулярными, так и странными. Примерами странных репеллеров являются отображение пекаря и подкова Смейла, которые имеют сложную хаотическую динамику.

Если аттрактор – математический образ установившихся режимов, представляемый в виде притягивающего множества в фазовом пространстве объекта или системы, то репеллер – математический образ какого-либо объекта, представляемого в виде отталкивающего множества в фазовом пространстве управляемого объекта или системы. Аттрактор – асимптотически устойчивое решение замкнутой системы, а репеллер – область фазового пространства, отклоняющая фазовые траектории движения системы. Часто в сложной системе аттракторы и репеллеры пересекаются и даже образуют единое целое. Репеллер с фиксированной точкой: состояние, в котором система удаляется от исходного значения. Система нестабильна в местоположении репеллера с фиксированной точкой. На практике встречается редко. Пример: вертикально стоящий карандаш. Графически репеллеры с фиксированной точкой идентичны аттракторам с

фиксированной точкой, но имеют другую направленность.

Рис. 19. Стабильные и нестабильные состояния.

Репеллер – область фазового пространства, отклоняющая фазовые траектории движения системы; математический образ какого-либо объекта, представляемого в виде отталкивающего множества в фазовом пространстве управляемого объекта или системы.

Возмущение: небольшие изменения в системе из-за частей системы, которые необходимы, но не моделируются. Они отличаются устойчивостью заданной

точки тем, что аттрактор устойчив к возмущениям, а репеллер – нет. Это видно на рис. 19. Небольшое возмущение могло бы нарушить шар 1, но оно опустится обратно в нижнюю часть аттрактора, в котором он находится сейчас. Шар 2, напротив, был бы смещен вдали от своего текущего положения даже незначительным возмущением, поскольку часть системы, где она показана, является репеллером. Для шара 3