http://profbeckman.narod.ru/

и только тогда, когда ранг Шмидта больше единицы. Ранг Шмидта – мера запутанности двухчастичных состояний: чем больше ранг Шмидта, тем сильнее запутано состояние. Двухчастичное состояние запутано тогда и только тогда, когда матрицы плотности его подсистем являются чистыми. Для любого чистого состояния | AB> существуют такие ортонормированные базисы, на которых можно прибегнуть к разложению Шмидта. Если число членов разложения Шмидта (число Шмидта) равно единице, то состояние каждой подсистемы является чистым, а состояние полной системы | AB> сепарабельным. В противном случае, состояние каждой подсистемы является смешанным, а состояние | AB> перепутаным. Запутанность чистых двухчастичных состояний целиком определяется коэффициентами разложения Шмидта, а мерой является энтропия этих коэффициентов – редуцированная энтропия фон Неймана. Для случая трёх кубитов данное разложение уже не существует.

7.7.2 Энтропия фон Неймана

Квантовым обобщение информационной энтропии Шеннона является энтропия Неймана.

Нейман установил математические рамки квантовой механики (1932) предложив теорию измерения, в которой обычное понятие коллапса волновой функции описал как необратимый процесс, при этом он связал количество энтропии с статистическим оператором квантовой системы.

Как уже неоднократно упоминалось, в классической теории информации, энтропия Шеннона, Н, связана с вероятностью распределения, p1,...pn,

Введя матрицу плотности, Нейман распространил энтропию на квантовую систему и получил внешне аналогичное выражение. Для случая квантовых систем в смешанных состояниях фон Нейман обобщил шенноновское определение энтропии, приняв в качестве вероятностной меры элементы матрицы плотности.

Пусть задана матрица плотности Н (гильбертово пространство состояний)

0 1.

В базисе {|pi>} матрица плотности имеет диагональный вид. Поэтому в базисе собственных векторов квантовая энтропия фон Неймана) определяется аналогично классической (информационной) энтропии Н(Х) Шеннона при помощи собственных значений:

где – квантовое состояние – распределение вероятности по ансамблю;. плотность определяется через волновую функцию : =| >< |; Tr – след матрицы; ln – матричный натуральный логарифм.

Эта формула справедлива для любого представления матрицы плотности (формула никак не связана со специфическим базисом собственных векторов матрицы . Из неё следует, что энтропия S не изменяется при любых унитарных преобразованиях базиса, в котором записана матрица . (для практических вычислений удобнее находить

макроскопического наблюдателя информации о свойствах квантовой системы. Поскольку всегда H>S, то при помощи квантовых систем можно передать или обработать больше информации, чем с помощью их классических аналогов. На этом основаны методы сверхплотного кодирования и эффективные алгоритмы квантовых вычислений, которые реализуются с помощью запутанных состояний.

Пусть проводятся измерения некоторой наблюдаемой F со спектром {fl} в микросистемах, которые описываются матрицами и соответственно. Тогда квантовой относительной энтропией матрицы по отношению к матице называется величина

(120)

Квантовая относительная энтропия удовлетворяет неравенству Клейна

S( ˆ || ˆ) 0, которое является квантовым аналогом неравенства Гиббса.

Рассмотрим систему, состоящую из двух подсистем А и В. Матрицы плотности для первой и второй подсистемы в отдельности 1 Н2 и 2 Н2 соответственно, а матрица плотности всей системы 12 Н1 Н2. Имеется совместная вероятность р(j,k) (j=1,2,...n, k=1,2,...,m) двух случайных величин. Степени свободы подсистемы А характеризуются первой случайной величиной, в вторая случайная величина характеризует систему В. Распределения вероятности для этих случайных величин по отдельности

Смешивание увеличивает энтропию фон Неймана. Энтропия взвешенной смеси состояний больше или равна взвешенной сумме энтропий составляющих (вогнутость энтропии):

Для независимой системы S(ρ) аддитивна. Если матрицы плотности ρA, ρB описывают независимые системы A и B (корреляция между подсистемами отсутствует), то

системой называется величина S( AB ) Tr( AB ln AB ).

Как и классическая совместная энтропия, квантовая совместная энтропия обладает свойством субаддитивности (энтропия квантовой системы, состоящей из двух подсистем, меньше или равна сумме энтропий двух подсистем)

где ˆA TrB ˆAB и ˆB TrA AB – матрицы плотности подсистем А и В соответственно.

http://profbeckman.narod.ru/

Правая сторона неравенства свидетельствует, что энтропия сложной системы максимальна, когда её компоненты не коррелированы, и в этом случае, полная энтропия просто сумма суб-энтропий. Равенство достигается для кореллированных подсистем А и В, т.е. когда ˆAB ˆA ˆB .

Аддитивность и субаддитивность – характеристики отношений между целым и его частями. Аддитивность – такое отношение, при котором свойства целого полностью определяются свойствами частей (целое равно сумме частей); субаддитивность (неаддитивность) – отношение, при котором целое не определяется его частями, так что оно не может быть познано и объяснено на основе одного лишь знания о его частях (целое больше суммы его частей).

Для квантовой энтропии выполняется свойство сильной субаддитивности, которое аналогично соответствующему свойству для классической энтропии. Пусть квантовая система описывается матрицей плотности АВС и состоит из трёх подсистем А, В и С. Тогда сильная субаддитивность энтропии Неймана (неравенство треугольника):

S ˆ AB S ˆA S ˆB .

