http://profbeckman.narod.ru/

Упорядоченная по убыванию последовательность чисел 1 2 ... n образует спектр показателей Ляпунова и дает полезную классификацию аттракторов. В табл. 2 приведена классификация аттракторов динамических систем, заданных системой дифференциальных уравнений.

Максимальная экспонента Ляпунова определяется формулой

d 0

где d(t) – расстояние между двумя соседними фазовыми траекториями. Прямой расчет по этой формуле практически невозможен т.к. даже для очень малого d(0), d(t) увеличивается бесконечно при увеличении t. Есть другой алгоритм расчёта показателя Ляпунова.

Сумма показателей Ляпунова траектории x0(t) характеризует скорость изменения фазового объема в её окрестности. Режим странного аттрактора реализуется только в диссипативных системах и характеризуется наличием в спектре положительных показателей. Сумма показателей Ляпунова для диссипативных систем отрицательна. Если сумма показателей Ляпунова равна нулю, то фазовый объем системы во времени не изменяется – система консервативна и аттракторов не содержит. В случае положительной суммы показателей Ляпунова фазовый объем во времени нарастает. С физической точки зрения такой режим как стационарный нереалён.

Показатели Ляпунова, являясь усредненными характеристиками аттрактора, описывают его свойства независимо от начальных условий из области притяжения. Исключение представляют лишь начальные условия, соответствующие нетипичным траекториям, имеющим меру нуль. Установлена количественная взаимосвязь показателей Ляпунова с энтропией Колмогорова. Доказано, что энтропия положительна в том и только в том случае, когда фазовая траектория в среднем экспоненциально неустойчива на аттракторе. Спектр показателей Ляпунова такой траектории содержит положительный показатель. Выражение, связывающее энтропию Колмогорова с положительными показателями Ляпунова имеет вид:

т.е. энтропия равна сумме положительных показателей Ляпунова.

j0

Показатели Ляпунова упорядочены по убыванию 1 2 ... n. Ляпуновская размерность – верхняя граница информационной размерности: d1 dI.

22.8 Странные нехаотические аттракторы

Странный нехаотический аттрактор (СНА) введен применительно к классу диссипативных систем с квазипериодическим внешним воздействием. В отличие от торааттрактора, СНА характеризуется фрактальной структурой ("странный"), но в отличие от хаотического аттрактора не имеет экспоненциальной неустойчивости траекторий.

Странный нехаотический аттрактор – аттрактор имеют фрактальную структуру, но система с таким аттрактором не обладает хаосом ни в каком смысле.

Эпитет "странный" противопоставляет СНА аттрактору в виде тора, имеющего гладкую зависимость координатных переменных от фазовых. Эпитет "нехаотический" противопоставляет его странному хаотическому аттрактору, который характеризуется присутствием экспоненциальной неустойчивости траекторий. Оказалось, что в области между порядком и хаосом СНА типичны в системах с квазипериодическим воздействием.

http://profbeckman.narod.ru/

Можно сказать, что при переходе от простой динамики к сложной в этих системах сначала возникает "странность", а уже потом хаос.

Нелинейные системы, динамика которых протекает в присутствии зависящего от времени периодического внешнего воздействия проявляют интересное поведение, сопровождаемое разнообразными нетривиальными эффектами, включая переходы от периодической динамики к хаотической и наоборот. Если воздействие более сложное, например, квазипериодическое (суперпозиция двух гармонических сигналов с иррациональным соотношением частот), то появляются такие режимы динамики, как странные нехаотические аттракторы (СНА). СНА устойчивы к

возмущениям (нет положительных показателей Ляпунова), однако структура аттрактора обладает фрактальными свойствами.

Рис. 14. Положение СНА среди других типов аттракторов (нелинейный осциллятор Дуффинга). Показаны фазовые портреты аттракторов в проекции на плоскость (x, y=dx/dt), где красные точки отвечают стробоскопическому сечению Ф=0, а также фазовые портреты на плоскости ( = /2 , x) в сечении Пуанкаре Ф=0, и спектры Фурье для режимов, соответствующих тору-аттрактору, СНА и хаосу. В данной системе реализуются многие из феноменов, в том числе последовательности удвоения торов, переходы к СНА, перемежаемость.

Рис. 15. Зависимость xn от n для странного нехаотического аттрактора (15).

Нет гарантии, что такой аттрактор является странным, т. е. сохраняет фрактальную структуру в сколь угодно малых масштабах. СНА крайне чувствительна к вариации параметров, т. к. располагается у границы между регулярными и хаотическими режимами. Соответствующие области в пространстве параметров имеют сложное устройство, и при небольших изменениях управляющего параметра может иметь место трансформация СНА в аттрактор в виде гладкого тора или в странный хаотический аттрактор.

