http://profbeckman.narod.ru/

16. БИФУРКАЦИИ ЦИКЛОВ

Теоремы Пуанкаре-Бендиксона и Андронова-Понтрягина утверждают, что типичная система с непрерывным временем на плоскости (физически говоря – состояние которой задаётся двумя вещественными параметрами) может стремиться только к положению равновесия или к предельному циклу.

Ранее мы рассмотрели различные типы равновесий, связанные с ними особые точки и аттракторы. Теперь займёмся другим состоянием динамической системы – предельному циклу. Основное внимание уделим устойчивости предельных циклов и условиям появления в них бифуркаций

16.1 Предельные циклы

Если γ(t) – фазовая траектория, соответствующая решению x(t), определенному на интервале (p, q), то траектория γ(t) периодическая, если существует такое T, что

γ(t+T)=γ(t), причём γ(t1)γ(t2) при |t1−t2|<T.

Периодическая траектория – автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений -траектория периодического решения этой системы; решение не сводится к константе, т. е. фазовая траектория не сводится к одной точке (равновесия положению) и не уходит в бесконечность, а приближается к другой, замкнутой траектории.

Траектория решения динамической системы может стремиться не к какой-то точке, а к некоторому циклу. В этом случае, независимо от начальных условий, динамическая система на бесконечных временах выходит на определённые колебания. Это - устойчивый предельный цикл. В диссипативных динамических системах он рождается из петли сепаратрисы. Предельный цикл – изолированная замкнутая траектория в фазовом пространстве динамической системы, изображающая периодическое движение.

Примерами динамических систем с предельным циклом являются модель трёхвидовой конкуренции и модель брюсселятора.

Предельный цикл – это один из возможных вариантов стационарного состояния системы в теории динамических систем; предельным циклом векторного поля на фазовой плоскости называется изолированная замкнутая (периодическая) траектория этого векторного поля, в окрестности которой нет других периодических траекторий. Всякая достаточно близкая к предельному циклу траектория стремится к нему либо в прямом, либо в обратном времени.

С каждой из сторон предельный цикл является либо отталкивающим, либо притягивающим. Если поведение с обеих сторон одинаково – цикл называется соответственно отталкивающим или притягивающим. Если же с одной стороны происходит притяжение, а с другой отталкивание – говорят о полуустойчивом цикле. Как уже обсуждалось в предыдущих главах, поведение траекторий, близких к предельному циклу, описывается отображением Пуанкаре на отрезке, трансверсальном циклу к циклу,

– для этого отображения точка, соответствующая циклу, является неподвижной. Так, цикл является притягивающим или отталкивающим тогда и только тогда, когда эта точка соответственно притягивающая или отталкивающая.

Понятие предельного цикла используется для описания незатухающих периодических процессов. Это характерно только для нелинейных систем.

Предельный цикл может быть устойчивым (аттрактор), неустойчивым (репеллер) и полуустойчивым.

Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл, – окрестность , что все фазовые траектории, начинающиеся в окрестности , асимптотически приближаются при t + к предельному циклу. Если же, наоборот, в сколь угодно малой окрестности существует по крайней мере одна фазовая траектория, не приближающая к предельному циклу при t +, то такой цикл называется неустойчивым.

http://profbeckman.narod.ru/

Для нахождения предельных циклов не существует таких простых аналитических методов, как для нахождения положений равновесия (стационарных точек) и исследования их устойчивости. Однако, исследование фазовой плоскости системы позволяет ответить на вопрос, есть в данной системе предельный цикл или нет.

Некоторые критерии отсутствия замкнутых фазовых траекторий (в том числе предельных циклов):

1.Если в системе не существует особых точек, то в ней не может быть замкнутых траекторий.

2.Если в системе существует одна особая точка, отличная от узла, фокуса и центра (например, седло), то такая система не допускает замкнутых фазовых траекторий.

3.Если в системе имеются только простые особые точки, причём через все точки типа узел и фокус проходят интегральные кривые, уходящие на бесконечность, то в такой системе нет замкнутых фазовых траекторий.

4. Критерий Бендиксона. Если в некоторой односвязной области U R2 выражение

f g не меняет знака, то в этой области система линейных ОДУ не может иметь

x y

предельных циклов.

Теория предельных циклов строится на теореме Пуанкаре-Бендиксона, описывающей возможные типы предельного поведения траектории векторного поля на плоскости или на сфере. Теорема утверждает, что предельное поведение траекторий в этом случае регулярно, и не может быть хаотическим (невозможно даже наличие всюду плотных орбит).

Используются и ещё две теоремы.

Теорема 1. Пусть на фазовой плоскости существует область, из которой фазовые траектории не выходят и в которой нет положений равновесия. Тогда в этой области обязательно существует предельный цикл, причем остальные траектории обязательно наматываются на него.

