http://profbeckman.narod.ru/

15. БИФУРКАЦИИ

Быть или не быть, вот в чём вопрос. Достойно ль смиряться под ударами судьбы, Иль надо оказать сопротивленье...

Как уже упоминалось, под бифуркацией понимают возникновение нового качества эволюции динамической системы при малом изменении её параметров.

Выбор действий: витязь на распутье и буриданов осёл.

Моменты качественного изменения исходной системы называются бифуркациями состояния и описываются соответствующими разделами математики – теория катастроф, нелинейные дифференциальные уравнения и т.д. Круг систем, подверженных такого рода явлениям, оказался настолько широк, что позволил говорить о катастрофах и бифуркациях, как об универсальных свойствах материи. Математический аппарат бифуркаций обычно строится на теории нелинейных динамических систем с непрерывным или дискретным временем.

Данная глава - введение в бифуркационный анализ. Более подробно некоторые важные случаи (включая теорию катастроф, странные аттракторы, переходы к детерминированному хаосу) будут обсуждены в последующих текстах.

15.1 Бифуркации: основные понятия и классификация

Теория бифуркаций систем дифференциальных уравнений берёт своё начало с работ А.Пуакаре.

Бифуркация – изменение характера движения динамической системы и особенностей решений, систем дифференциальных уравнений, описывающих это движение (например, скачкообразное изменение фазовых портретов) на большом временном интервале при изменении одного или нескольких параметров, описывающих её уравнений. Это смена топологической структуры разбиения фазового пространства динамической системы на траектории при плавном изменении её параметров. При математическом анализе процессов бифуркации обычно ориентируются на гладкие семейства нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Значения параметров, при которых происходят эти качественные изменения фазовых портретов, называются бифуркационными значениями или точками бифуркации.

Бифуркация (bis – дважды, и furca – вилы) – всевозможные качественные перестройки или метаморфозы различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят. Это раздвоение, разделение, разветвление чего-либо. Состояние процесса в динамической системе, при котором резко возрастают флюктуации и выход, из которого возможен по двум существенно различным трудно предсказуемым направлениям – хаотическому или упорядоченному. Бифуркации происходят как в непрерывных системах (описываемых

http://profbeckman.narod.ru/

если в ней выполняются k условий типа равенств. Значение k=0 соответствует отсутствию бифуркации в данной точке. Бифуркации седло-узел и бифуркация Хопфа единственно чисто локальные бифуркации с коразмерностью единица (остальные имеют более высокую коразмерность). Однако транскритические и вихревые бифуркации часто также рассматриваются как коразмерность 1, потому что их нормальные формы записываются. Примером бифуркации коразмерности 2 является бифуркация Богданова -Такенса.

Суперкритическая (нормальная, надкритическая) бифуркация – бифуркация, при которой изменение системы происходит без скачка.

Субкритическая (обратная) бифуркация – бифуркация, при которой изменение системы происходит скачком.

Сценарий – последовательность бифуркаций, качественно меняющих свойства системы, называется сценарием.

Теория бифуркаций динамических систем – математическое описание изменений качественной или топологической структуры исследуемой системы. Рассчитываются интегральные кривые семейства векторных поле и решаются системы дифференциальных уравнений. Изучает изменения качественной картины разбиения фазового пространства в зависимости от изменения параметра (или нескольких параметров). Основные методы теории бифуркаций – это методы теории возмущений.

Теория бифуркации рассматривает структуру в фазовом пространстве (как правило, неподвижную точку, периодическую орбиту или инвариантный тор) и изучает её поведение как функцию управляющего параметра μ.

Качественная теория бифуркаций направлена на изучение поведения системы при фиксированных значениях параметров и на описание характера режимов, устанавливаемых в системе. Её интересуют вопросы, касающиеся событий, происходящих в системе при изменении значений параметров, поскольку медленное изменение параметра может привести к тому, что при пересечении некоторого критического значения режим, установившийся в системе, приобретает качественные изменения. При

таких перестройках фазовый портрет изучаемой системы, изменяется. Качественные перестройки фазового портрета и называются бифуркацией.