Рис. 16. Фазовый портрет системы со странным нехаотическим аттрактором.

В системах с квазипериодическим воздействием СНА реализуется на множестве положительной меры в пространстве параметров, и рассматривается как феномен, характерный для области между порядком и хаосом. В каких-то точках пространства параметров автономной системы, совершающей движение с несколькими независимыми колебательными составляющими, возможна реализация СНА, но насколько заметную часть пространства параметров может занимать множество этих точек, и

имеет ли оно отличную от нуля меру, сказать трудно.

Странный нехаотический аттрактор впервые был обнаружен в отображении

http://profbeckman.narod.ru/

Пример динамической системы с нестранным хаотическим аттрактором – модифицированное отображение Арнольда

Точка при n посещает любой элемент единичного квадрата. Несмотря на сжатие площади, движение изображающей точки является эргодическим.

22.9 Сингулярные аттракторы

Теория динамического хаоса в нелинейных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений - это теория сингулярных аттракторов нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Сингулярность (особенность) – точка, в которой математическая функция стремится к бесконечности или не определена или имеет нерегулярное поведение (например, точка, в которой функция имеет разрыв или недифференцируема).

Сингулярная точка функции – точка, в любой окрестности которой функция неограниченна.

Особая точка векторного поля (дифференциального уравнения) – точка, в которой векторное поле равно нулю. Она является положением равновесия (в особой точке скорости изменения переменных равны нулю) или точкой покоя динамической системы; фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени. В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено одинаково и очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой.

Сингулярное множество – множество особых (сингулярных) точек функции. Примеры сингулярных гиперболических множеств: аттрактор Лоренца, отображение Эно и подкова Смейла.

Сингулярный цикл - цикл, в котором хотя бы один из его критических элементов является неподвижной особой (сингулярной) точкой (пример, отображение подковы).

Сингулярный аттрактор – нерегулярный аттрактор нелинейной диссипативной системы дифференциальных уравнений представляющий собой особое компактное подмногообразие фазового пространства, являющееся пределом каскадов бифуркаций удвоения периода и гомоклинических (гетероклинических) каскадов различных регулярных аттракторов. Простейшим сингулярным аттрактором нелинейной системы дифференциальных уравнений является аттрактор Фейгенбаума трехмерной автономной системы. Это непериодическая почти устойчивая траектория системы, являющаяся пределом каскада бифуркаций удвоения периодов устойчивых циклов. Любой простой сингулярный аттрактор не имеет положительного показателя Ляпунова, т. е. является почти устойчивой непериодической траекторией, а хаотическая динамика в автономной трехмерной системе возникает благодаря сдвигу фаз между траекториями, образующими сепаратриспую поверхность исходного сингулярного седлового цикла.

Сингулярный странный аттрактор векторного поля X - транзитивный инвариант множества A со следующими свойствами:

–A содержит плотное множество периодических орбит X

–А имеет место, чтобы одна особенность X

–экспонирует положительно плотную орбиту с положительным показателем Ляпунова

–существует окрестность U множества A (изолирующий блок), удовлетворяющий A= t 0X[t,U}где X[t,.] означает поток, порожденный X. Бассейн A – это множество точек, w- предельное множество которых принадлежит A. Мы говорим, что A является постоянным, если Y является сингулярным странным аттрактором для любого потока Y, близкого к X.

http://profbeckman.narod.ru/

Сингулярно-гиперболический аттрактор – основной элемент эргодической теории равномерно гиперболических аттракторов для потоков.

Как следует из теоремы Пуанкаре-Бендиксона, в двумерном случае (на плоскости) автономная система нелинейных дифференциальных уравнений может иметь только простейшие регулярные аттракторы – устойчивые особые точки и простые предельные циклы. Сложные регулярные аттракторы (торы и сложные предельные циклы удвоенного

иболее периодов) и сингулярные аттракторы автономная система нелинейных дифференциальных уравнений может иметь только в случае размерности фазового пространства n>3. Трехмерные автономные системы имеют устойчивые предельные циклы любого периода, циклические сингулярные аттракторы любой сложности и простые устойчивые двумерные торы. Четырехмерные автономные системы имеют устойчивые двумерные торы любого периода, тороидальные сингулярные двумерные аттракторы любой сложности и простые устойчивые трехмерные торы и т.д.

