http://profbeckman.narod.ru/

которое имеет положительный корень rс 1 8 3,828427 – начало 3-цикла.

Более детальное изучение региона вокруг окна 3-цикла можно провести с помощью построения бифуркационной диаграмму с более узким диапазоном значений r.

При r=3,83 существуют три цикла. Кроме того чуть выше r=3,84 существует бифуркация в 6-цикла, её лучше видно на диаграмме с суженном x-диапазоном до [0,12, 0,18] (r-диапазон, который должен быть [3.847, 3.857]). Сравнение паттернов при различных степенях увеличения свидетельствует о самоподобии, обычно описываемым в рамках геометрии фракталов.

19.7 Фазовые диаграммы логистического отображения

Другой способ графического анализа отображений основан на построении фазовых диаграмм (использование отображения Пуанкаре), которая отображает значение популяции при генерации в момент t+1 (т.е. n+1) по оси y по сравнению с значением популяции при t (т.е. n) по оси x. Поскольку логистическая модель следует простому детерминированному правилу, то зная значение величины популяции определенного поколения, всегда можно рассчитать число особей следующего поколения.

Фазовая диаграмма (рис. 29а) показывает, что логистическое отображение находится внутри аттрактора с неподвижной точкой на 0,655 (по обеим осям), когда r=2,9. Это соответствует вертикальному срезу над значением оси х=2,9 в диаграммах бифуркации. На рис. 29б показан аттрактор предельного цикла. При r=3,5, логистическое отображение колеблется между четырех точек.

Рис.30 . Фазовая диаграмма (отображение Пуанкаре)

Для пояснения процессов, приближения к хаосу через бифуркации удвоения периода на рис. 30а изображена парабола, рассчитанная при r=3,9. На рис. 30б показаны графики, при 50 различных значений параметров от r=3,6 до r=4,0. Этот диапазон параметров представляет собой хаотический режим: диапазон значений параметров, в которых логистическое отображение ведет себя хаотично. Каждый параметр r формирует собственную кривую. Эти параболы никогда не перекрываются из-за их фрактальной геометрии и детерминированного характера логистического уравнения. В этом и проявляется странность аттрактора: система как-то ограничена, но никогда не оседает в неподвижную точку или устойчивые колебания, как это было на предыдущих фазовых диаграммах при r=2,9 и r=3,5. Число особей постоянно скачет, не повторяя значения дважды.

http://profbeckman.narod.ru/

Рис.31 . Параболы логистического отображения в зоне хаоса: а – парабола при r=3,9, б

– параболы при r, изменяющихся от r=3,6 до r=4,0.

19.8 Аттракторы и фракталы в логистическом отображении

Сценарий Фейгенбаума использует свойство самоподобия порогов удвоения (через фрактальную структуру с шагом 2), а также тот факт, что геометрическая структура аттракторов регулярного движения при приближении к порогу хаоса обладает свойствами самоподобия. Можно говорить об аттракторе логистического отображения. Например, при r=0,5, значения f(xn) оседают на неподвижную точку (точечный аттрактор) с уровнем популяции 0, при r=3.5, система колеблется между четырьмя значениями. Этот аттрактор называется предельным циклом. При r=3.5 начинается хаос. Хаотическая система имеет странный аттрактор, вокруг которого система постоянно колеблется. Динамическая система не приходит в устойчивое состояние, она никогда не попадает в одну и ту же точку дважды, причём структура аттрактора имеет фрактальную форму, т.е. одинаковые паттерны существуют в каждом масштабе независимо от масштаба.

Бифуркации удвоения периода вначале происходят всё быстрее и быстрее (8, 16, 32, ...), затем внезапно обрываются. В предельной точке периодичность уступает место хаосу. В середине развития сложности неожиданно появляется окно с регулярным периодом, например, 3 или 7 как результат блокировки режима. Происходит бифуркация 3-цикла и периоды удваивания начинаются снова с циклов 6, 12, ... и 7, 14, 28, ..., после чего прерываются на хаос. Важно, что в этом хаосе можно обнаружить чёткую структуру.

Табл. 4. Аттракторы логистического отображения.

Насколько сближаются или расходятся фазовые траектории, соответствующие различным начальным точкам, судят по показателю Ляпунова

(x0)= mrx0 x 1ln|f'(x)|. (39)

Считается, что логистическое отображение хаотично на инвариантном множестве Кантора при r>2+ 5 4,236, но на самом деле оно хаотично для всех r>4. Логистическое отображение имеет показатель корреляции 0,500 0,005, размер емкости 0,538 и информационный размер 0.5170976.

http://profbeckman.narod.ru/

Логистическое отображение имеет странный аттрактор (аттрактор Фейгенбаума), который является мультифракталом на интервале [0,1], гомеоморфным канторову множеству.

Рис. 32. Аттрактор логистического отображения.

Аттрактор Фейгенбаума получается в результате бесконечной серии бифуркаций удвоения периода предельных циклов для одномерных однопараметрических отображений интервала [0,1] на себя. Чтобы

такие бифуркации были возможны, данные отображения должны удовлетворять следующим условиям:

–иметь единственный максимум на интервале [0, 1 ];

–слева от максимума монотонно возрастать, а справа от максимума монотонно убывать;

–гладко зависеть от управляющего параметра;

–шварциан отображения в точке бифуркации должен быть отрицателен.