Рис. 1. Схема бифуркаций.

Теория нелинейной динамики занимается исследованием точек бифуркации, является их классификацией и анализом поведения семейств функций вблизи структурно неустойчивых особых точек.

Задачами теории бифуркаций являются:

1.описание всех возможных бифуркации исследуемой системы;

2.разбиение множества бифуркационных значений параметров на области с разными типами грубых фазовых портретов;

3.построение для каждой области соответствующего фазового портрета.

В механических системах установившиеся движения (положения равновесия) зависят от параметров. Значения параметров, при которых наблюдается изменение количества равновесий, называются их бифуркационными значениями. Кривые или поверхности, изображающие множества равновесий в пространстве состояний и параметров, называются бифуркационными кривыми или бифуркационными поверхностями. Прохождение параметра через бифуркационное значение сопровождается изменением свойств устойчивости равновесий. Бифуркации равновесий могут сопровождаться рождением периодических и других, более сложных движений.

Для динамических систем, зависящих от некоторого параметра, характерно, как правило, плавное изменение характера поведения при изменении параметра. Однако для

http://profbeckman.narod.ru/

параметра может иметься некоторое критическое (бифуркационное) значение, при переходе через которое аттрактор претерпевает качественную перестройку и, соответственно, резко меняется динамика системы, например, теряется устойчивость. Потеря устойчивости происходит, либо переходом от точки устойчивости к устойчивому циклу (мягкая потеря устойчивости; появление двух новых стационарных состояний вблизи старого), либо выходом траектории с устойчивого положения (жесткая потеря устойчивости; катастрофа), либо путём рождения циклов с удвоенным периодом. При дальнейшем изменении параметра возможно возникновение торов, а затем странных аттракторов (хаотических процессов).

Теория бифуркаций направлена на изучение изменения числа точек равновесия и их устойчивости при изменении параметров динамической системы. В нелинейной динамике под бифуркацией обычно понимают ветвление и сливание положений равновесия решений при изменении управляющих параметров динамической системы.

Особенность точки бифуркации заключается в том, что вблизи неё даже очень слабое возмущение способно радикальным образом изменить траекторию движения.

Как уже упоминалось, устойчивость динамической системы к возмущениям связана с её структурной устойчивостью, т.е. с грубостью системы, а эта структурная устойчивость связана с бифуркацией. Эту связь можно представить как переход системы от одного структурно-устойчивого состояния к другому через структурно-неустойчивое состояние в точке бифуркации. Бифуркации и катастрофы определяются мягкими и жёсткими границами критических состояний. В первом случае преодоление границ стабильности и выход в критическую область не обусловливают необратимые структурные изменения.

Сложные системы содержат подсистемы, которые непрестанно флуктуируют. Иногда отдельная флуктуация или комбинация флуктуации может стать (в результате положительной обратной связи) настолько сильной, что существовавшая прежде организация не выдерживает и разрушается. В этот переломный момент (точка бифуркации) принципиально невозможно предсказать, в каком направлении будет происходить дальнейшее развитие: станет ли состояние системы хаотическим или она перейдёт на новый, более дифференцированный и более высокий уровень упорядоченности или организации (диссипативную структуру). Процесс самоорганизации носит пороговый характер – внезапность явлений самоорганизации.

Флуктуации – случайные отклонения характеристик системы от средних значений.

Случайность подталкивает то, что остаётся от системы, на новый путь развития, а после того как путь (один из многих возможных) выбран, вновь вступает в силу детерминизм – и так до следующей точки бифуркации. Флуктуации, будущие альтернативы, конкурируют, и побеждает наиболее быстрорастущая из них – порядок через флуктуации.

Основным принципом прохождения системой точек бифуркаций, её становления, рождения и гибели иерархических уровней является эмерджентность – динамическая иерархичность. Эмерджентность заключается в том, что свойства системы в целом (свойства целостности системы) не являются простой суммой её составных частей. Система может обладать такими свойствами, какими не обладает ни одна её часть. Этот принцип описывает возникновение нового качества системы на одном уровне, когда изменение управляющих параметров вышестоящего уровня (мегауровня) приводит к перестройке ее структуры.