Так как более сложный регулярный аттрактор рождается в результате бифуркации (Андронова—Хопфа или удвоения периода) из более простого регулярного аттрактора, то все нерегулярные аттракторы являются сингулярными (компактные подмногообразия фазового пространства – пределы каскадов бифуркаций удвоения периода или гомоклинических (гетероклипических) каскадов бифуркаций различных регулярных аттракторов). Никаких других аттракторов в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений не существует.

Различают простые сингулярные аттракторы – пределы каскадов бифуркаций удвоения периода различных регулярных аттракторов, и сложные сингулярные аттракторы – пределы гомоклинических (гетероклинических) каскадов бифуркаций регулярных аттракторов. Простой сингулярный аттрактор – почти устойчивая непериодическая траектория с кратным нулевым старшим характеристическим показателем. Сложный сингулярный аттрактор - семейство траекторий, среди которых нет устойчивых траекторий, но есть гомоклинический или гетероклипический сепаратрисный контур, бесконечное число неустойчивых седловых периодических траекторий и бесконечное число непериодических неустойчивых траекторий с кратным нулевым старшим характеристическим показателем.

Бифуркация удвоения периода цикла играет основополагающую роль в процессе формирования сингулярных аттракторов и хаотической динамики в нелинейных системах дифференциальных уравнений. Она начинает бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода, ведущий к возникновению простейшего нерегулярного (сингулярного) аттрактора – аттрактора Фейгенбаума. Ее можно наблюдать во всех классических трехмерных хаотических системах нелинейных дифференциальных уравнений (системы Лоренца, Рёсслера, Чуа, Магницкого и т.п.). Она обнаружена также во всех нелинейных автономных и неавтономных, диссипативных и консервативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными

ис запаздывающим аргументом.

Внелинейных системах ОДУ не существует никаких других нерегулярных аттракторов, кроме сингулярных. Сингулярные аттракторы – это негрубые образования, рождающиеся в результате каскадов бифуркаций удвоения периода и гомоклинических и гетероклинических каскадов бифуркаций регулярных аттракторов. Так как в любой окрестности точки существования сингулярного аттрактора в пространстве параметров существует бесконечное число точек существования различных регулярных аттракторов, а в процессе каскадов бифуркаций сложность сингулярных аттракторов возрастает, то их типичными бифуркациями являются следующие бифуркации. Простейший сингулярный аттрактор – аттрактор Фейгенбаума.

Все происходящее в нелинейных системах дифференциальных уравнений должно описываться бифуркациями траекторий в фазовом пространстве системы. Поэтому, все аттракторы нелинейных диссипативных систем можно разбить на два класса: простые

http://profbeckman.narod.ru/

(регулярные) и сложные (нерегулярные) аттракторы. К регулярным аттракторам относятся гладкие подмногообразия фазового пространства. Это - особые точки, предельные циклы и инвариантные торы произвольной размерности и произвольного конечного периода. Заметим, что каждый более сложный регулярный аттрактор рождается в результате бифуркации (Андронова-Хопфа или удвоения периода) из более простого регулярного аттрактора. Все нерегулярные аттракторы являются сингулярными, то есть это особые компактные подмногообразия фазового пространства, являющиеся пределами каскадов бифуркаций удвоения периода или гомоклинических (гетероклииических) каскадов бифуркаций различных регулярных аттракторов. Никаких других аттракторов в нелинейных диссипативиых системах дифференциальных уравнений не существует.

Как следует из теоремы Пуанкаре-Бендиксона, в двумерном случае (на плоскости) автономная система нелинейных дифференциальных уравнений может иметь только простейшие регулярные аттракторы устойчивые особые точки и простые предельные циклы. Следовательно, сложные регулярные аттракторы (торы и сложные предельные циклы удвоенного и более периодов) и сингулярные аттракторы автономная система нелинейных дифференциальных уравнений.

Различают простые сингулярные аттракторы, являющиеся пределами каскадов бифуркаций удвоения периода различных регулярных аттракторов, и сложные сингулярные аттракторы, являющиеся пределами гомоклинических (гетероклинических) каскадов бифуркаций регулярных аттракторов. Простой сингулярный аттрактор является почти устойчивой непериодической траекторией с кратным нулевым старшим характеристическим показателем. Сложный сингулярный аттрактор – семейство траекторий, среди которых нет устойчивых траекторий, но есть гомоклинический или гетероклииический сепаратрисный контур, бесконечное число неустойчивых седловых периодических траекторий и бесконечное число непериодических неустойчивых траекторий с кратным нулевым старшим характеристическим показателем.