Теорема 2. Если существует на фазовой плоскости некоторая замкнутая область, такая, что все фазовые траектории, пересекающие границу этой области, входят в нее, и внутри этой области находится неустойчивая точка покоя, то в этой области обязательно имеется хотя бы один предельный цикл.

Предельный цикл называется орбитально асимптотически устойчивым (или просто устойчивым), если для сколь угодно малой его окрестности U, все траектории, начинающиеся в достаточно малой его окрестности, не выходят со временем из U и неограниченно приближаются к циклу при t.

16.2 Устойчивость предельных циклов

Важный тип частного решения дискретной системы – периодическое решение. Последовательность точек x*1, x*2, …, x*m называется циклом периода m или m-циклом точечного отображения, если они удовлетворяют условиям

Мультипликаторы km m-кратной неподвижной точки отображения (39) определяются как собственные значения характеристического уравнения:

http://profbeckman.narod.ru/

Матрица линеаризации Am является m-периодичной и для неё справедливо следующее

матрица линеаризации Am для m-кратной неподвижной точки отображения или цикла периода m имеет вид:

Здесь f (0)(x) = x. В случае, когда производная m раз примененной функции вычисляется для одной из точек x*i цикла периода m, получим

Производная m раз примененного отображения в точке цикла – это произведение производных исходного отображения по всем точкам цикла. Таким образом, условие устойчивости цикла периода m одномерного отображения определяется неравенством:

m

| f (xi* ) | | f (x1* ) f (x*2 )... f (xm* ) | 1.

Устойчивость цикла в целом определяется совокупными свойствами всех его точек. При итерации на одних из них начальное отклонение может локально нарастать, тогда как на других – уменьшаться. Однако имеется особый случай, когда свойства одной точки определяют устойчивость цикла в целом, а именно, если для одной из точек x*i цикла выполняется условие = f (xi* ) 0,то автоматически равно нулю и произведение

производных по всем точкам. Это означает, что малое начальное отклонение от такого цикла полностью затухнет не более чем за m итераций, что и определяет название такого цикла. Поскольку с точки зрения геометрии функции f(xn) данное условие означает наличие экстремума (минимум, максимум, либо точка перегиба), то можно сказать, что сверхустойчивый цикл содержит хотя бы одну критическую точку функции.

Наиболее простой бифуркацией, связанной с предельными циклами, является седлоузловая бифуркация: два гиперболических предельных цикла, отталкивающий и притягивающий, сближаются. В момент бифуркации они сливаются, образуя один полуустойчивый цикл, который при дальнейшем изменении параметра исчезает. Эта бифуркация может рассматриваться как уход предельного цикла в комплексную область. Физический пример бифуркации предельного цикла – осциллятор Ван дер Поля.

Приведём несколько примеров.

Пример 1. Простейший пример периодических траекторий –

http://profbeckman.narod.ru/

определяем, что r=1 – устойчивое положение равновесия, r=0 – неустойчивое. Изменения полярного радиуса и полярного угла независимы. На основании этого легко воспроизвести фазовый портрет.

Пример 3. Исследовать на устойчивость положения равновесия следующей системы (x, y R):

Рис.2. К примеру 3.

Так как собственные значения матрицы системы являются чисто мнимыми =±i, то точка P является либо

изучаемая здесь система не имеет замкнутых траекторий. Следовательно, положение равновесия P является фокусом. Сложив первое равнение системы, умноженное на x, со вторым, умноженным

закручиваются против часовой стрелки.

Пример 4 28. Исследовать на устойчивость положения равновесия следующей системы (x,y R):

r'(t) r(1 r)

равновесия: r1 0, r2 1 .

Первому соответствует положение равновесия P(0,0) изучаемой системы. Второму – замкнутая траектория (окружность радиуса 1 с центром в начале координат), т.е. предельный цикл системы r'

(t) r. Построив фазовый портрет уравнения 1-r) :

можно сделать вывод: 1) Система (3) имеет неустойчивое положение равновесия P(0,0), которое является фокусом.

Рис. 3. К примеру 4.

2) Исследуемая система имеет устойчивый предельный цикл. Так

предельный цикл против часовой стрелки (Движение по фазовым траекториям против часовой стрелки, так как '(t) 1 0.)

Пример 5. Исследовать на устойчивость положения равновесия системы (x, y R):

http://profbeckman.narod.ru/

Действительная неособая матрица С не обязана иметь действительный логарифм, т.е. не всегда существует действительная матрица B, такая что С=ехр(ВТ). Примером является матрица С, имеющая простой отрицательный мультипликатор. Однако матрица С2 уже всегда имеет действительный логарифм. По значениям мультипликаторов цикла или показателей Флоке линейной неавтономной системы (14) первого приближения можно сделать вывод об устойчивости периодического решения xo(t) нелинейной автономной системы x F(x) .

