http://profbeckman.narod.ru/
6.4 Фракталы и энтропия
Стохастическое самоподобие – одно из основных свойств природных объектов. Практически единственным надёжным методом исследования структурных характеристик таких объектов является энтропийный подход.
В принципе, энтропия и фракталы – противоположные понятия: энтропия свидетельствует о беспорядке в термодинамической структуре. (мера хаоса, показывающая как далеко система находится от упорядоченного, структурированного состояния и как близко – к полностью хаотичному, бесструктурному, однородному виду), а фрактал указывает на некоторый порядок в ней (особенно, если это упорядоченная, самоподобная и масштабоинвариантная структура). Тем не менее, энтропия и фрактал – взаимосвязанные (взаимно дополняющие) понятия. Энтропия – мера хаоса, но одновременно – мера структурной организованности систем, ибо максимальная энтропия конкретной системы соответствует низшей степени её структурной организованности (наибольшая хаотичность и неупорядоченность), низкая энтропия, напротив, соответствует высокой структурной упорядоченности.
Энтропийный подход на основе энтропии Реньи, дал универсальный ключ как для расчетов мультифрактальных спектров размерностей систем, так и для осмысления и интерпретации результатов их фрактального анализа.
Теории фракталов и хаоса – родственные математические теории, нацеленные на описание структуры нерегулярностей реального мира. Оба этих направления, благодаря компьютерному моделированию и визуализации, обладают высокой наглядностью. Однако, если в хаосе геометрия подчинена динамике, она обслуживает и делает её наглядной, то во фракталах геометрическая визуализация является основной. Странные аттракторы хаоса оказались фракталами. Они естественным образом возникают при изучении динамических систем. Важно, что фракталы определяют структуру хаоса. Фракталы – язык, дающий описание форм хаоса, они позволяют анализировать его тонкую структуру хаоса и даже обнаружить в нём проявления порядка.
Энтропия – мера хаотичности и одновременно – мера недостающей информации о состоянии системы – с другой. Информация также характеризует степень упорядоточения структуры; структура без информации немыслима, равно как и наоборот – невозможна информация сама по себе – без носителя, структуры; информация является универсальной, первичной категорией и везде присутствует в виде структур. Поэтому, энтропия как мера хаотичности и мультифрактальность как мера структурной упорядоченности являются взаимно дополняющими понятиями.
Комплекс энтропия-фрактал-информация позволяет осуществить довольно полную диагностику сильно разупорядоченных систем: временных рядов, возникающих в результате функционирования какой-либо сложной системы, сигналы в системах связи, изображения. Энтропийно-фрактальный анализ нашёл применение в космогонии, в анализе природных объектов (например, рельефа местности), в изучении таких техногенных объектов, как наноструктуры, функциональные и конструкционные материалы и в анализе живых организмов. Энтропийный подход дал универсальный ключ как для расчетов мультифрактальных спектров размерностей систем, так и для осмысления и интерпретации результатов их фрактального анализа.
Понятие фрактала оказывается связанным с понятием хаоса. Особенно это заметно в динамике сложных систем. Если термин фрактал относится к некоторой статично геометрической конфигурации и размерности – мгновенный снимок структуры, то хаос – термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. В этом смысле хаос противоположен фракталу: хаос описывает состояние крайней непредсказуемости, возникшей в динамической системе, в то время как фрактальность описывает крайнюю иррегулярность или изрезанность, присущую геометрической конфигурации. Тем не менее, взаимосвязь между фракталом и динамической системой возможна. Она возникает в связи с тем, что некоторые фракталы
http://profbeckman.narod.ru/
(например, аттрактор систем итерированных функций) порождают хаос. Хаос – некоторое свойство детерминированных динамических систем, например, систем интерированных отображений. Случайные процессы способны генерировать фракталы. Но стохастичность отлична от детерминированного хаоса. Это совершенно другое явление.
Далее мы рассмотрим эти проблемы более детально.