В трёхмерном случае любой простой сингулярный аттрактор (почти устойчивая непериодическая траектория) имеет нулевой старший характеристический показатель. В пространстве большей размерности траектория, лежащая на простом сингулярном аттракторе, также имеет нулевой старший характеристический показатель.

Рассмотрим гладкое семейство нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

заданных в трехмерном фазовом пространстве Μ гладкими векторными полями F, зависящими от значений скалярного системного параметра μ, лежащих в интервале I вещественной прямой R.

Простейшим из простых сингулярных аттракторов является аттрактор Фейгенбаума – первый непериодический аттрактор, существующий в семействе систем (17) при μ=μ∞, где значение μ∞ соответствует пределу последовательности значений параметра μ, при которых происходят бифуркации удвоения периода исходного цикла. Простой сингулярный аттрактор является почти устойчивой непериодической траекторией, проходящей через концы ветвей какого-либо бесконечного дерева Фейгенбаума. Существует бесконечное множество интервалов значений параметра μ, при которых семейство систем (17) имеет регулярные аттракторы (асимптотически орбитально устойчивые периодические траектории пусть даже очень большого периода). Семейство систем (17) имеет простые сингулярные аттракторы (непериодические почти устойчивые траектории) в бесконечном числе точек накопления различных бесконечных субкаскадов бифуркаций удвоения периода различных циклов из субгармонического и следующим за ним каскадов бифуркаций. Любой простой сингулярный аттрактор

http://profbeckman.narod.ru/

семейства автономных трехмерных систем (17) имеет один отрицательный и два нулевых показателя Ляпунова и является почти устойчивой непериодической траекторией.

Каскады бифуркаций регулярных аттракторов, а также простые и сложные сингулярные аттракторы существуют уже в итерациях нелинейных одномерных унимодальных отображений. Простейшим примером такого простого сингулярного аттрактора является аттрактор Фейгенбаума одномерного унимодального логистического отображения

при некотором μ=μ . Наиболее сложным примером сложного сингулярного аттрактора является аттрактор того же логистического отображения (18) при μ=4.

Нелинейная система ОДУ имеет обычно бесконечное число сингулярных аттракторов различной сложности, занимающих различные по плотности области фазового пространства, которые обладают геометрической (масштабной) инвариантностью; увеличенная часть аттрактора подобна всему аттрактору. В этом случае множество - фрактал (есть фрактальная структура и фрактальная размерность).

Как уже упоминалось, фрактальная размерность регулярных аттракторов диссипативных систем дифференциальных уравнений равна целому числу и совпадает с их обычной топологической размерностью. Фрактальная размерность устойчивого предельного цикла конечного периода равна единице, а устойчивого инвариантного тора конечного периода — двум. Для множеств, обладающих масштабно-инвариантной структурой, фрактальная размерность может иметь дробное значение. Пример: канторово множество. Однако процесс построения сингулярных аттракторов существенно отличается от процесса построения канторова множества. В то время как при построении канторова множества происходит уменьшение размерности исходного множества (единичного отрезка) при сохранении его мощности на каждом шаге, то при построении аттрактора Фейгенбаума отображения (18) в результате каскада бифуркаций удвоения периода происходит процесс увеличения мощности множества при сохранении его нулевой размерности на каждом шаге. Фрактальная размерность любого простого сингулярного аттрактора семейства трехмерных автономных систем (17) не может быть больше двух

Согласно теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого (ФШМ-теория) переход к хаотической динамике во всех без исключения автономных и неавтономных, диссипативных и консервативных нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и с запаздывающим аргументом происходит в соответствии с одним универсальным бифуркационным сценарием, начинающимся каскадом бифуркаций удвоения периода Фейгеибаума и продолжающимся субгармоническим каскадом бифуркаций Шарковского и гомоклиническим каскадом бифуркаций Магницкого устойчивых циклов или торов. Внутри субгармонического и гомоклинического каскадов в результате седло-узловых бифуркаций происходит рождение циклов (торов) любого периода, с которыми затем происходят каскады бифуркаций удвоения периода Фейгеибаума и гомоклинические (гетероклинические) каскады вплоть до образования при некоторых значениях параметров сингулярных непериодических аттракторов. Поэтому в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений не существует никаких других нерегулярных аттракторов, кроме сингулярных.

По ФШМ-теории во всех сложных нелинейных системах дифференциальных уравнений, описывающих многочисленные природные физические, химические, биологические, экологические, а также экономические и социальные процессы и явления макромира, включая диссипативные и консервативные, автономные и неавтономные системы, системы ОДУ, уравнений с частными производными и запаздывающим аргументом, осуществляется единый универсальный бифуркационный сценарий усложнения динамики решений.