Теорема. Один простой мультипликатор цикла всегда имеет значение +1, соответствующий показатель Флоке равен нулю. Если один показатель Флоке равен нулю, а все остальные n-1 показателей имеют отрицательные вещественные части (или все мультипликаторы цикла, кроме единичного, имеют модули, меньшие 1, т.е. лежат внутри единичного круга плоскости комплексного переменного), то периодическое решение x0(t) системы x F(x) устойчиво

(асимптотически орбитально устойчиво). Если же хотя бы один показатель Флоке имеет положительную вещественную часть (или мультипликатор цикла лежит вне единичного круга), то периодическое решение х0(t) системы x F(x) неустойчиво.

Периодическое решение не может быть периодически устойчивым, так как решения с начальными условиями в разных точках цикла не сближаются при t +.

Поведение траекторий, близких к предельному циклу, описывается отображением Пуанкаре на отрезке, трансверсальном к циклу, – для этого отображения точка, соответствующая циклу, является неподвижной. Цикл является притягивающим или отталкивающим тогда, когда эта точка притягивающая или отталкивающая. Если производная по модулю >1, цикл неустойчив, если меньше – устойчив.

Предельный цикл называется гиперболическим, если соответствующая неподвижная точка гиперболична – т. е. имеет производную, отличную от +. Гиперболический предельный цикл не имеет мультипликаторов, лежащих на единичной окружности, кроме одного, равного +1 (имеется ровно один показатель Флоке с нулевой вещественной частью, равный нулю). Предельный цикл называется невырожденным, если он не имеет мультипликаторов, равных +1, кроме одного (имеется ровно один простой нулевой показатель Флоке, но могут быть ненулевые показатели Флоке с нулевыми вещественными частями). Предельный цикл, имеющий мультипликаторы внутри и на границе единичного круга, называется полуустойчивым. Полуустойчивый предельный цикл в трёхмерном случае имеет мультипликаторы, равные {|1|<1, +1, | 2|=1}.·Гиперболический предельный цикл, для которого показатели Флоке имеют как отрицательные, так и положительные вещественные части (или мультипликаторы лежат как внутри, так и вне единичной окружности) называется седловым. Понятие седлового цикла определено для размерности фазового пространства m>2. При m=3 седловой предельный цикл имеет мультипликаторы, равные {|1|<1, +1, | 2|>1}.

Гиперболические предельные циклы не разрушаются малыми возмущениями – если у исходного векторного поля был гиперболический предельный цикл, то у любого поля, -близкого к нему, также найдётся близкий к исходному гиперболический предельный цикл.

Наиболее простой бифуркацией, связанной с предельными циклами, является седлоузловая бифуркация: два гиперболических предельных цикла, отталкивающий и притягивающий, сближаются. В момент бифуркации они сливаются, образуя один полуустойчивый цикл, который при дальнейшем изменении параметра исчезает. Эта бифуркация - уход предельного цикла в комплексную область (см. далее).

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 6. Неподвижная точка (а), цикл (б) и седловая точка отображения Пуанкаре с соответствующим ей седловым предельным циклом.

Приведём некоторые примеры фазовых кривых, векторных полей и фазовых портретов, создаваемых системой ОДУ.

Рис. 7. Предельные циклы.

всех трёх типов: точки, замкнутые гладкие кривые и гладкие кривые без самопересечений (рис. 7а).

x y x 1 x2 y2

Пример 7. Устойчивый предельный цикл. Автономная система

y x y 1 x2 y2

имеет устойчивый предельный цикл: фазовые кривые навиваются на предельный цикл (рис. 7б).

x y x 1 x2 y2

полуустойчивый предельный цикл: фазовые кривые "отходят" от предельного цикла (рис. 7г).

Система на рис.7а имеет два положительных действительных собственных значения и одно отрицательное собственное значение. Точка равновесия – неустойчивое седло. Все фазовые траектории сходятся к неустойчивому собственному пространству (плоскости, связанной с положительными вещественными собственными значениями), и захватываются расширяющейся динамикой. Единственными исключениями являются те орбиты, которые начинаются на устойчивом собственном пространстве (определяемом собственным вектором, ассоциированным с отрицательным собственным значением), которые сходятся к плоскости в точке равновесия.

Предельный цикл отличен от простейших колебаний, типа колебания идеального маятника, которые существенно зависят от начальных условий. Начальная амплитуда маятника при отсутствии затухания сохраняется на протяжении всего времени колебаний. Если движение маятника начинается с некоторой амплитудой, то такая амплитуда