Точка бифуркации воспринимается как момент кризиса, как потеря устойчивости: по мере приближения к точке бифуркации флуктуации возрастают. За точкой бифуркации обычно имеет место стабилизация флуктуаций (порядок из хаоса) В процессе самоорганизации происходит синхронизация частей системы, идёт понижение энтропии системы самоорганизации и повышение энтропии окружающей среды при

http://profbeckman.narod.ru/

самоорганизации. Из-за нелинейности, наличия более одного устойчивого состояния в динамических системах, в них не выполняется ни второе начало термодинамики, ни теорема Пригожина о минимуме скорости производства энтропии.

Бифуркации разделяют на локальные и нелокальные.

Локальная бифуркация связана с изменением векторного поля вблизи вынужденного (бифурцирующего) положения равновесия или замкнутой орбиты. Бифуркационные решения ищутся вблизи этих предельных множеств. Бифуркация возникает, когда изменение параметра приводит к изменению стабильности равновесия (или фиксированной точки). В непрерывных системах это соответствует вещественной части собственного значения равновесия, проходящего через нуль. В дискретных системах (описанных отображениями, а не ОДУ) это соответствует неподвижной точке, имеющей множитель Флоке (см. далее) с модулем, равным единице. В обоих случаях равновесие не гиперболично в точке бифуркации.

Топологические изменения фазового портрета системы могут быть ограничены сколь угодно малыми окрестностями бифуркационных неподвижных точек, перемещая параметр бифуркации близко к точке бифуркации (т.е. к локальной). Примеры локальных бифуркаций: седло-узловая (складчатая) бифуркация, транскритическая бифуркация, бифуркация вил, бифуркация удвоения периода (флип), бифуркация Хопфа, бифуркация Неймарк-Сакера и др. Локальные бифуркации диагностируются с помощью линейного анализа ляпуновских показателей (собственных чисел). Они могут быть полностью проанализированы с помощью изменений локальных свойств устойчивости равновесий, периодических орбит или других инвариантных множеств в качестве параметров, пересекающих критические пороги.

Нелокальные (глобальные) бифуркации нельзя определить на основе линейного анализа окрестности стационарного состояния, здесь требуется нелинейный анализ системы. К нелокальным бифуркациям относятся образование сепаратрисных петель, касание аттрактором сепаратрисных кривых или поверхностей. Глобальные бифуркации возникают, когда большие инвариантные множества системы «сталкиваются» друг с другом или с равновесиями системы. Они не могут быть обнаружены исключительно путем анализа устойчивости равновесий (неподвижных точек, т.е. точек в которых нет потоков).

Глобальные бифуркации возникают, когда «большие» инвариантные множества, такие как периодические орбиты, сталкиваются с равновесиями. Это приводит к изменениям топологии траекторий в фазовом пространстве, которые не могут быть ограничены малой окрестностью, как в случае локальных бифуркаций. Фактически, изменения в топологии распространяются на сколь угодно большое расстояние (следовательно, «глобальное»). Примеры глобальных бифуркаций: гомоклиническая бифуркация (предельный цикл сталкивается с седловой точкой), гетероклиническая бифуркация (предельный цикл сталкивается с двумя или более седловыми точками), бесконечная бифуркация (устойчивый узел и точка седла одновременно происходят в предельном цикле), катастрофа голубого неба (предельный цикл сталкивается с негиперболическим циклом) и др. Глобальные бифуркации могут включать более сложные наборы, такие как хаотические аттракторы (например, кризисы).

Бифуркации аттракторов принято подразделять на мягкие (внутренние)

бифуркации и кризисы (жесткие бифуркации). Внутренние бифуркации приводят к топологическим изменениям самих притягивающих множеств, не затрагивая их бассейнов притяжения – областей, из которых фазовые траектории сходятся к данному аттрактору.

Кризисы – бифуркации аттракторов, сопровождающиеся качественной перестройкой границ областей притяжения (бассейнов) аттракторов.

Пример кризиса – бифуркация слияния устойчивого узла с седлом, в результате чего аттрактор исчезает