Замечание. Неравенство треугольника для ρABC иначе называются неравенством АракиЛиба: каждый из трех S(ρAB), S(ρBC), S(ρAC) меньше или равен сумме двух других (ситуация, принципиально отличающаяся от своего классического аналога).

Если ρA и ρB редуцированные матрицы плотности общего состояния ρAB, то

является мерой степени корреляции двух квантовых подсистем А и В.

Функция AB SNA-SNAB выпукла в гильбертовом пространстве состояний

НAB=НA НB, A НAB.

Суммарный беспорядок, создаваемый двумя подсистемами, по отдельности всегда превышает величину хаоса, производимого двумя системами как единое целое. Эта формула превращается в равенство тогда и только тогда, когда состояния ρi совпадают (состояния ρi некоррелированы, т.е. подсистемы независимы). Корреляция уменьшает энтропию Неймана. Энтропии Неймана матриц плотности подсистем чистого двухчастичного состояния совпадают.

В отличие от классической энтропии Шеннона, квантовая энтропия фон Неймана полной системы может быть меньше энтропии составляющих подсистем. В частности, если составная система находится в чистом состоянии, то SN(ρAB)=0 SN(ρA)=SN(ρB), но не обязательно SN(ρA)=SN(ρB)=0. Чистое состояние |ψAB> системы, состоящей из двух подсистем A и B, является перепутанным тогда и только тогда, когда S(A|B)<0, где S(A|B) = S(ρAB)-S(ρB) – условная энтропия.

Если в теории Шеннона энтропия композитной системы не может быть меньше энтропии любой её части, в квантовой теории это не выполняется, т.e. возможно, что

S(ρAB)=0, тогда как S(ρA)=S(ρB)>0.

При увеличении собственных значений для двух-уровнего чистого состояния энтропия Неймана выходит из нуля, увеличиается, достигает максимума при собственном значении равным 0,5 (максимальная запутанность), затем падает до нуля при значении 0,5.

http://profbeckman.narod.ru/

Матрица плотности является чистой тогда и только тогда, когда HN( )=0, или, что эквивалентно, двухчастичное состояние является незапутанным тогда и только тогда, когда его редуцированная энтропия Неймана равна нулю. Редуцированная энтропия Неймана, как и ранг Шмидта, может служить мерой двухчастичной запутанности.

Как уже упоминалось, переход от матрицы плотности к матрице плотности, полученной в результате измерения, называется редукцией (стягиванием) матрицы плотности к одной из своих компонент. Редуцирование термодинамической энтропии поисходит при переходе смешанного состояния в чистое состояние.

Редуцированная (частичная) энтропия Неймана – энтропия подсистем чистого двухчастичного состояния; совпадает с энтропией Шеннона квадратов его коэффициентов Шмидта.

Энтропия Неймана широко используются в различных формах (условных энтропии, относительной энтропии и т.д.) в рамках квантовой теории информации. Она используется в качестве меры квантовой информации, как мера квантовой запутанности. Дело в том, что об объекте, находящемся в чистом запутанном состоянии (ρ=ρ2), невозможно получить никакой информации, поскольку в этом случае SN(ρ)=0 (подсистемы независимы, корреляция между ними отсутствует).

Для чистого состояния AB , откуда

где A=TrB(AB) и B=TrA(AB).

Энтропия Неймана и квантовая запутанность может быть отлична от нуля только для подсистем, которые взаимодействуют со своим окружением, и поэтому находятся в несепарабельном состоянии. Энтропия Неймана демонстрирует насколько точно можно судить о свойствах одной подсистемы, зная характеристики другой. Включение в рассмотрение дополнительной переменной увеличивает информацию.

При количественном описании квантовой запутанности используется понятие частичной матрицы плотности и мера квантовой запутанности. Энтропия Неймана относится к самому простому случаю – двухчастичной системы в чистом состоянии. Это мера запутанности между двухуровневыми подсистемами А и B, когда вся система замкнута (находится в чистом состоянии). Здесь частичная (редуцированная) матрица плотности подсистемы А получается взятием частичного следа по B. Взятие частичного следа и получение редуцированной матрицы плотности – это усреднение по всем внешним степеням свободы выделенной подсистемы (по ее внешнему окружению); это проведение границы между подсистемой и её окружением, когда подсистема может рассматриваться независимо от него. Требуемая подсистема «вырезается» из более сложной структуры и рассматривается в как самостоятельный объект. В результате этой операции пространство допустимых состояний подсистемы уменьшается, частичная матрица плотности имеет меньшую размерность, чем исходная система, например, из матрицы 4×4 получается матрица 2×2.

В ходе измерения информации энтропия может увеличиться, но никогда не уменьшится. Однако обобщенные измерения могут уменьшить энтропию. Энтропия чистого состояния равна нулю, в то время как в перепутанной смеси всегда больше нуля. Чистое состояние может быть превращено в смесь путем измерения, но перепутанную смесь нельзя преобразовать в чистый вид. Акт измерения вызывает необратимое изменение на матрице плотности (аналогично коллапсу волновой функции), он уменьшает информацию, стирая квантовую интерференцию в сложной системе. (Подсистему большей системы можно в чистом виде извлечь из смешанного состояния, но только за счет увеличения энтропии в другой части системы). Это аналогично понижению термодинамической энтропии объекта при помещении его в холодильник: воздух вне холодильника нагревается, получая больше энтропии, чем потерял объект в холодильнике.