Напомним, что шварцианом (производной Шварца) функции f(x) называется

Очевидно, что гладкие отображения с квадратичным максимумом удовлетворяют перечисленным выше условиям, так что аттрактор Фейгенбаума можно получить, итерируя центр интервала [0, 1] с помощью, например, логистического отображения xn+1=r(1-xn) при r=r =3,5699456. Если управляющий параметр r принимает значения из интервала 3<r<r , то последовательность точек xn при n, будет сходиться к некоторому предельному 2m-циклу (m=1, 2,...), соответствующему данному значению rm. Каждый такой предельный цикл можно рассматривать как конечную аппроксимацию аттрактора Фейгенбауэра. При плавном увеличении r внутри интервала будет сходиться к некоторому предельному 2m-циклу (т=1 ,2 ,. .. ), соответствующему данному значению r=r . Каждый такой предельный цикл можно рассматривать как конечную аппроксимацию аттрактора Фейгенбаума. При плавном увеличении r внутри интервала 3<r<r периоды предельных циклов последовательно удваиваются: 2m2m+1, т.е. происходят бифуркации удвоения цикла. Название "аттрактор" в данном случае отражает тот факт, что под действием итераций при r=r все точки интервала [0, 1], за исключением счётного множества точек, притягиваются к аттрактору Фейгенбаума.

Важно, что бифуркации циклов для всех отображений, удовлетворяющих перечисленным выше условиям, описываются двумя универсальными константами (константами Фейгенбаума): =2,5029078 и =4,6692016. Константа характеризует

скорость сходимости управляющего параметра к предельному значению: lim rm rm 1 ,

m rm 1 rm

в то время как константа характеризует масштаб последовательных "расщеплений"

означает элемент предельного 2m-цикла, ближайший к элементу цикла х =1/2.

http://profbeckman.narod.ru/

Рис.33 . Самоподобие в логистическом отображении.

Смысл коэффициентов подобия Фейгенбаума состоит в том, что если при каждой очередной бифуркации одновременно изменять масштабы бифуркационной диаграммы по горизонтали и по вертикали, соответственно, в δ и α раз, то при достаточно большом номере N получится почти полностью самоподобная фигура. Явление самоподобия (скейлинг, фрактальность) при бифуркациях удвоения периода позволяет развить аналитическую теорию для отыскания всех бифуркационных значений rN по одному лишь первому значению r1, вычислить которое не представляет труда.

Рассмотрим предельные суперстабильные 8-, 16-, 32-, 64- и 2048-циклы. Приставка "супер" означает, что в данный цикл входит элемент, где первая производная отображения обращается в нуль (в нашем случае это х=1/2). 2048-цикл с большой точностью воспроизводит характеристики аттрактора Фейгенбаума. Для их характеристики можно использовать обобщенные размерности Реньи, Dq. В качестве примера в табл. 5 приведены полученные величины D , D0 и D- для предельных 2m,-циклов и аттрактора Фейгенбаума.

Табл. 5. Размерности Реньи логистического отображения

Размерности Реньи рассчитывают по формулам:

Выражение для спектральной функции аттрактора Фейгенбаума fF( ) имеет вид:

Рис. 34. Спектральная функция для аттрактора Фейгенбауэра.

http://profbeckman.narod.ru/

При переходе к хаосу важную роль играет пограничный слой исчезающе малой толщины ( R 0) между порядком и хаосом в окрестности критической точки r 3,569. (рис. 34). При приближении к критической точке r r циклы периодов 2, 4, 8,..., сменяют друг друга так, что каждый предыдущий цикл перестает быть притягивающим в момент

рождения следующего цикла. При этом вне зависимости от природы процесса каскад расщеплений имеет одну и туже фрактальную структуру — вложенные одна в другую бифуркации с универсальным масштабом вложенности.

Рис. 35. Пограничный слой исчезающе малой толщины между порядком и хаосом.

В тонком пограничном слое между порядком и хаосом, в окрестности критической точки происходит накопление каскадов бифуркаций и формируется

фрактальное множество точек бифуркаций — пы л ь с интересными и нетривиальными свойствами ( критический аттрактор, аттрактор Фейгенбаума). Эта пыль имеет фрактальную размерность. Для критического аттрактора Фейгенбаума она вычислена с высокой точностью и составляет d = 0,53804514358054991167...

Так как фрактальная размерность критического аттрактора меньше единицы, то он имеет нулевую меру (мера – предел суммарной длины интервалов, оставляемых на последовательных уровнях построения). В то же время, как и канторово множество, он обладает мощностью континуума. Последнее вытекает из того, что можно построить правило кодирования принадлежащих аттрактору точек в виде мульти фрактала с двумя масштабами r и d.

Рис. 36. Двухмасштабное

последовательным итерациям точки экстремума критическом значении параметра.

Хорошей аппроксимацией критического аттрактора служит двухмасштабное канторово множество. Полагая =1/| | и =1 2 на первом шаге построения делим отрезок в отношении к 1- - и выбрасываем среднюю часть. На последующих шагах процедура повторяется, причем отрезки различной длины располагаются так, как на рис. 36.

Тот факт, что результат асимметричен, объясняется присутствием двух характерных масштабов – и . Тот факт, что с высокой степенью точности структура фрактала описывается одним параметром – коэффициентом Фенгенбаума 1/ =0,3995, является следствием неисчезающе малой толщины ( R 0) аттрактора Фенгенбаума.

Таким образом, граница между порядком и хаосом представляет собой слой, в котором монофрактальные структуры со стороны порядка трансформируются в мультифрактальные структуры на стороне хаоса.